数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Leonhard Euler · 1707–1783

欧拉

史上最多产的数学家，现代数学符号的铸造者

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0
欧拉恒等式 · 五个最重要的常数在一行相遇

莱昂哈德·欧拉生于瑞士巴塞尔，十三岁入大学，师从约翰·伯努利。他的一生辗转于圣彼得堡与柏林两大科学院，笔下涵盖分析、数论、力学、光学、天文、造船乃至音乐理论——全集逾七十卷，圣彼得堡科学院在他身后近半个世纪仍在刊印他的遗稿。

1738 年右眼失明，1766 年后近乎全盲，产量却不降反升：他在头脑中心算复杂的无穷级数，向助手口述论文。今天数学课本里的符号——e、i、π、f(x)、Σ——多半出自他的手笔。

欧拉肖像
雅各布·伊曼纽尔·汉德曼绘，1753 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

  1. 1707
    生于瑞士巴塞尔

    父亲是牧师，本盼他子承父业。

  2. 1720
    十三岁入巴塞尔大学

    约翰·伯努利每周六单独为他答疑，劝服其父让他改修数学。

  3. 1727
    远赴圣彼得堡科学院

    牛顿逝世的同一年，二十岁的欧拉动身前往俄国。

  4. 1735
    解决巴塞尔问题

    π²/6——悬置九十年的难题落定，欧拉一举成名。

  5. 1736
    七桥问题论文发表

    图论在一个散步谜题中诞生。

  6. 1738
    右眼失明

    他说：「这样分心的事就少了一半。」

  7. 1741
    转赴柏林科学院

    此后二十五年写下逾三百篇论文，《无穷分析引论》（1748）在此问世。

  8. 1766
    重返圣彼得堡

    白内障令他近乎全盲，靠心算与口述继续工作。

  9. 1783
    逝世于圣彼得堡

    当天下午他还在计算气球的上升与天王星的轨道。「他停止了计算，也停止了生命。」

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

欧拉恒等式

五个最重要的常数——e、i、π、1、0——在一行等式里相遇。

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

它把指数、复数与三角函数焊接成一体（e^iθ = cos θ + i sin θ），被一代代数学家票选为「最美公式」。交流电、信号处理与量子力学的数学语言，都从这里出发。

乘上 e^iθ 就是在复平面上旋转 θ 角。转过半圈（θ = π）恰好落在 −1 上——五个常数就这样在一行等式里相遇。

镇馆之宝 · 亲手玩

哥尼斯堡七桥问题

「能否不重复地走遍七座桥」——一个散步谜题催生了图论。

欧拉的天才在于扔掉地图：岛与岸缩成点，桥抽象成线，问题只剩下点与连线的关系。这是人类第一次为「关系结构」本身建立数学，图论与拓扑学由此发端。

点一块陆地作为起点，再点相邻的桥过河。试试能否七座桥各走一次——走不通的话，看看欧拉的证明。

北岸南岸克奈普霍夫岛东岸

先点一块陆地，从那里出发。目标：每座桥走且只走一次。

多面体公式

任何凸多面体，顶点数减棱数加面数恒等于 2。

V−E+F=2V - E + F = 2

无论形状如何拉伸变形，V − E + F 纹丝不动。数学第一次注意到「变形之下的不变量」——这正是日后拓扑学的核心眼光。

五种正多面体，形状天差地别——V − E + F 却纹丝不动地等于 2。这个「变形之下的不变量」，是拓扑学的第一缕光。 画布可用 Tab 聚焦，方向键旋转。

欧拉乘积公式

左边只认整数，右边只认素数，两边永远相等。

∑n≥11ns=∏p 素数11−p−s\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^s} = \prod_{p\ \text{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}

这一步把加法世界和乘法世界焊在了一起：对所有整数求和，等于对所有素数求积。解析数论从此有了地基——黎曼 1859 年那八页论文正是从这条式子出发的。把 s 取 1，左边成了发散的调和级数，于是右边的素数乘积也非发散不可；可有限个因子的乘积是有限的，所以素数必然有无穷多个。这是与欧几里得完全不同的一个证明。

左边是对所有整数求和，右边是对所有素数求积—— 两个式子里出现的东西完全不同，值却永远相等。欧拉这一步把加法世界和乘法世界焊在 一起，解析数论从此有了地基；黎曼 1859 年那八页论文，正是从这条式子出发的。 把 s 拉到 1：左边成了发散的调和级数，于是右边的素数乘积也非发散不可—— 可有限个因子的乘积是有限的，所以素数必然有无穷多个。 这是与欧几里得完全不同的一个证明。

欧拉定理与 φ 函数

网上支付的安全，压在这一行同余式上。

aφ(n)≡1(modn)a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n

φ(n) 数的是 1 到 n 里与 n 互素的个数。欧拉证明：只要 a 与 n 互素，a^φ(n) 必定 ≡ 1 (mod n)——费马小定理只是 n 为素数时的特例。RSA 就踩在这一步上：加密取 e 次方、解密取 d 次方之所以能原样还原，全靠 ed ≡ 1 (mod φ(n))。而要算 φ(n) 得先分解 n——大数难分解，私钥就难求。

φ(n) 数的是 1 到 n 里与 n 互素的个数。欧拉证明：只要 a 与 n 互素， aφ(n) 就必定 ≡ 1 (mod n)——费马小定理只是 n 为素数时的特例。 环上走一圈的步数总是整除 φ(n)，所以走满 φ(n) 步一定回到 1。 RSA 就踩在这一步上：加密取 e 次方、解密取 d 次方，之所以能原样还原， 全靠 ed ≡ 1 (mod φ(n))。而要算 φ(n) 得先分解 n——大数难分解，私钥就难求， 今天每一次网上支付的安全性都压在这句话上。

变分法与最速降线

不是在一族曲线里挑最优，而是在所有曲线里挑。

∂L∂y−ddx∂L∂y′=0\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} = 0

从 A 滑到 B，最快的不是直线而是摆线——1696 年伯努利把这题抛给全欧洲。真正的收获不在答案，而在方法：欧拉与拉格朗日把「在所有函数里挑一个最优」整理成一套通法，得到欧拉–拉格朗日方程。此后最小作用量原理、最优控制、乃至今天机器学习的训练，用的都是同一套东西。

两点之间直线最短，可最快的不是直线：先陡下去换来的速度， 比省下的那点路程更划算。答案是一条摆线——1696 年约翰·伯努利 把这道题当作挑战抛给全欧洲。 这里的滑块只在一族曲线里调，族内最快能到 0.5721 s；摆线是 0.5664 s，它不在这一族里。差的这 0.006 s 正是要害： 调参数只能在某一族里挑最优，而要在所有曲线里挑，就得换一套工具。 欧拉和拉格朗日给出的那套工具就是变分法与欧拉–拉格朗日方程—— 从最小作用量原理到今天机器学习的训练，用的都还是它。

巴塞尔问题

全体平方数倒数之和，答案里竟藏着圆周率。

∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

这个难题悬置九十年，难倒了伯努利家族两代人；二十八岁的欧拉给出 π²/6，一举成名。平方数与圆本无瓜葛，π 的现身预示了 ζ 函数的深渊——黎曼猜想的故事从这里开篇。

每一项都和圆毫无关系，极限里却冒出 π。收敛很慢——加到 200 项也只准到小数点后两位，而欧拉当年硬是算出了精确值。

现代符号的铸造者

e、i、π、f(x)、Σ——今天数学的书写方式出自他手。

好记号是思想的杠杆。欧拉定下的符号让复杂推理变得可以「看见」，全世界数学家从此说同一种语言。这可能是他最日常、也最深远的遗产。

点击卡片，翻看每个符号的诞生。你的数学作业里，到处都是欧拉的手笔。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

七桥问题→图论→地图导航、社交网络与互联网路由
多面体公式→拓扑学→从数据分析到宇宙形状的研究
变分法→最优化理论→机器学习的训练引擎

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「他停止了计算，也停止了生命。」

—— 孔多塞的悼词，1783

「读读欧拉，读读欧拉——他是我们所有人的老师。」

—— 拉普拉斯对后辈的叮嘱