数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Bernhard Riemann · 1826–1866

黎曼

用一条未证猜想，锁住全部素数

ζ(s)=∑n=1∞1ns\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
黎曼 ζ 函数 · 素数的秘密藏在零点的位置里

伯恩哈德·黎曼生于汉诺威乡村的牧师家庭，体弱而极度内向。他在哥廷根与柏林师从高斯、狄利克雷，1854 年的就职演讲《论作为几何学基础的假设》听众中真正听懂的只有高斯，据戴德金记载，一向吝于赞语的高斯在归途上罕见地大加称许；这篇讲稿后来成了爱因斯坦广义相对论的数学地基。

1859 年，他在一篇八页的论文里写下 ζ 函数，并抛出一个至今未决的猜想：非平凡零点都在临界线 Re(s)=1/2 上。黎曼本人还没来得及展开这套思想，便因肺结核在意大利湖畔去世，年仅三十九岁。

黎曼肖像
Bernhard Riemann 画像 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

  1. 1826
    生于汉诺威布列斯伦茨

    父亲是路德宗牧师；幼年展现出惊人的心算能力。

  2. 1846
    入哥廷根大学

    原打算学神学，后转入数学；一度去柏林听狄利克雷、雅可比、施泰纳的课。

  3. 1851
    博士论文

    《单复变量函数一般理论的基础》，引入「黎曼面」。

  4. 1854
    《论作为几何学基础的假设》

    提出 n 维流形、度规与曲率张量；高斯的曲面论被推向任意维数。

  5. 1859
    《论不超过给定值的素数个数》

    引入 ζ 函数，提出黎曼猜想，并给出素数计数与 Li(x) 的精确联系。

  6. 1866
    病逝于意大利塞拉斯卡

    肺结核恶化；年仅三十九岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

非欧三角形

同一个三角形，在球面上大于 180°，在马鞍面上小于 180°。

K>0⇒α+β+γ>πK > 0 \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma > \pi

黎曼把高斯的曲面「内在几何」推广到任意维数：曲率不为零时，三角形内角和不再是 180°。弯曲时空的数学由此而来——GPS 的时间修正，就在使用这套几何。

拖动顶角宽度，实时看球面与双曲面的内角和偏离 180°

同一组顶角，放在球面上会「撑大」到超过 180°，放在马鞍面上会「塌缩」到不足 180°。 欧氏几何的 180° 不是宇宙的默认值，而是曲率为零的特例。

素数计数与 ζ 函数

看似杂乱的素数，被一条光滑曲线从高处统率。

π(x)∼Li⁡(x)\pi(x) \sim \operatorname{Li}(x)

高斯曾猜测素数个数近似 x/ln x，黎曼给出更精密的 Li(x)，并用 ζ 函数的零点把误差写成一首交响曲。若所有非平凡零点都在 Re(s)=1/2，误差就被牢牢锁住。

深色阶梯是真实素数个数 π(x)，金色光滑曲线是黎曼给出的近似 Li(x)。 黎曼假设说的是：两者之差不会比 √x 大太多。

黎曼面

把 √z 的两个值粘成一张连续的曲面。

w=zw = \sqrt{z}

多值函数曾是分析的噩梦。黎曼不把分支当作缺陷，而是铺成多层曲面；绕分支点一圈会滑到另一层，两圈才返回原处。复数函数因此变成几何。

√z 本来有两个值，黎曼把它们粘成一张连续曲面：绕原点转一圈会滑到另一片，转两圈才回到原位。

度量：几何的第二层

同一张平面，换一把尺子，几何就变了。

ds2=∑i,jgij dxidxjds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx^i dx^j

1854 年的就职演讲里，他把几何拆成两层：一层是点的集合，另一层是度量——规定「每一点附近怎么量长度」的局部规则。度量一换，直线、角度、面积全跟着换。最要紧的是这套说法不需要外围空间：纸没有卷进三维里，只是换了把尺子。六十年后爱因斯坦要描述时空时，现成的语言已经在那里等着——时空同样没有嵌在任何更大的空间里。

1854 年的就职演讲里，黎曼把几何拆成了两层：一层是点的集合，另一层是度量——一条规定「每一点附近怎么量长度」的局部规则。度量一换，直线、角度、面积全都跟着换。 最要紧的是：这套说法不需要外围空间。这张纸没有卷进三维里，它只是 换了把尺子。六十年后爱因斯坦要描述时空时，现成的语言已经在那里等着了—— 时空同样没有嵌在任何更大的空间里。

黎曼积分

他给的不是切法，是一条「什么叫可积」的判据。

S‾(P)−S‾(P)→0\overline{S}(P) - \underline{S}(P) \to 0

把曲线下的面积切成小条，在他之前就有人做。黎曼真正给出的是判据：上和与下和之差在分割变细时趋于零，函数才可积。这比「连续才可积」宽得多——带跳跃的函数照样过关；而狄利克雷函数的差恒等于区间长度，怎么细分都不缩小，于是不可积。积分从此有了自己的定义，不再依附于原函数。

把曲线下的面积切成小条，在他之前就有人做。黎曼真正给出的是一个判据： 每个小区间取上确界求和得上和，取下确界求和得下和；只要分得够细时两者之差趋于零， 函数就可积。这个判据比「连续才可积」宽得多——带跳跃的函数照样过关。 而狄利克雷函数（有理点取 1、无理点取 0）的差恒等于区间长度，怎么细分都不缩小， 于是它不可积。积分从此有了自己的定义，不再依附于原函数。

黎曼猜想

一张八页论文留下的悬念，一百六十年仍未解开。

ζ(12+it)=0\zeta(\tfrac12 + it) = 0

它是现代数学最著名的未解问题之一：ζ 函数的非平凡零点是否都在 Re(s)=1/2 上？数论、物理、随机矩阵纷纷在此交汇。千禧年大奖为它悬赏一百万美元。

画的是 |ζ(s)| 沿竖直线 s = σ + it 的取值。把 σ 拨到 1/2，曲线一次次精确地砸到 0—— 那些位置就是非平凡零点（14.13、21.02、25.01…）。σ 稍稍离开 1/2，曲线立刻整条抬起来， 再也碰不到 0。黎曼猜想断言的正是：所有非平凡零点都恰好落在这一条线上。一百六十年 无人能证，也无人能找出反例。

显式公式：零点如何写出素数

零点是频率，素数是音色。

ψ(x)=x−∑ρxρρ−ln⁡2π−12ln⁡(1−x−2)\psi(x) = x - \sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho} - \ln 2\pi - \tfrac{1}{2}\ln(1-x^{-2})

1859 年那八页论文里，黎曼给出了素数计数的精确表达式：主项是一条光滑的曲线，剩下的全部由 ζ 的零点决定。每加一对零点就多一道波；波叠够了，光滑的曲线就长出台阶，而台阶恰好落在素数上。这是他两半工作——分析与数论——真正合拢的地方，也是「素数的音乐」这个说法的出处。

ψ(x) 是一条纯粹由素数决定的阶梯：每遇到一个素数幂就跳 ln p。黎曼 1859 年 那八页论文给出了它的精确表达式——主项是一条光滑的直线 x， 剩下的全部由 ζ 的零点决定。零点每多带一对，就多一道波； 波叠够了，直线就长出台阶，而且台阶恰好落在金色竖线（素数）上。 零点是频率，素数是音色——「素数的音乐」说的就是这件事。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

黎曼几何→广义相对论→GPS 定位与引力波天文学
黎曼面→复几何→从弦论到密码学的复杂分析
ζ 函数→解析数论→素数与密码学的深层规律

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「人们当然会希望对此有一个严格的证明；在几次徒劳的尝试之后，我暂时把它搁在一边了，因为对我研究的直接目标而言，它似乎并非必需。」

—— 1859 年论文中提出黎曼猜想之后的原话

「空间可以是无界的，却仍然是有限的。」

—— 1854 年《论作为几何学基础的假设》