导航与定位

把圆心角和它对的弦列成一张表算法

喜帕恰斯约前190–约前120《一次日食，量出月亮有多远》

已知最早的三角函数表出自他手，原书已佚。有了这张表，天上的角度才第一次能换算成地上的长度——所有测量与定位的祖宗都在这里。

弦表精到六十进制的三位，附带怎么用它算经纬度算法

托勒密约100–约170《弦表：三角学从这张表开始》

《天文学大成》的弦表每半度一格，配一条插值规则。《地理志》里他给八千多个地点标了经纬度——那是「把位置写成两个数」这件事第一次成规模地做出来。

球面三角形不必再绕着完全四边形算：六种情形各有一套解法算法

纳西尔丁·图西1201–1274《五样里知道两样：十种挑法只有六种》

托勒密解球面三角形靠梅涅劳斯那个完全四边形，要连乘几个比。十世纪起几位学者找到了更顺手的正弦定理与正切定理；《论完全四边形》把它们收拢成一整套：直角三角形的六种情形一种一种列全，三个角求三边那一种借极三角形补齐。定位、定时、定方位要解的天文三角形，从此有了一本从头讲到尾的书。

把弦表换成每一角分一行的正弦表与正切表逼近

兀鲁伯1394–1449《五分一档算准，中间四格补出来》

托勒密的弦表每半度一格，到这里变成每一角分一格、给到小数点后九位，还配了一张正切表。定位要算的球面三角形，从此不必再为「表不够细」多绕一层内插。这张表连同他的星表在 1665 年由牛津印出，成了欧洲航海与天文共用的底本之一。

把正弦之间的乘除换成对数的加减变换

纳皮尔1550–1617《一页七栏：正弦、正切、正割都在一行里》

解一个定位用的球面三角形，要把几个七位的正弦、正切连乘再相除。他的表每一分一行，一行里同时读得出正弦、余弦、正切与正割的对数，乘除只剩加减。两年后赖特把它译成英文；此后三百多年，船上与天文台的计算都靠查对数表，直到手持计算器出现。

把球面上的函数展成一列基本波形变换

拉普拉斯1749–1827《每一点都等于邻居的平均》

球谐函数是球面上的傅里叶级数。地球不是正球、密度也不均匀，它的引力场今天就是用一张球谐系数表描述的——卫星轨道要算得准，这张表得展到两千多阶。

方程比未知数多的时候，取残差平方和最小的那一组逼近

勒让德1752–1833《方程比未知数多的时候》

勒让德 1805 年先发表，用在彗星轨道上；高斯 1809 年发表同一方法并说自己 1795 年就在用，两人为此争执多年。今天每一次卫星定轨、每一次接收机解算位置，底下都是这一条。

曲面的弯曲，住在曲面自己身上语言

高斯1777–1855《绝妙定理》

他证明高斯曲率只由曲面内部的测量决定，不必跳出去看。这句话的分量是：一张地图永远不可能既不变形又保面积，而且二维生物能测出自己所在空间是弯的。

任意维、任意弯的空间，怎么写下它的度量语言

黎曼1826–1866《度量：几何的第二层》

就职演讲里他把高斯的曲面论推到任意维，并且明说：空间实际是什么样，要由物理来定。六十一年后爱因斯坦用的正是这套语言。

最短航线在图上是直线的海图，只有球画得出来边界

贝尔特拉米1835–1900《他想画一张量得了距离的地图，证出来的却是办不到》

中心投影（大圆海图）把球上的最短线画成直线，这一条早就有人在用；他要找的是一般的做法，证出来的却是一道界限：能这样画的曲面只有曲率处处相同的那些。真实的地球是扁的，于是这条捷径不再精确——今天算最短航线，走的是椭球上的测地线解算。

两个小转动先后一换，差出一个二阶的转动结构

索菲斯·李1842–1899《两个小转动，先后不能对调》

他把连续的变换群归结为挨着恒等变换的那些无穷小变换，而一族无穷小变换能不能合成一个有限参数的群，看它们两两的括号。三维转动里，绕 x 与绕 y 的两个无穷小转动的括号就是绕 z 的那一个。惯性导航的陀螺每隔几毫秒报一次转角，姿态要一小步一小步积出来，而先后次序带来的那一项二阶误差（圆锥误差）必须按这个括号补回去。

空间与时间合成一张图，钟走过的是自己那条世界线的长度语言

闵可夫斯基1864–1909《空间与时间，从此只剩影子》

他在科隆的讲演里把洛伦兹变换画成双曲线上的一次「转动」，并给沿世界线积出来的那个量起名叫固有时。GPS 卫星以每秒约 3.9 公里绕地球跑，照这个量算，它的钟每天慢约 7.2 微秒；下一环里那几十微秒的净值，就是这一项与引力那一项相减得来的。七年后的广义相对论，也是写在这张四维时空上的。

一边测一边猜，把两边按各自的不确定度加权不确定

卡尔曼1930–2016《每来一个读数，只改一次》

递推形式是关键：不必保存全部历史，只带着当前估计和它的协方差往前走，与高斯的最小二乘给出同一个数。1960 年秋他去艾姆斯讲了这一篇，施密特一组把它改成扩展形式，阿波罗的导航用的是麻省理工的波特做的平方根形式；今天每一台接收机、每一套惯导、每一次传感器融合也都是它。