计算机

把解题写成一串照着做就行的步骤算法

花拉子米约780–约850《algebra 与 algorithm》

他那本讲印度数字的书，十二世纪的拉丁译本开头一句是「花拉子米如是说」，Algoritmi dixit。译名在欧洲变成了这类步骤的通称，「算法」这个词就是这么来的。他本人没有定义过算法，是他的书名替他做了这件事。

把数拆成 1、2、4、8，乘法只剩挪子与并子算法

纳皮尔1550–1617《棋盘上只有 1、2、4、8》

棋盘上只有两条规矩：竖走一格值翻倍，斜走值不变。两个因数摆在两边，交点落子，斜着滑到边上，两子并一子——一套不用背九九表的乘法，每一步都机械得可以交给别人照做。他没有 0 和 1 这两个符号，只有字母与棋子；可数的二进制拆法、除以二取余的换法、移位相加的乘法，都已经在这一卷里。

只用 0 和 1 记数语言

莱布尼茨1646–1716《只用 0 和 1》

二进制不是他先想到的，但他是第一个把它写成一篇正式论文、并且认真对待它的人。他关心的其实是别的：他觉得 0 与 1 能造出万物这件事有神学意味。要再等两百三十四年，才有人发现二进制真正的用处在开关上。

逻辑可以写成代数结构

布尔1815–1864《x 乘 x 还是 x》

他的 x 从头到尾是一类东西，不是真假值：乘是取交，1 减是取补。x·x = x 这条在数的代数里只有 0 和 1 满足的式子，在他这里对每一类都成立——这正是后来能落到开关上的那一条。

加法与乘法只从「下一个数」递归定义语言

格拉斯曼1809–1877《加法是从「下一个」递归出来的》

他与弟弟合写的中学课本里，a + b 定义为使 a + (b + e) = a + b + e 成立的那一项，乘法再由加法递归出来，交换律、结合律一条条用归纳法证。皮亚诺 1889 年写明他的证明用的就是这本书；戴德金 1888 年补证了这种定义确实定义得出东西。哥德尔 1931 年那篇里拿来编码的递归函数、今天程序里的递归，写法都是这个样子：先说第一个，再说「下一个」怎么由这一个得来。

一整篇证明写成符号，每一步只按形式变形语言

皮亚诺1858–1932《用符号写成的论文，与没有词尾的拉丁语》

他 1890 年那篇存在定理，四十七页全写成逻辑式，开头交代：用日常语言把它完整展开会复杂得过了头。ε、Λ、反写的 C 这些记号，连同 1889 年他给自然数写下的公理，被罗素与怀特海搬进了《数学原理》；哥德尔 1931 年那个证不出来的句子，就是在「皮亚诺公理加上《数学原理》的逻辑」这个系统里造的。证明一旦成了按规则变形的符号串，就轮到机器来检查它、执行它。

任何一套够强的公理系统，都有它证不出来的真话边界

哥德尔1906–1978《这句话证不出来》

他的办法是给每一个公式编一个号，让系统能谈论自己。这一步——把程序当数据编码——后来被图灵直接搬进了机器的设计里。

一条纸带、一张规则表，就够了语言

图灵1912–1954《机器的描述，也是数据》

真正改变世界的不是那台机器，是下一页：既然每台机器都能写成一张表，那张表也能当作另一台机器的输入——一台机器就能模拟全部机器。通用机的概念在这里，而不在任何一台实物上。

一个开关网络，就是一个布尔表达式结构

布尔1815–1864《一个开关网络，就是一个布尔表达式》

香农二十一岁的硕士论文把布尔代数按在继电器电路上：串联是与，并联是或，电路的化简成了式子的化简。九十年前写下的一套符号，忽然成了造电话交换机的工具——「结构」型数学最干净的一例。

程序与数据住在同一块存储器里语言

冯·诺依曼1903–1957《一条指令也是一个数，所以它改得动》

《EDVAC 报告初稿》把机器分成运算、控制、存储、输入、输出五部分，并且让指令和数据用同一种方式存放。今天所有通用处理器仍是这个样子。这份报告署名只有他一个人，而莫奇利与埃克特的贡献被这件事盖住了，是计算机史上争议最久的一桩公案。

一个对象自己有多少信息边界

柯尔莫哥洛夫1903–1987《这一个串有多少信息》

不问这串数从哪个概率分布里来，只问能把它印出来的最短程序有多长；换一种编程方法只差一个与对象无关的常数。代价是这个长度本身算不出来——他在同一篇里写明，这个函数即便处处有限也不是一般递归的，理由与停机问题同源。今天「这段数据还能压多小」「这串密钥够不够乱」「这个模型是不是只是把训练集背了下来」，问的都是它。