713 件展品 · 590 件可以亲手玩
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全馆的展品摊在一张表上。想找的那件不记得是谁的，就在这里筛——按人，或者按「镇馆之宝 / 可以亲手玩 / 故事展签」。点开直接落到那件展品跟前。
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可以亲手玩边与对角线，永远量不到头拿边去量对角线，剩一段；再拿剩下的去量边……这件事永远停不下来，而且每一轮剩下的图形，和上一轮一模一样。欧多克索斯约前408–约前355镇馆之宝同比：不用数，也说得清两个比相等把两边各放大任意多倍，再拿同一个整数去卡——只要每一次都倒向同一侧，就是同一个比。欧多克索斯约前408–约前355可以亲手玩圆与圆之比，等于直径平方之比在圆里嵌多边形，边数每翻一倍，剩下的空隙就少掉一半以上——任何差额都会被挤没。欧多克索斯约前408–约前355可以亲手玩锥体是柱体的三分之一德谟克利特先说出了这个数。阿基米德说，第一个证明它的是欧多克索斯。欧多克索斯约前408–约前355可以亲手玩两个球反着转，行星就画一个八字同速反转的两个球让行星在天上走出一条马蹄线。可要它退行，sin i 必须大过会合周期与黄道周期之比——金星怎么调都过不了这一关。欧多克索斯约前408–约前355故事展签写着他名字的那卷纸草，不是他写的书全佚，原话只剩别人引的几句，而唯一一件古代实物挂着他的名，内容却浅得不可能出自他手。欧多克索斯约前408–约前355镇馆之宝第五公设关掉它，勾股定理就倒了——非欧几何从这里开始。欧几里得约前325–约前265可以亲手玩素数有无穷多个给我一份有限的清单，我就造一个不在上面的素因子。欧几里得约前325–约前265可以亲手玩辗转相除法两千三百年，一步没改，今天每次握手都在跑。欧几里得约前325–约前265故事展签《几何原本》：两千年的教科书再版次数仅次于《圣经》。欧几里得约前325–约前265镇馆之宝穷竭法逼近 π用越来越多边的正多边形，把圆夹成一根越来越窄的管子。阿基米德约前287–前212可以亲手玩球与外接圆柱球放进刚好套住它的圆柱，体积比永远是 2:3。阿基米德约前287–前212可以亲手玩抛物线弓形求积历史上第一个被求和的无穷级数。阿基米德约前287–前212故事展签《方法论》：先称出来，再证明他把图形挂上杠杆称出答案，然后才去补证明。阿基米德约前287–前212可以亲手玩杠杆原理距离乘以重量，就是撬动世界的力量。阿基米德约前287–前212可以亲手玩浮力与王冠浸入水中的物体，受到的浮力等于它排开的水重。阿基米德约前287–前212可以亲手玩阿基米德螺线匀速转动的轮子，匀速离开圆心——画出的就是它。阿基米德约前287–前212镇馆之宝倍立方：三块板夹出两个比例中项在两条已知线段之间插进两个数，使四个数成连比——插出的第一个，就是把立方体加倍的那条棱；他用三块能滑动的板把它推了出来。埃拉托色尼约前276–约前194可以亲手玩筛子：让合数一个个漏下去把 3 以后的奇数排成一行，每个数隔着固定的步子往后点名——从来没被点到的，就是素数。埃拉托色尼约前276–约前194可以亲手玩碗底的五十分之一夏至正午，赛伊尼的日晷没有影子，亚历山大里亚的碗形日晷上，影子占了碗壁大圆的 1/50；两城相距五千斯塔德，地球一圈就是二十五万。埃拉托色尼约前276–约前194可以亲手玩有人住的世界，长比宽的两倍还多他把已知世界的宽加出来是 38000 斯塔德，长是 77800；雅典那条纬线一圈不到二十万——剩下的六成，要不是大西洋太宽，就能从伊比利亚一路往西航到印度。埃拉托色尼约前276–约前194可以亲手玩两回归线相距一圈的 11/83托勒密量出两回归线之间在 47°40′ 与 47°45′ 之间，说这与埃拉托色尼的比大致相同，约为子午圈的 11/83——而 11/83 恰是落在这个区间里分母最小的分数。埃拉托色尼约前276–约前194故事展签「贝塔」：一个校订出来的外号他样样第二，所以人称「贝塔」——这是教科书上的说法；可《苏达辞书》的抄本里写的不是这个词，是十七世纪的一位学者替它改的。埃拉托色尼约前276–约前194镇馆之宝一个圆锥，三条曲线转动切面的角度：椭圆变成抛物线，再裂成双曲线。阿波罗尼奥斯约前262–约前190可以亲手玩三个名字是怎么来的亏了叫椭圆，正好叫抛物线，盈了叫双曲线——说的是面积，不是形状。阿波罗尼奥斯约前262–约前190可以亲手玩阿波罗尼奥斯圆到两点的距离之比固定，动点画出的是一个圆——不是别的什么。阿波罗尼奥斯约前262–约前190可以亲手玩第五卷：从一点出发的最短线他问「哪条线最短」，答案是法线；而所有法线又包出了一条新曲线。阿波罗尼奥斯约前262–约前190可以亲手玩共轭直径：斜着看也一样把椭圆斜着切，一对直径的平方和永远不变，围出的平行四边形面积也不变。阿波罗尼奥斯约前262–约前190故事展签一千八百年之后才用上没有任何用处的八卷书，后来成了行星的轨道、炮弹的弹道和卫星的天线。阿波罗尼奥斯约前262–约前190镇馆之宝岁差：整片星空在慢慢滑动角宿一离秋分点，一百五十多年前是 8°，他量是 6°。星没有动，是春秋分点在往回退。喜帕恰斯约前190–约前120可以亲手玩春天为什么比秋天长春季 94½ 日、夏季 92½ 日——只凭这两个数，他解出了地球偏离太阳圆轨道中心多远。喜帕恰斯约前190–约前120可以亲手玩一次日食，量出月亮有多远北边全食，南边只遮住五分之四——两地之间那一千公里，就是量月亮的尺子。喜帕恰斯约前190–约前120可以亲手玩一等星到六等星肉眼觉得每一等差得一样多，其实每一等亮两倍半——星等从一开始就是一把对数尺。喜帕恰斯约前190–约前120可以亲手玩十个命题能拼出多少句话他说是 103049。这个数的来历，两千一百年后才有人看懂。喜帕恰斯约前190–约前120故事展签他只剩一本书，还是给别人挑错的十几部书只传下一部；其余的都在别人的书里，最多的一份在托勒密那里。喜帕恰斯约前190–约前120镇馆之宝老人星擦着地平线，他就量出了地球一个角配一段距离，48 乘 5000 得 240000 斯塔德——只比真值小百分之五。可那是两个错几乎抵消的结果，而他自己偏取了另一个数。波西多尼乌斯约前135–约前51可以亲手玩他把太阳推到六千万公里以外日轮的圆取地球大圆的一万倍，赛伊尼那个三百斯塔德的无影圈给出日面的大小——算出来太阳是地球的三十九倍，古代所有答案里最接近的一个。波西多尼乌斯约前135–约前51可以亲手玩他给平行线换了个定义，而那个定义就是第五公设「处处等距」听起来比欧几里得的「永不相交」清楚得多。可等距的那条线在非欧几何里根本不是直线——它比脚下那条直线长 cosh 倍。波西多尼乌斯约前135–约前51可以亲手玩他在加的斯守着潮水，记下三个周期日周期与月周期他记对了：潮跟着月亮的时角走，朔与望时最大。年周期他猜夏至最大，而按太阳的赤纬该是春秋分——这一条他自己守了几天也没看出来。波西多尼乌斯约前135–约前51可以亲手玩烧焦的那一带不在赤道，在南北回归线上他把「热得住不了人」那一带收窄到两回归线之间的十一分之二十一，又指出真正的焦土是回归线下那两条窄带——因为太阳在那里要停十七天。波西多尼乌斯约前135–约前51故事展签他做过一架能演天体的球西塞罗说，这架球每转一圈，日、月与五颗行星就走完天上一昼夜。书全佚，球也不见了；一百多年后从安提基西拉的沉船里捞上来的那套齿轮，有人把它与他对上，但无法确证。波西多尼乌斯约前135–约前51镇馆之宝海伦公式：只用三条边量地的人手里往往只有三条边的长度。他给了一条不用量高的面积公式。海伦约10–约70可以亲手玩开平方：取平均，再取平均√720 开不尽。从 27 起，取 27 与 720/27 的平均，得 26⅚——一步就只差 1/36。海伦约10–约70可以亲手玩光走最短的那条路镜面上可选的反射点有无数个，光挑的那一点让总路程最短——那里入射角恰好等于反射角。海伦约10–约70可以亲手玩绳子绕成的程序重物下沉拉动绳子，绳子怎么绕在车轴上，车就怎么走——程序写在绳子上。海伦约10–约70可以亲手玩从山的两头挖隧道绕着山走一圈直角折线，东西、南北各自加一加、减一减，隧道的方向就定了。海伦约10–约70故事展签根号底下出现了一个负数一道截头棱锥的题，算到最后要开 81 − 144 的平方。书上写的是 √(144 − 81)。海伦约10–约70镇馆之宝弦表：三角学从这张表开始半度一行，从半度排到一百八十度，精确到小数点后五位。托勒密约100–约170可以亲手玩托勒密定理圆内接四边形：两条对角线的积，等于两组对边的积之和。托勒密约100–约170可以亲手玩本轮：怎么让行星倒着走火星每两年会在天上倒退一次。用两个圆就能把这件事画出来。托勒密约100–约170可以亲手玩均衡点：他为什么能算准把偏心距一分为二，圆周运动就逼近了椭圆——差只剩几角分。托勒密约100–约170可以亲手玩往西到亚洲有多远他把地球算小了六分之一，又把欧亚拉长了四十度——两个错凑到一起，大西洋就窄了一半。托勒密约100–约170故事展签一个错了一千四百年的模型拟合得好，不等于说对了——这件事的第一个大例子就是它。托勒密约100–约170可以亲手玩一个未知数走天下两数和 20、积 96——他不设 x 和 y，而设 10 加 x 与 10 减 x。丢番图约200–约284可以亲手玩他写的方程长什么样在「全用话说」和「用字母写」之间，还有过一种中间状态。丢番图约200–约284可以亲手玩只要整数解同一个方程，允许分数就有无穷多解，只认整数就可能一个也没有。丢番图约200–约284可以亲手玩墓志铭：把一生写成一道方程童年占六分之一，又过十二分之一长出胡须……他活了多少岁？丢番图约200–约284镇馆之宝弦法：一个有理点生出无穷多个在曲线上找到一个有理点，拿直线去截它，截出来的还是有理点。丢番图约200–约284故事展签一千七百年后，他的方程成了不可判定的例子希尔伯特第十问题：有没有一个办法，判定任意丢番图方程有没有整数解？丢番图约200–约284可以亲手玩割之又割，以至于不可割割圆术：只用内接多边形，他也把圆夹住了——顺带把「无限接近」说清楚。刘徽约225–约295镇馆之宝算筹摆成方阵，一列一列消掉解线性方程组的消元法——比高斯早一千五百年。刘徽约225–约295可以亲手玩他造出这个立体，然后承认自己算不出来「敢不阙疑，以俟能言者」——两百年后，祖冲之父子接住了它。刘徽约225–约295可以亲手玩两根竿子，量出够不着的高与远《海岛算经》第一题：不上岛，算出岛有多高、离你多远。刘徽约225–约295故事展签析理以辞，解体用图同一个世纪，希腊的证明传统正在熄灭；在东边，一个人独自把它点着了。刘徽约225–约295镇馆之宝帕普斯问题：到四条直线的距离到四条直线的距离两两相乘，两个积之比保持不变，点走出的是一条圆锥曲线——帕普斯说到这里就停了，作法等了一千三百年。帕普斯约290–约350可以亲手玩两条直线上的六个点一条线上三个点，另一条线上三个点，交叉连线的三个交点必在一条直线上。帕普斯约290–约350可以亲手玩蜜蜂的几何远见能单独铺满平面的正多边形只有三种，周长相同时六边形最大——帕普斯说，蜜蜂知道这一点。帕普斯约290–约350可以亲手玩转一圈的体积，只看重心走了多远平面图形绕轴转一圈，体积等于面积乘以重心走过的圆周——今天叫古尔丁定理，帕普斯早一千三百年写下了它。帕普斯约290–约350可以亲手玩鞋匠刀里的一串圆在鞋匠刀里一个挨一个塞进圆，第 n 个圆的圆心离底边，正好是它自己直径的 n 倍。帕普斯约290–约350故事展签假定要作的已经作成他替三十三卷书写了读书指南，其中大半今天已经失传——我们知道那些书写过什么，多半靠他。帕普斯约290–约350可以亲手玩圆周率：盈朒二限3.1415926 < π < 3.1415927——他不报一个数，报的是一个区间。祖冲之429–500可以亲手玩密率：355/113分母小于一万六千的分数里，再没有比它更接近 π 的了。祖冲之429–500镇馆之宝祖暅原理：幂势既同，则积不容异两个立体，每一层的截面积都相等，体积就必然相等——刘徽等的那个人来了。祖冲之429–500可以亲手玩把岁差写进历法冬至点每年悄悄挪一点，他是第一个把这件事算进历书的人。祖冲之429–500可以亲手玩三百九十一年一百四十四闰十九年七闰用了八百年，他把它换掉了——年长的误差小了七倍半。祖冲之429–500故事展签学官莫能究其深奥唐代的算学课本，要学四年——然后没人读得懂，于是它失传了。祖冲之429–500镇馆之宝一条规则，一张表，两者对不上他给了造半弦表的差分规则，也给了那张表；照规则一路算下去，末项落在 0，而表上写的是 7。阿耶波多476–约550可以亲手玩把大数捣碎，解出整数解粉碎法：两个除数辗转相除，商排成一条链，再从底下往上乘加——解一次不定方程的通法。阿耶波多476–约550可以亲手玩一个词，装下一个十位数他把 1582237500 写成一个梵文词。辅音管数值，元音管位数，两个九位一共排到十的十八次方。阿耶波多476–约550可以亲手玩不动的是星，转的是地由他一劫里那个自转数折出来的一日长度，是 23 时 56 分 4.101 秒——与今测的星际日差 0.002 秒。阿耶波多476–约550可以亲手玩他的太阳只比地球大四倍，可地影的宽窄他算对了日月的真实大小与远近他全错了，而凡是能被观测校住的量——视直径、地影的宽度——都对到百分之几。阿耶波多476–约550故事展签他写下的那个圆周率，刘徽两百三十六年前就写过62832/20000 约掉就是 3927/1250，一字不差是刘徽的那个数；而他加的那个词是 āsanna——近于。阿耶波多476–约550镇馆之宝零第一次有了运算法则在他之前零只是一个占位的圈；从他起，零是一个可以参与加减乘除的数。婆罗摩笈多598–668可以亲手玩财产与债：负数成了合法的数负负得正这条规则，第一次被写下来是在 628 年。婆罗摩笈多598–668可以亲手玩圆内接四边形的面积四条边给定，面积就定了——但只有当四个顶点恰好落在一个圆上时。婆罗摩笈多598–668可以亲手玩两平方和之积，仍是两平方和两个能写成两平方和的数，乘起来还能——而且有两种写法。婆罗摩笈多598–668可以亲手玩x² − 92y² = 1他写道：一个人若能在一年之内解出这道题，他就是数学家。婆罗摩笈多598–668故事展签零走了一千年628 年写下的那几条法则，传到欧洲被普遍接受，用了整整一千年。婆罗摩笈多598–668镇馆之宝大率三百五十一里八十步，而极差一度四张八尺表沿一条南北线摆开，量出来的不是「地有多大」，是「北极高一度，地上要走多远」。一行683–727可以亲手玩以蠡测海同一套影差公式，拿四站里不同的两站去代，算出的天高从一万四千里到近四万里——差了两倍半。一行683–727可以亲手玩二十四个长短不等的气冬至那一气十四天半，夏至那一气十六天——两段不一样长，中间怎么逐日补？他给了一条今天叫二次内插的式子。一行683–727可以亲手玩戴日之北每度晷数太阳离天顶一度，八尺表的影子一寸三分七厘九——这张逐度给值的表，今天叫正切表。一行683–727可以亲手玩通法三千四十分母是从《易》里推出来的，可它得同时装下朔望月与回归年——月差零点二六秒，年长了整三分钟。一行683–727故事展签上元积年九千六百九十六万一千七百四十一个九千六百多万年前的起点，代回来算开元十二年的冬至——得戊寅日，今天推的也是戊寅日，差五十分钟。一行683–727镇馆之宝把 x² + 10x = 39 摆成一个正方形「配方法」这个名字不是比喻——他真的在配一个方。花拉子米约780–约850可以亲手玩数字变成可以照着做的步骤同一道乘法，罗马数字要另想办法，位值制只要一张九九表。花拉子米约780–约850故事展签一个没有负数的世界，要把二次方程分成六类写不出 ax² + bx + c = 0 —— 因为系数不许是负的，也不许是零。花拉子米约780–约850故事展签algebra 与 algorithm一个来自书名，一个来自他的名字——而 al-jabr 的本意是接骨。花拉子米约780–约850镇馆之宝220 与 284 之后，下一对在哪里两个数，各自把真约数加起来，得到的正是对方。这样的一对古人只知道一个；他给出了造下一对的法则，并且证明了它。塔比·伊本·库拉约836–901可以亲手玩勾股定理，任意三角形版自顶点作两条线，割出两个与原三角形相似的小三角形——两条边上的正方形，就等于底边上的两个长方形。塔比·伊本·库拉约836–901可以亲手玩他把底边按 1 : 3 : 5 : 7 切开上和下和把弓形夹住，这不稀奇；稀奇的是分点不等距——不是为了逼得更快，是为了加得出来。塔比·伊本·库拉约836–901可以亲手玩斜着切圆柱，切出来的是椭圆而半轴 a 与 b 的椭圆，与半径 √(ab) 的圆一样大——在他的语言里，面积要用另一个面积来说。塔比·伊本·库拉约836–901可以亲手玩秤杆自己也有重量等臂天平上它两边抵消，杆秤上不行。他写了一部书处理它，全书立在一条引理上。塔比·伊本·库拉约836–901故事展签第五到第七卷，只剩他这一支阿波罗尼奥斯的后三卷、阿基米德的好几种，希腊原文全没了。今天读得到，是因为九世纪有人在巴格达把它们译成了阿拉伯文。塔比·伊本·库拉约836–901镇馆之宝一块正方形，剥一层就是一个立方1³+2³+⋯+n³ 等于 (1+2+⋯+n)²。他的证法是把边长 1+2+⋯+n 的正方形一层层剥开——剥下的每一层，正好是一个立方数。卡拉吉约953–约1029可以亲手玩幂的阶梯，两头都不到头财、立方、财财、财立方……名字是一个个拼出来的，序号却是加出来的。只看名字，看不出它在做加法。卡拉吉约953–约1029可以亲手玩一个多项式怎么开平方先定最高次那一项，再逐项往下定。与开一个数的平方根是同一套手续，只是每一位换成了一项。卡拉吉约953–约1029可以亲手玩什么时候两个根号能合成一个√8 + √18 = √50，可 √2 + √3 无论如何写不成一个根号。分界只在一处：ab 是不是平方数。卡拉吉约953–约1029可以亲手玩三公里的渠，只降两米半暗渠得有坡才流得动，坡大了又会把渠底冲垮。通常取 1:1000 到 1:1500——三公里只降两米半，画在剖面图上不到半个像素。卡拉吉约953–约1029故事展签卡拉吉，还是卡尔赫？一个字母决定他是山里来的波斯人，还是土生的巴格达人。而他的代数，靠一百多年后另一个人的转述才留到今天。卡拉吉约953–约1029镇馆之宝海什木问题：圆镜上的那一点光源和眼睛位置已定，镜子是圆的，光在哪一点反射？他借一条双曲线作了出来；九百多年后才有人证明，光靠直尺和圆规作不出。海什木965–约1040可以亲手玩几盏灯，一个孔，一面墙遮住哪一盏灯，暗处墙上就只少哪一块光——光沿直线走，交叉而过也互不混淆。海什木965–约1040可以亲手玩为了一个抛物体，先算四次方之和一块抛物线弓形绕底边转一圈，体积是外接圆柱的 8/15——算到这一步，先得知道 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴。海什木965–约1040可以亲手玩两弯新月，一个三角形直角三角形两条直角边上各画一个半圆，露出来的两弯新月加起来，正好等于那个三角形。海什木965–约1040可以亲手玩被 2、3、4、5、6 除都余 1还要能被 7 整除。他给了两个答案，721 与 301——前一个里藏着一条七百多年后才被证明的定理。海什木965–约1040故事展签尼罗河上没有建成的那座坝据说他夸口能治住尼罗河，到了阿斯旺才知道做不到，只好装疯。这个故事至少有三个版本。海什木965–约1040镇馆之宝随乘随加：一套动作开任意次方开立方一百八十六万〇八百六十七得一百二十三——全程只有乘和加，而且开几次方都是同一套动作。贾宪约1010–约1070可以亲手玩左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉那张三角形的数表画出来不是为了数组合——每一行左边都标着它是开几次方要摆的廉。贾宪约1010–约1070可以亲手玩只用加法，造出那一行一、六、十五、二十、十五、六、一——四轮加法就摆了出来，一次乘法都没有。贾宪约1010–约1070可以亲手玩一张现成的表，还是一套现成的动作七万一千八百二十四开平方，两条路都到二百六十八；可换成开立方，释锁的口诀整个变了，增乘一字没改。贾宪约1010–约1070可以亲手玩方、廉、隅：把一个立方切开三个平方、三条廉、一个隅——六十万加十二万加八千，正好是增乘那一步减掉的七十二万八千。贾宪约1010–约1070故事展签一九〇〇年六月二十三日他的书一卷未存。今天读得到的贾宪合起来九百二十六字，而载着这些字的那一册，是从翰林院的大火里出来的。贾宪约1010–约1070镇馆之宝一堆有空隙的酒坛，刍童法总算少上二下十二、共十一层的一堆坛子是 649 个；照刍童的体积公式算只有 630 又 2/3——他补上的正是那 18 又 1/3。沈括1031–1095可以亲手玩会圆术：由弦与矢求弧径十步的圆割去二步，他算得弧长八步四尺，真值约九步一尺四寸——而割到半圆时，这条式子正好还原出「周三径一」。沈括1031–1095可以亲手玩棋局都数：连书「万」字四十三十九路的棋盘一共 3³⁶¹ 局，是个 173 位数；他说「大约连书万字」若干个——传本作五十二，照数算只有四十三。沈括1031–1095可以亲手玩只五次乘，便尽三百六十一路一子一子地三因要乘三百六十一次，一行一行地乘法要十八次，他的最径捷的一法：自乘一次，再乘五次。沈括1031–1095可以亲手玩三人饷一卒，极矣一夫背米六斗，供一个兵走十八日；三夫也只到三十一日——再加人，多出来的路一次比一次短。沈括1031–1095故事展签十二气历：尤当取怪怒攻骂以立春为一年之首，大月三十一日、小月三十日，永不置闰——他料定会挨骂，也料定将来会有人用。沈括1031–1095镇馆之宝用两条曲线解一个方程抛物线配一个圆，交点的横坐标就是三次方程的根。奥马尔·海亚姆1048–1131可以亲手玩十九个格子，十四类真三次没有负数，也就没有移项——挪一个项，就换了一个方程。奥马尔·海亚姆1048–1131可以亲手玩一年有多长33 年 8 闰。这部 1079 年的历，比五百年后的格里历还准一点。奥马尔·海亚姆1048–1131可以亲手玩那个四边形他把平行公设的三种可能分开来查，比萨凯里早六百年——然后划掉了两种。奥马尔·海亚姆1048–1131可以亲手玩开任意次方要开到任意次方，就得先有三角形的任意一行——这两件事在他那里是同一件。奥马尔·海亚姆1048–1131故事展签西方先认得的是那个诗人1851 年他的代数译成法文，1859 年他的四行诗译成英文——出名的是后一件。奥马尔·海亚姆1048–1131镇馆之宝循环法：一轮一轮把 61 逼出来x² − 61y² = 1 的最小解是个十位数；盲目搜索要数到两亿多，这套办法转七步就到。婆什迦罗二世1114–约1185可以亲手玩《莉拉沃蒂》：算题写成诗一群蜜蜂、一根被风折断的竹子、一只扑向蛇的孔雀——课本可以是这样写的。婆什迦罗二世1114–约1185可以亲手玩即时行度：行星这一刻走得多快把「一段时间走了多少」换成「此刻走多快」，并写下相当于 sin 的导数的那条式子。婆什迦罗二世1114–约1185可以亲手玩除以零，得到的是无穷婆罗摩笈多在这一格上栽了跟头，五百年后他接上一句——而这一句也只对了一半。婆什迦罗二世1114–约1185可以亲手玩四个三角形，一个小方块边长 c 的正方形里摆四个直角三角形，中间剩下的那块就是全部的证明。婆什迦罗二世1114–约1185故事展签莉拉沃蒂是谁书名是一个女子的名字。至于她是不是他女儿，最早的说法出现在四百年后。婆什迦罗二世1114–约1185镇馆之宝把罗马数字换掉同一道加法，两种写法：一种能在纸上列竖式，一种不能。斐波那契约1170–约1250可以亲手玩兔子问题一对兔子，一年之后有多少对？这道题在书里只占一页。斐波那契约1170–约1250可以亲手玩相邻两项之比一项除以前一项，一上一下，越夹越紧。斐波那契约1170–约1250可以亲手玩三个成等差的平方数找一个平方数，加 5 和减 5 之后还都是平方数。斐波那契约1170–约1250可以亲手玩那道三次方程x³+2x²+10x=20。他报出的数，小数点后十位一位不差。斐波那契约1170–约1250故事展签佛罗伦萨禁止过阿拉伯数字好用是一回事，被接受是另一回事——这中间隔了三百年。斐波那契约1170–约1250镇馆之宝立天元一为半径出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步看见它——城有多大？他设半径为天元一，四步列出一条方程，开出一百二十步。李冶1192–1279可以亲手玩一座城，十五个句股形全书一百七十问只问一件事：这座圆城的直径。他先画一张图，给图上每个点起名字，割出十五个句股形，边长全是整数，全是 8 : 15 : 17。李冶1192–1279可以亲手玩凡大小差相乘，为半段径幂卷一的「识别杂记」是几百条这样的句子：哪一段加哪一段等于哪一段、哪两段相乘等于城径自乘的一半。书里只有一个 8 : 15 : 17，这些话换一个三角形还成不成立？李冶1192–1279可以亲手玩同一问，两个三乘方丙出南门走一百三十五步，甲出东门走十六步望见丙。设大差为天元，列出一条系数上千亿的四次式；设半径为天元，列出另一条——开出来是同一座城。李冶1192–1279可以亲手玩方田里的圆池：把方程画成条段方田中间挖了一个圆池，池外还剩十三亩七分半，田边到池边四面各二十步。《益古演段》先用天元术列出一条式子，再画一张九宫格，告诉你式子里每一项是哪几块地。李冶1192–1279故事展签死后可尽燔去临终前他对儿子说：我一辈子写的东西，死后都可以烧掉；只有《测圆海镜》，后世必定有人懂。李冶1192–1279镇馆之宝两个圆一起转，转出一条直线小圆直径等于大圆半径，大圆转一角、小圆反着转两倍——边上那一点只在一条直径上来回走，离圆心 2r·cos θ。纳西尔丁·图西1201–1274可以亲手玩不要均衡点，也能算得一样准方向交给一个绕均衡点匀速转的球，远近交给一对双圆——与托勒密只差 e 的平方那么一点：火星上不过三角分多。纳西尔丁·图西1201–1274可以亲手玩三条边与对角的正弦成比例三个比都等于外接圆的直径。有了它，「两角一边」一步解完；「两边一对角」却可能有两个三角形。纳西尔丁·图西1201–1274可以亲手玩五样里知道两样：十种挑法只有六种球面直角三角形除直角外还有五样；知道两样就解得出其余，挑法十种，对调之后只剩六种——他把六种一种一种列全了。纳西尔丁·图西1201–1274可以亲手玩只给三个角：极三角形平面上三个角只定形状；球面上三个角一给，三条边就定死了——换到极三角形上，三个角变成了三条边。纳西尔丁·图西1201–1274故事展签带着一个错数，先到了西边双圆走到欧洲至少有两条路：一条经拜占庭，带着一个他自己后来改掉的错数；一条落在哥白尼的书里，图上的字母照着阿拉伯字母排。纳西尔丁·图西1201–1274镇馆之宝只知道几个余数，把那个数找回来大衍求一术——一次同余方程组的通法，任意一组除数都管用，比高斯的《算术研究》早五百五十四年。秦九韶约1202–1261可以亲手玩一位一位，把根定出来正负开方术：高次方程的逐位求根法，他解到十次；里面那套嵌套乘法，比霍纳早五百七十二年。秦九韶约1202–1261可以亲手玩三条边就够了：三斜求积术与海伦公式逐位相同的一条式子——两边各自独立地写下它，隔着一千二百年。秦九韶约1202–1261可以亲手玩望得见，走不到：圆城有多大北门外三里有棵树，出南门往东走九里回头正好看见它——城的直径是九里。秦九韶约1202–1261可以亲手玩盆里积了九寸水，地上下了几寸雨已知最早的雨量换算题之一。他先把话说在前头：器形不同，接到的雨就不一样。秦九韶约1202–1261故事展签数与道非二本也序里那一句话，和八百年来关于他这个人的两种记载。秦九韶约1202–1261镇馆之宝九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出十六个字，把洛书摆了出来——图是几千年的老图，做法是他写下来的。杨辉约1238–约1298可以亲手玩不用乘法的乘法把乘数凑成 1 开头，乘法就变成加法——他为这件事写了三卷书，末卷还列了六百道现成的。杨辉约1238–约1298可以亲手玩一堆果子有多少个底面七个的三角垛是八十四个——他给的口诀是三个数相乘再六除，而那正是贾宪三角的第四条斜线。杨辉约1238–约1298可以亲手玩同一块田，他问了八遍长三十六步、阔二十四步、积八百六十四步——换八种问法，就得到八个不一样的方程。杨辉约1238–约1298可以亲手玩一份八百年前的课程表学乘法一日、温习五日，学除法一日、温习半月……已知最早的一份数学学习纲要，逐条标着功课几天。杨辉约1238–约1298故事展签这张表为什么没有失传贾宪的开方作法本源图，原书早就没了——它留到今天，中间隔着一次转录、一部类书和一次朝鲜刻本。杨辉约1238–约1298镇馆之宝四象会元：四个未知数，一张筹式句、股、弦、黄方带句股弦各设一元，四个式子摆进同一张算筹格子，一元一元消掉，最后剩一条 4u² − 7u − 686 = 0。朱世杰约1249–约1314可以亲手玩句三股四弦五黄方二，自乘十六段3 + 4 + 5 + 2 = 14，自乘得 196 步——他把这个平方切成十六段画出来，说「考图认之，其理显然」。朱世杰约1249–约1314可以亲手玩落一，再落一茭草垛每层一束一束地加；把它的各层总数再摞一次，就是三角垛；再摞一次、再摞一次——他一路推到第五种，并给每一种写出一次算完的开方式。朱世杰约1249–约1314可以亲手玩招兵十五日，四位并之第一天招 27 人、第二天 64 人、第三天 125 人……十五天共几人？他先求上差 27、二差 37、三差 24、下差 6，各乘一个垛积数，四位相加：二万三千四百。朱世杰约1249–约1314可以亲手玩一纵十横，从净到无量数《算学启蒙》开卷先教摆算筹、背名数：个位竖摆、十位横摆；最大的数叫无量数，是 10 的 128 次方，最小的叫净，是 10 的 −128 次方。朱世杰约1249–约1314故事展签周游湖海二十余年两部书都在扬州刻成，也都在中国失传；五百多年后，扬州人阮元替它们各写了一段找回来的经过。朱世杰约1249–约1314镇馆之宝把变化画成一块面积底边是时间，竖线是速度，面积就是路程——匀加速的梯形翻过一个三角形，就成了矩形。奥雷姆约1320–1382可以亲手玩调和级数加不到头每一项都趋于零，和却没有尽头。按 2 的幂分组，每组都不小于二分之一。奥雷姆约1320–1382可以亲手玩比例的比例：分数指数「2:1 的一半」是 √2 : 1。他第一次给这种分数次的比例定下写法——3:2 却不是 2:1 的任何几分之几。奥雷姆约1320–1382可以亲手玩天空会不会重演两个周期之比是分数，天空就会回到原样；是无理数，就永远回不去。他论证后一种可能大得多。奥雷姆约1320–1382可以亲手玩地球也许在转他把「地球自转」的反驳一条条驳倒，然后说：人人都认为是天在转，我也这么认为。奥雷姆约1320–1382故事展签钱不是国王的暗中降低钱币的成色，比放高利贷还坏——十四世纪一位主教这样对国王说。奥雷姆约1320–1382镇馆之宝级数慢，那就把剩下的也算出来加二十一项，再补一个修正项——裸级数要加三十多亿项才能这么准。马德哈瓦约1340–约1425可以亲手玩正弦写成一串加减sin θ = θ − θ³/3! + θ⁵/5! − ⋯；要算 90° 的正弦，七项就准到小数点后八位。马德哈瓦约1340–约1425可以亲手玩把 1 换成 1/√3同一条反正切级数，起点挪一下，二十二项就顶得上原来的两千亿项。马德哈瓦约1340–约1425可以亲手玩用一首诗记下的十一位圆周率众神、眼、象、蛇、火……十一个词读出 2827433388233，除以九千亿就是 π。马德哈瓦约1340–约1425可以亲手玩二十四个正弦值，错在角秒的六十分之一上从 3°45′ 起每隔 3°45′ 一个值，最大偏差 0.61「三」——折成小数是一亿分之五。马德哈瓦约1340–约1425故事展签书没有传下来，名字传下来了我们关于他的一切，都来自一百多年后别人书里的一句「如马德哈瓦所说」。马德哈瓦约1340–约1425镇馆之宝先把误差定死，再去切八亿边形他要的精度是：拿这个 π 去算一个直径六十万倍地球的圆，周长错不过一根马鬃。倒推下来，多边形得切到 3 × 2²⁸ 边。阿尔·卡西约1380–1429可以亲手玩sin 1°：一个三次方程，他解了它三倍角公式反过来读就是一个三次方程。他把它改写成「x 等于一个含 x 的式子」，从零开始代，代六轮就够。阿尔·卡西约1380–1429可以亲手玩开五次方：一位一位把根逼出来《算术之钥》的例题是 44240899506197 开五次方。分组、试商、平移——与三百年前中国的增乘开方术是同一套手续。阿尔·卡西约1380–1429可以亲手玩同一个数，六十进制与十进制各写一遍九位六十进制小数正好抵十六位十进制：60⁹ = 1.0078 × 10¹⁶。他把结果两边各写一遍，欧洲要到一百五十八年后才有同样的写法。阿尔·卡西约1380–1429可以亲手玩第三条边：法国课本里的「卡西定理」两边一角求第三边。这件事《原本》第二卷早已写成面积，图西把它整理成解三角形的办法，他压成了一条能直接代数字的式子。阿尔·卡西约1380–1429故事展签写给父亲的两封信一间屋子里有多少人算得动、王公骑在马上心算太阳的位置、谁在会上被当众说破——这些都写在他给父亲的家书里。阿尔·卡西约1380–1429镇馆之宝他说没量的那二十七颗，五百年后认得出来自序里点名 27 颗太靠南、在撒马尔罕升不起来，只好照旧书抄。今天逐条回算：他自己量的差 25 角分，抄来的差 115 角分。兀鲁伯1394–1449可以亲手玩分数栏里的一把梳子黄经的「分」几乎全是 3n+1，黄纬的「分」几乎全是 3n——仪器刻到三角分，这件事印在了一千多个数字上。兀鲁伯1394–1449可以亲手玩十九度四十一分抄来的 27 条里，有 23 条与托勒密的黄经差一模一样。而那笔改正多算了十三分——有人把回历年的个数当成了太阳年。兀鲁伯1394–1449可以亲手玩一天一天摊回去，还能自己验算行星表每十天才有一行。把这一段的行度摊成逐日递增的速度，递增量只能取 2Δ/(n+1)——而他给的三条规则其实是同一条。兀鲁伯1394–1449可以亲手玩五分一档算准，中间四格补出来每一角分一行、给到小数点后九位的正弦表有五千四百行。独立算的只有 5′ 的倍数那 1045 行，其余是二次内插补的。兀鲁伯1394–1449故事展签一座台和一部书，各自失踪了一回天文台在他死后散了，丘上只剩土；书跟着一个学生往西走，两百年后在牛津付印。找回那座台，靠的是一张地契。兀鲁伯1394–1449镇馆之宝45° 与维罗纳的一场赌他一辈子没开过一炮，却说炮口抬到矩尺第六点最远——有人拿钱在野地里赌了一把。塔尔塔利亚约1500–1557可以亲手玩直线、一段圆弧、再直直落下他把弹道画成三段，还用一步二次方程算出了第一段有多长；九年后他自己说，炮弹连一步都不走直线。塔尔塔利亚约1500–1557可以亲手玩同一个靶子，两条路一低一高两个仰角能打中同一点——他说这件事「古人今人都没有说过、想过」。塔尔塔利亚约1500–1557可以亲手玩一首二十五行的诗，就是一套算法三段，三种三次方程；最后一段写着「一千五百三十四年，在大海环绕的那座城」。塔尔塔利亚约1500–1557可以亲手玩人的方阵与地的方阵每个兵左右占三尺、前后占七尺：人数排成方的，地上就是一根长条。塔尔塔利亚约1500–1557故事展签五处刀伤，字母只学到 k他在自己的书里讲了这个名字是怎么来的。塔尔塔利亚约1500–1557镇馆之宝解三次方程两个立方根加减一下，就是那个根。希腊人卡在二次，这里过去了。卡尔达诺1501–1576可以亲手玩一个立方体，切开重拼他没有符号代数可用，这条公式是搬着立方体搬出来的。卡尔达诺1501–1576可以亲手玩把 10 分成两份，乘积是 40他写下了 5±√−15，然后说：这东西精妙到了无用的地步。卡尔达诺1501–1576可以亲手玩三个实根，却非过虚数不可方程明明有三个实根，公式偏要你先绕一趟虚数。卡尔达诺1501–1576可以亲手玩掷骰子第一本系统算概率的书，是一个赌了四十年的人写的。卡尔达诺1501–1576故事展签他发过誓不说出去数学史上最有名的一次背信，也是这套解法留下来的原因。卡尔达诺1501–1576镇馆之宝用字母写方程同一道题，换一组数：左边那句话整句要重写，右边一个字都不用动。韦达1540–1603可以亲手玩根与系数把三个根随便调换顺序，系数一个也不变。韦达1540–1603可以亲手玩π 的第一个无穷乘积1593 年，欧洲第一次有人用一个无穷的式子把 π 写了出来。韦达1540–1603可以亲手玩不碰虚数，解开那道方程同一个方程，卡尔达诺必须绕道虚数，他把它变成了一个角。韦达1540–1603可以亲手玩四十五次方程范·罗门向全欧洲抛出一道四十五次方程，他看一眼就报出了答案。韦达1540–1603故事展签他破了西班牙国王的密码腓力二世确信那套密码破不了，于是向教皇告状说法国人用了妖术。韦达1540–1603可以亲手玩两个点同时出发，对数是走出来的一个点匀速走；另一个点越走越慢，速度与剩下的路成正比。前一个走过的路，就是后一个剩下那段的对数。纳皮尔1550–1617镇馆之宝「倘若你没算错」造表的第二步他写：「你会发现（倘若你没算错）末项是 9995001.222927。」该是 .224804——差在第十位，整张表的对数因此都小了千万分之 3.7 上下。纳皮尔1550–1617可以亲手玩一页七栏：正弦、正切、正割都在一行里每一分一行，左边读一个角，把书倒过来从右边读它的余角；中间那栏是两边之差，正好是正切的对数。纳皮尔1550–1617可以亲手玩十根筹，每根四面，刻满九九表十根方柱正好是 0 到 4 里取两个数的全部十种搭配；他算过，小于 11111 的数一个不漏都摆得出，11111 摆不出。纳皮尔1550–1617可以亲手玩棋盘上只有 1、2、4、8竖走一格值翻倍，斜走值不变——两条规矩，就能在棋盘上做乘除开方，这是二进制算术最早印出来的样子之一。纳皮尔1550–1617故事展签爱丁堡的一个月1615 年夏天，伦敦的几何学教授布里格斯北上住了一个月。两人商定：1 的对数是 0——常用对数就是这么来的。纳皮尔1550–1617镇馆之宝走得有快有慢，扫过的面积却一样第二定律好懂，可它带来一个方程——那个方程解不出来。开普勒1571–1630可以亲手玩把六颗行星摆成一张表周期的平方比着半长轴的立方——一条从数据里看出来的定律。开普勒1571–1630可以亲手玩五个正多面体装不下太阳系他一生最得意的那个模型是错的，可正是它把他送到了第谷门下。开普勒1571–1630可以亲手玩堆橙子的最好办法水手堆炮弹的方式就是最优解——这句话花了三百八十七年才被证明。开普勒1571–1630可以亲手玩酒桶：极值附近是平的他觉得酒商的量法在骗人，算完发现那把尺正好卡在最优处。开普勒1571–1630故事展签那八分弧两千年的圆周，是被八分弧的误差顶掉的。开普勒1571–1630镇馆之宝一个方程装下所有圆锥曲线阿波罗尼奥斯写了八卷来分别处理的三种曲线，在坐标里只差一个符号。笛卡尔1596–1650可以亲手玩线段乘线段，还是线段这一步在欧洲拆掉了希腊人两千年的维数束缚，x⁴ 才算合法。笛卡尔1596–1650可以亲手玩笛卡尔符号法则数一眼系数的正负，就知道有几个正根——一个根也不用解。笛卡尔1596–1650故事展签我们今天写代数的方式x、y、z 是未知数，a、b、c 是已知数，右上角写指数——都是他定的。笛卡尔1596–1650镇馆之宝书页边上那行字n 大于 2 时，xⁿ+yⁿ=zⁿ 没有整数解。他说证明写不下。费马1607–1665可以亲手玩无穷递降假设有一组解，就能造出更小的一组——而正整数不能一直变小。费马1607–1665可以亲手玩微积分之前的微积分先加一个小量 E，约掉它，再把它当成零——这就是求导。费马1607–1665可以亲手玩光走最省时间的那条路不是最短的路，是最省时间的路——折射定律由此推出。费马1607–1665可以亲手玩费马小定理p 是素数时，a 的 p−1 次方除以 p，余数总是 1。费马1607–1665故事展签他一生没发表过一篇数学论文全部成果写在信里，多半只报结论——留下来纯属侥幸。费马1607–1665镇馆之宝赌局中断，赌本怎么分一场没打完的赌，赌本该怎么分才算公道？帕斯卡1623–1662可以亲手玩算术三角形每个数是它上面两个数之和——一张表，装着三件不同的事。帕斯卡1623–1662可以亲手玩神秘六边形圆锥曲线上任取六点连成六边形，三对对边的交点必在一条直线上。帕斯卡1623–1662可以亲手玩会进位的机器999999 加 1，六个轮子一齐翻——这一下是机械做的，不是人做的。帕斯卡1623–1662可以亲手玩压强往各个方向一样传一边轻轻一按，另一边就抬起一辆车；而山顶上的水银柱比山下矮三寸。帕斯卡1623–1662故事展签那个赌注在不可能知道答案的地方，他问的是：那该怎么下注？帕斯卡1623–1662镇馆之宝从哪儿放手，都同时到底普通的摆，摆得大就慢一点；换成摆线，快慢一模一样。惠更斯1629–1695可以亲手玩波前上每一点，都是新的波源一条画图的规矩，把折射、反射与衍射一起解释掉了。惠更斯1629–1695可以亲手玩土星的「耳朵」是一圈环伽利略看见它、又看见它消失，四十多年没人说得清；惠更斯用一句字谜给出了答案。惠更斯1629–1695可以亲手玩光速第一次有了数字木星的卫星食提前或推迟，早晚差出二十二分钟——那不是卫星不准，是光在路上。惠更斯1629–1695可以亲手玩一场赌局值多少钱他把「期望」写定成一个可以交易的价格：你愿意花多少钱买下这个机会。惠更斯1629–1695故事展签海上的那口钟他把钟做准了，可船一晃，摆线的「腮」就没用了。惠更斯1629–1695可以亲手玩微积分用「无限逼近」驯服变化与曲线，一套同时处理速度、斜率与面积的通用语言。牛顿1643–1727可以亲手玩微积分基本定理求面积与求切线，是同一件事的正反两面。牛顿1643–1727镇馆之宝万有引力苹果落地与月亮绕行，是同一条定律的两个侧面。牛顿1643–1727可以亲手玩为什么必须是平方反比指数稍稍挪开，椭圆就再也合不拢。牛顿1643–1727可以亲手玩光的分解白光不是纯净无色，而是七色光的合奏。牛顿1643–1727可以亲手玩牛顿法沿着切线滑下去，一步步逼近方程的根。牛顿1643–1727可以亲手玩广义二项式定理把 (1+x)ⁿ 的展开从正整数推广到分数与负数。牛顿1643–1727镇馆之宝记号也是一种发明牛顿写 ẏ，他写 dy/dx——一百年后，赢的是记号。莱布尼茨1646–1716可以亲手玩只用 0 和 11679 年的手稿；1703 年发表时，他在后面附了《易经》的六十四卦。莱布尼茨1646–1716可以亲手玩π 的最漂亮也最慢的式子1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯ 收敛到 π/4；漂亮，但慢得没法用。莱布尼茨1646–1716可以亲手玩一封信里的行列式1693 年他告诉洛必达：方程组有没有解，算一个数就知道。莱布尼茨1646–1716可以亲手玩第一台会乘除的机器帕斯卡的机器只会加减；他加了一根阶梯轴，于是机器会乘了。莱布尼茨1646–1716故事展签谁先发明了微积分两个人各自想到，争了三十年；输的是英国数学。莱布尼茨1646–1716镇馆之宝大数定律：摸多少次才算数单独一颗石子猜不准，摸得够多，罐子里的比例就自己露出来。雅各布·伯努利1655–1705可以亲手玩前 1000 个数的十次方之和同一串常数能算出任何次方的和；他算那个 32 位数，用了不到半刻钟。雅各布·伯努利1655–1705可以亲手玩他证明了这个和小于 2，然后停在那里求不出准确的值，他就在书里公开求人解答——四十六年后欧拉答出 π²/6。雅各布·伯努利1655–1705可以亲手玩一根链子挂下来，不是抛物线伽利略说它近似抛物线，其实差在指数上：它是双曲余弦。雅各布·伯努利1655–1705可以亲手玩转一下、放大一点，还是它自己他把这条曲线叫「奇妙的螺线」，并要它刻在自己墓碑上。雅各布·伯努利1655–1705故事展签一本没写完的书他到死没写完；八年后侄子替他出版，概率论从这一本开始。雅各布·伯努利1655–1705镇馆之宝二项分布怎么变成那条钟形曲线1733 年 11 月 12 日，七页拉丁文，只在朋友间传阅。棣莫弗1667–1754可以亲手玩乘方就是把角加起来开 n 次方于是有 n 个答案——它们把圆周等分。棣莫弗1667–1754可以亲手玩不数前面，直接写出第 n 项斐波那契通项今天叫比内公式，可比内晚了一百多年。棣莫弗1667–1754可以亲手玩那个 √(2π)，不是他找到的形式是他的，级数是他的，常数是斯特林的，名字是斯特林的。棣莫弗1667–1754可以亲手玩一条命值多少钱他把概率算到了人的寿命上——保险精算从这本书起步。棣莫弗1667–1754故事展签咖啡馆里的概率学家他一生没拿到教席，靠替人算一局赌博值多少钱过日子。棣莫弗1667–1754可以亲手玩管子变细的地方，水把管壁压得更轻一只始终满着的大桶接一根水平管，管口开得越大、水流得越快，管壁上的压力就越小；细到一定程度，管壁会往里吸。丹尼尔·伯努利1700–1782镇馆之宝一张期望无穷的券，值几个达克特掷硬币直到出正面，第 k 次出就给 2 的 k−1 次方个达克特。按期望它值无穷多，可谁也不肯出二十——他说，钱的好处与你已有的钱成反比。丹尼尔·伯努利1700–1782可以亲手玩空气是一筒乱撞的小球把盖板压下一半，小球撞它的次数翻倍，压力也翻倍；把小球加快，压力按速度的平方涨——这是已知最早用碰撞算出玻意耳定律的一次。丹尼尔·伯努利1700–1782可以亲手玩一根弦同时发出好几个音拨响的弦不是一种振动，是好几种泰勒振动叠在一起；拨在哪儿，就决定哪几种响、哪几种不响。丹尼尔·伯努利1700–1782可以亲手玩种一次痘，平均多活三年假定没出过天花的人每年有 1/8 染上、染上的有 1/8 死，他拿哈雷的生命表逐年推：没有天花，新生儿的平均寿命从 26 年 7 个月变成 29 年 9 个月。丹尼尔·伯努利1700–1782故事展签「一丝一毫也不欠我父亲」1738 年他的《流体力学》出版；四年后父亲的《水力学》印出来，书名页上写着「1732 年首次发现」。丹尼尔·伯努利1700–1782可以亲手玩欧拉恒等式五个最重要的常数——e、i、π、1、0——在一行等式里相遇。欧拉1707–1783镇馆之宝哥尼斯堡七桥问题「能否不重复地走遍七座桥」——一个散步谜题催生了图论。欧拉1707–1783可以亲手玩多面体公式任何凸多面体，顶点数减棱数加面数恒等于 2。欧拉1707–1783可以亲手玩欧拉乘积公式左边只认整数，右边只认素数，两边永远相等。欧拉1707–1783可以亲手玩欧拉定理与 φ 函数网上支付的安全，压在这一行同余式上。欧拉1707–1783可以亲手玩变分法与最速降线不是在一族曲线里挑最优，而是在所有曲线里挑。欧拉1707–1783可以亲手玩巴塞尔问题全体平方数倒数之和，答案里竟藏着圆周率。欧拉1707–1783可以亲手玩现代符号的铸造者e、i、π、f(x)、Σ——今天数学的书写方式出自他手。欧拉1707–1783镇馆之宝π 写不成分数：一串停不下来的除法他没有直接算 π。他去除两个级数，发现商有规律、余数永不为零——而分数的辗转相除必须在有限步内停下来。兰伯特1728–1777可以亲手玩三个直角，第四个角却量出了一把尺子四边形在三处是直角。第四个角在欧氏几何里永远是 90 度；在锐角那一种里，它由边长定死——于是说出一个角，就等于交出一段长度。兰伯特1728–1777可以亲手玩一个数，从墨卡托一直调到极射赤面他先问了一个没人问过的问题：这两种保角的画法，中间有没有一串过渡？答案是有，而且只差一个参数。兰伯特1728–1777可以亲手玩解不出来的方程，只好给它起个名字x 乘以 e 的 x 次方等于 a——把 x 写出来是做不到的。于是今天给它起了个名字，叫 Lambert W。而这个名字安上去的时候，他已经走了两百多年。兰伯特1728–1777可以亲手玩飞这一段要多久，与轨道长什么样无关从一点飞到另一点要多少时间？照常理得看轨道。他证明：不用看——只要三个数定了，时间就定了。兰伯特1728–1777故事展签他把光变成了可以量的东西1760 年那本《光度学》之前，「亮」只是个形容词。他给它定了单位、定了法则，两百多年后，你在屏幕上看到的每一个受光面都按他那条余弦定律着色。兰伯特1728–1777镇馆之宝一本没有图的力学书牛顿的路子要追着约束力算；他只写一个标量 L = T − V，约束力一次也不出现。拉格朗日1736–1813可以亲手玩带着镣铐求极值点被约束在一条曲线上，导数为零那一套就用不上了——除非换个说法。拉格朗日1736–1813可以亲手玩三体问题的五个精确解三体一般解不出来，但有五个位置例外——他找到了其中两个。拉格朗日1736–1813可以亲手玩预解式：为什么到五次就停住了他不问三次四次怎么解，而问已有的解法为什么行得通——这一问问出了群论。拉格朗日1736–1813可以亲手玩过这些点的，只有一条曲线n+1 个点定一条 n 次多项式，而且不用解方程组就能把它写出来。拉格朗日1736–1813故事展签砍下这颗头颅只要一瞬间革命年代他在巴黎主持度量衡委员会，而保下他的人第二年上了断头台。拉格朗日1736–1813镇馆之宝最省的运法里，两条路不会相交把一堆土搬去填一个坑，每一粒的运费是重量乘路程。他证的第一件事：总运费最小的时候，任何两粒土的路线都不交叉。蒙日1746–1818可以亲手玩河上只有两座桥，分界线是一条双曲线土要过河，只有两座桥。挖方里哪一块走哪座桥、填方里哪一块收哪座桥来的土？分界线是以两座桥为焦点的同一条双曲线的两支。蒙日1746–1818可以亲手玩两张图，定一个立体一张平面图、一张立面图，中间一条折线：把竖着的立面绕这条线放倒，两张图就画在同一张纸上——一个立体的全部尺寸都能从纸上量回来。蒙日1746–1818可以亲手玩三个圆的难题，跳到三维里去证三个圆，两两作外公切线，交出三个点，这三点在一条直线上。他的证明是把三个圆看成三个球，这条线就是两个平面的交线。蒙日1746–1818可以亲手玩椭球穹顶上的两个脐点曲面上每一点都有两个弯得最厉害与最平缓的方向，顺着它们走出两族处处正交的曲线。他要把议会大厅的穹顶照这两族线起肋，讲话的人站在一个脐点下面。蒙日1746–1818故事展签他的学生们他参与办起一所学校，教出了下一代的工程师与几何学家；他去世时，政府不许为他致哀，学生们照样去了。蒙日1746–1818镇馆之宝不管从哪里出发，加起来都是同一条钟形曲线这就是正态分布在现实里无处不在的原因。拉普拉斯1749–1827可以亲手玩把微分方程变成一道代数题求导变成乘 s；然后看一眼极点，就知道系统长什么样。拉普拉斯1749–1827可以亲手玩每一点都等于邻居的平均所以一块平衡的板子内部，不会凭空冒出一个热点。拉普拉斯1749–1827故事展签拉普拉斯妖一个被后世驳倒了两次的思想实验——但它原本不是用来吹牛的。拉普拉斯1749–1827故事展签「我不需要那个假设」太阳系不会自己散架——他把这件事算了出来。拉普拉斯1749–1827镇馆之宝方程比未知数多的时候四段弧、五个纬度，要定的只有两个数。多出来的那几条怎么办——他让误差的平方和最小。勒让德1752–1833可以亲手玩八个情形，只有三个证得干脆「互反律」这个名字是他起的。他把它分成八种情形，三种当场证完，另外五种要先有一个素数——而那个素数在不在，他不知道。勒让德1752–1833可以亲手玩小于 x 的素数有多少：第一条公式1.08366——他从素数表里配出来的这个常数，让公式在他看得见的那一段赢得漂亮，也把它锁死在错的地方。勒让德1752–1833可以亲手玩第三个角，凭什么只由前两个角定两角夹一边，三角形就定了，所以第三个角是这两个角与那条边的函数。他说：边是长度，进不了角的式子——于是那条边被划掉了。勒让德1752–1833可以亲手玩四十年，他把一整片积分归成三类椭圆的弧长积不出来，摆的周期也积不出来。他把这一片积分全归到三个标准形，再造出十二位的表——让它们像对数一样可以查。勒让德1752–1833故事展签书上印了两百年的那张脸，不是他一幅侧面像，底下只写着「Legendre」一个姓，进了词典、课本与数学史。2005 年才有人发现，画的是同名的一位革命政治家。勒让德1752–1833镇馆之宝用正弦波堆出方波堆得出来——但跳跃处那个 8.95% 的凸起，加多少项都去不掉。傅里叶1768–1830可以亲手玩热方程：他造这把刀是为了切热换到正弦基底上，方程就散架成一堆互不相干的一阶方程。傅里叶1768–1830可以亲手玩系数衰减多快，只看函数有多光滑JPEG 和 MP3 敢把高频整条丢掉，靠的就是这一条。傅里叶1768–1830故事展签他也是第一个说「大气会留住热」的人1824 年，比「温室效应」这个词早了将近一个世纪。傅里叶1768–1830故事展签「任何函数」这句话逼出了什么一句不严格的断言，逼出了整整一百年的分析学。傅里叶1768–1830可以亲手玩少年的求和十岁的高斯把 1+2+⋯+100 首尾配对，几秒钟报出 5050。高斯1777–1855可以亲手玩正十七边形只用尺规画出正十七边形——一桩悬置两千年的公案。高斯1777–1855可以亲手玩《算术研究》与同余「时钟算术」——只看余数的运算，奠定现代数论。高斯1777–1855可以亲手玩代数基本定理每个复系数多项式都有根——而这件事的骨头是拓扑的。高斯1777–1855可以亲手玩二次互反律两个素数互相「看得见对方的平方」——答案被绑死了。高斯1777–1855镇馆之宝正态分布误差与随机背后的钟形规律。高斯1777–1855可以亲手玩最小二乘与谷神星行星失踪了——二十四岁的高斯用数据算出它将在哪里重现。高斯1777–1855可以亲手玩绝妙定理曲面的弯曲是内在的——不离开曲面，就能测出它弯不弯。高斯1777–1855镇馆之宝稀有事件的定律被马踢死这件事毫无规律可言，可它发生的次数严丝合缝。泊松1781–1840可以亲手玩判断守恒，只要算一个括号1925 年狄拉克把它换成对易子——量子力学的骨架就是这套东西。泊松1781–1840可以亲手玩他用来反驳波动说的那个荒谬推论圆盘影子的正中央是亮的——而且亮得跟没挡时一样。泊松1781–1840故事展签泊松方程：把源项加进去拉普拉斯方程管空处，他管有东西的地方。泊松1781–1840故事展签他常常站在错的一边但每一次都恰好把对的一方往前推了一步。泊松1781–1840镇馆之宝「无限接近」到底有多近在他之前这是一句形容，在他之后这是一场你出 ε、我出 δ 的游戏。柯西1789–1857可以亲手玩不知道极限是什么，也能断定它收敛判据里不许出现极限本身——正是这一步，让实数补得起来。柯西1789–1857可以亲手玩围道可以随便挪只要不越过那几个洞，闭曲线怎么扭，积分值都不变。柯西1789–1857可以亲手玩实轴上一路光滑，级数却过不了 11/(1+x²) 在实轴上哪里都好好的，答案不在实轴上。柯西1789–1857可以亲手玩没有平均值的分布样本越取越多，平均值不但不稳，还会时不时被拽到天上去。柯西1789–1857故事展签经他手的那两份手稿阿贝尔与伽罗瓦——两人都死在二十几岁，两份稿子都在巴黎耽搁了。柯西1789–1857镇馆之宝平行角：那个角成了一个函数从一点向一条直线作垂线。垂线多长，「刚好还不与它相交」的那个临界角就是多少——欧氏几何里它永远是 90°，这里它随长度一路缩小。罗巴切夫斯基1792–1856可以亲手玩三角形缺掉的那一点，就是它的面积内角和永远不到 180°，缺的那一点换成弧度正好是面积。于是三角形的面积有上限，而相似三角形根本不存在。罗巴切夫斯基1792–1856可以亲手玩半径是虚数的那个球面把三条边都乘上根号负一，他的公式原样变成球面三角的公式。所以他管自己这套东西叫虚几何。罗巴切夫斯基1792–1856可以亲手玩他把这件事交给了望远镜空间到底弯不弯？他说这只能像别的自然律一样靠观测来定，然后拿天狼星的视差算了个下界。罗巴切夫斯基1792–1856可以亲手玩把根一遍遍平方不猜初值、不逐个去找：把方程的根平方六遍，全部根一次读出来。罗巴切夫斯基1792–1856故事展签一个人对着沉默写了三十年1826 年他讲了，没有回音；1829 年他印了，被退稿、被嘲笑。他又写了二十年，至死没听到一句公开的赞成。罗巴切夫斯基1792–1856镇馆之宝先解一个点，再把一切叠起来格林函数——今天费曼图上每一条内线，画的都是它。格林1793–1841可以亲手玩「势」这个词是他造的一个标量装下整个矢量场——三份账压成一份。格林1793–1841可以亲手玩边界上的一圈，等于内部的一片描一圈轮廓就量出面积——求积仪就是这么工作的。格林1793–1841故事展签一本没人读的小册子五十个订户，四十岁上大学，四十七岁去世，十四年后才有人翻开它。格林1793–1841镇馆之宝写不出来，不等于不存在五次方程的根一个不少、算得要多准有多准，只是没有一个公式能把它们写出来。阿贝尔1802–1829可以亲手玩「发散级数是魔鬼的发明」骂完之后，他给了一个让魔鬼也说得通的办法——今天那个办法叫阿贝尔求和。阿贝尔1802–1829可以亲手玩把积分反过来看正弦有一个周期；他这个函数有两个，而且方向不同。阿贝尔1802–1829可以亲手玩双纽线也能五等分高斯把圆分成十七份；阿贝尔证明，同样的分法对这条 ∞ 形的曲线也成立。阿贝尔1802–1829可以亲手玩交换律换来一个名字今天说「阿贝尔群」，说的就是「乘起来不分先后」——这个名字来自他 1829 年的一篇论文。阿贝尔1802–1829故事展签那封迟到两天的信1829 年 4 月 6 日他病死，4 月 8 日柏林的聘书寄到。阿贝尔1802–1829镇馆之宝一个画不出来的函数有理点取 1、无理点取 0——没有一段连续、画不出一条曲线，可每一点的值都是确定的。狄利克雷1805–1859可以亲手玩级数什么时候真的收敛分段光滑就收敛；而在跳跃处，它收到左右两个极限的正中间。狄利克雷1805–1859可以亲手玩东西比抽屉多一句用不着证明的话，逼出了「任何无理数都有分数逼它逼到 1/q² 以内」。狄利克雷1805–1859可以亲手玩5、11、17、23…… 会不会有一天就没了首项与公差互素，那条等差数列里就有无穷多个素数——用分析的办法证出来的数论定理。狄利克雷1805–1859可以亲手玩取最小的那一个能量最小的那个函数就是解——一句好用得不像话的话，八十年后才被补上漏洞。狄利克雷1805–1859故事展签那本随身带了一辈子的书高斯的《算术研究》，他出门也带着，像牧师带着祈祷书。狄利克雷1805–1859镇馆之宝一小块面积，被放大了几倍换元积分里那个多出来的因子，就是每一小块面积被放大的倍数。雅可比1804–1851可以亲手玩一条级数，等于一串连乘指数是平方数的那条级数，还能写成一串因子连乘——于是加法的问题接上了乘法的问题。雅可比1804–1851可以亲手玩四个平方数，能凑出多少种拉格朗日证明了一定凑得出；雅可比数出了到底有几种，而且答案只跟 n 的因数有关。雅可比1804–1851可以亲手玩让每个未知数去问邻居解方程组不必消元消到底：把其余各项挪到右边当新值，一轮一轮重算就是了。雅可比1804–1851可以亲手玩把运动变成一条直线换一组坐标，绕圈的轨道就成了匀速走的直线——代价是先解一个偏微分方程。雅可比1804–1851故事展签科学的唯一目的，是人类精神的荣耀1830 年他写信给勒让德，反驳一句「数学应当有用」——顺便替数论说了话。雅可比1804–1851镇馆之宝万向节死锁：三个角度不够用把机头拉到 90°，三根转轴塌成两根。哈密顿1805–1865可以亲手玩三个虚数单位，和一条被放弃的定律ij = k，而 ji = −k——乘法第一次不再可交换。哈密顿1805–1865可以亲手玩slerp：球面上最短的那条弧两个姿态之间怎么过渡？沿着球面走测地线。哈密顿1805–1865可以亲手玩相空间：能量为什么会漏同一个步长，显式欧拉让摆越荡越高，辛欧拉不会。哈密顿1805–1865可以亲手玩二十面体游戏：走遍每个点欧拉走遍每条边，哈密顿走遍每个点——难度差着一个世界。哈密顿1805–1865故事展签向量把四元数赶了出去，图形学又把它请了回来一度被当作失败品的东西，一百四十年后成了标准件。哈密顿1805–1865镇馆之宝可解性的阶梯二次三次四次都拆得完，到五次那一格断了——公式也就断在那里。伽罗瓦1811–1832可以亲手玩A₅ 是单群五次方程无解的全部理由，是一个能数出来的事实。伽罗瓦1811–1832可以亲手玩哪些换法什么也没打乱伽罗瓦群，就是从有理数看过去「这些根有多分不清」。伽罗瓦1811–1832可以亲手玩有限域：每一个二维码里都有他他证明有限域的大小只能是素数的幂；一百多年后，这成了纠错码的地基。伽罗瓦1811–1832故事展签决斗前夜的那封信「我没有时间了。」——但他并不是那一夜才写出这套理论的。伽罗瓦1811–1832镇馆之宝第一批写得出来的超越数代数数没法被分数逼得太近；他造了一个能被逼得任意近的数，于是它不是任何代数方程的根。刘维尔1809–1882可以亲手玩粗细不匀的弦，泛音照样排得齐一根一头粗一头细的弦，第 n 个泛音的频率趋于 nπ 除以一个积分——那个积分只看粗细沿弦怎么分布。刘维尔1809–1882可以亲手玩一团状态跟着方程走，面积只听一个数在（位置，速度）平面上撒一团初值，让每一点照方程走：它会被拉长、卷成细丝，面积却只看加速度与速度有没有关系。刘维尔1809–1882可以亲手玩钟形曲线的原函数，为什么写不出来∫e^(−x²) dx 不是算不出来，是被证明了写不成初等函数；判据是一个方程有没有有理函数解。刘维尔1809–1882可以亲手玩到了三维，保角的只剩反演平面上每一个解析函数都保角，墨卡托投影就是其中一个；空间里保角的映射只剩相似、反演和它们拼起来的那些。刘维尔1809–1882故事展签一个没见过伽罗瓦的人，把他读懂了伽罗瓦死后十一年，刘维尔在科学院宣布那批稿子里有东西；又过三年，他把它登在自己的杂志上，卷首写着一篇「告读者」。刘维尔1809–1882镇馆之宝一条处处没有切线的曲线横向缩十三倍、纵向放大两倍，画面回到原样——所以哪一点上都安放不下一条切线。魏尔斯特拉斯1815–1897可以亲手玩「一致」两个字是怎么加上去的柯西 1821 年证过：连续函数之和还连续。阿贝尔举出了反例，而补上的那个词是魏尔斯特拉斯的。魏尔斯特拉斯1815–1897可以亲手玩「取得到」这三个字有界数列必有收敛的子列，闭区间上的连续函数一定取得到最大值——办法都是对半分下去。魏尔斯特拉斯1815–1897可以亲手玩七十岁那年的逼近定理任何一条连续曲线——哪怕处处没有切线——都是一串多项式的一致极限。魏尔斯特拉斯1815–1897可以亲手玩先挑好零点，再把函数造出来随便给一串跑向无穷的点，总有一个整函数恰好在那里为零——难处在于直接乘起来会塌掉。魏尔斯特拉斯1815–1897故事展签他的数学是讲出来的一个被大学挡在门外的学生、三百多张照片，和一叠被烧掉的信。魏尔斯特拉斯1815–1897镇馆之宝x 乘 x 还是 x普通代数里这条式子只有两个解，0 和 1——布尔说，那正好够逻辑用。布尔1815–1864可以亲手玩半加器：一个异或加一个与机器要会加法，先得会答两个问题：本位写几，要不要进一。布尔1815–1864可以亲手玩交、并、补：另一套读法同一套式子，可以读成逻辑，也可以读成集合——德摩根律两边都成立。布尔1815–1864可以亲手玩一个开关网络，就是一个布尔表达式这一步不是布尔迈出的——是七十三年后一个二十一岁的硕士生。布尔1815–1864可以亲手玩一个式子为真的概率知道 P(A) 与 P(B)，还定不下 P(A 且 B)——只能给出一段区间。布尔1815–1864故事展签《思维规律的研究》与那场雨他把自己最重要的一本书写完，十年后在同一条路上淋了一场雨。布尔1815–1864镇馆之宝把转动变成直线四根杆、两个固定铰，中点画出的那条线，在四个单位的行程里上下只差 0.00975——而误差曲线正好等幅交替五次。切比雪夫1821–1894可以亲手玩最好的多项式，误差是等幅摆动的首一的 n 次多项式里，最大偏差最小的那条正好是 2^(1−n)，而且它的误差要正负交替 n+1 次。切比雪夫1821–1894可以亲手玩不问分布长什么样偏离均值两个标准差以上的概率，不会超过四分之一——不管这个分布是什么。切比雪夫1821–1894可以亲手玩素数不可能稀成别的样子他没能证出素数定理，但他证明了：那个比值如果有极限，就只能是 1。切比雪夫1821–1894可以亲手玩素数的赛跑：4k+3 为什么老是领先一百万以内，4k+1 只在五十三小段里领先过，合计三千四百个数；再扫到四百万，一段新的都没有。切比雪夫1821–1894故事展签《论衣服的裁剪》一块平布能不能裹住一个球？他把这个裁缝的问题变成了一条方程，一百四十年后它被用来铺碳纤维。切比雪夫1821–1894镇馆之宝非欧三角形同一个三角形，在球面上大于 180°，在马鞍面上小于 180°。黎曼1826–1866可以亲手玩素数计数与 ζ 函数看似杂乱的素数，被一条光滑曲线从高处统率。黎曼1826–1866可以亲手玩黎曼面把 √z 的两个值粘成一张连续的曲面。黎曼1826–1866可以亲手玩度量：几何的第二层同一张平面，换一把尺子，几何就变了。黎曼1826–1866可以亲手玩黎曼积分他给的不是切法，是一条「什么叫可积」的判据。黎曼1826–1866可以亲手玩黎曼猜想一张八页论文留下的悬念，一百六十年仍未解开。黎曼1826–1866可以亲手玩显式公式：零点如何写出素数零点是频率，素数是音色。黎曼1826–1866镇馆之宝缝里站不下有理数，就在那儿添一个把有理数切成两堆。切口上有时站着一个数，有时什么也没有。戴德金1831–1916可以亲手玩把因子换成一整族数6 有两种分解，谁也拆不动对方。除非「因子」不再是一个数。戴德金1831–1916可以亲手玩素数怎么分，看一个多项式模 p一条把数域问题搬到地面上的定理，外加他自己给它划的界。戴德金1831–1916可以亲手玩与自己的一部分一一对应无穷第一次有了正面的定义，而有限反倒成了派生的。戴德金1831–1916可以亲手玩三个模，二十八个和与交反复做下去，会不会没完？他数出了封顶的那个数。戴德金1831–1916故事展签四次改写，四次都印在别人的书后面他一生最重要的理论，没有一次以自己的书的形式出版。戴德金1831–1916镇馆之宝任何矩阵都是：转一下、拉一下、再转一下1873 年他给大学生办的一份刊物写了篇小文章，把双线性函数化成了标准形。一百三十年后，这件事成了数据时代用得最多的一把刀。贝尔特拉米1835–1900可以亲手玩换一套坐标，这个数不动曲面上要算一个函数「弯得多厉害」，先得有坐标。他找出了那些换了坐标也不变的量，管它们叫曲面的绝对函数。贝尔特拉米1835–1900可以亲手玩他想画一张量得了距离的地图，证出来的却是办不到最短线在图上要是直线，量距离就省事了。他去找这种投影的一般做法，结论是：除了常曲率的曲面，谁也做不到。贝尔特拉米1835–1900可以亲手玩非欧几何的那块真实基底——以及他自己划下的界一根长度不变的绳子拖出一条曲线，转一圈就是一张处处曲率为 −1 的面。他说：平面那一半做到了，其余的做不到。贝尔特拉米1835–1900可以亲手玩保角做不到的时候，退一步要求什么弯曲的曲面上还能不能讲解析函数？答案系在一个方程上。它解得出来就保角，解不出来，就让小圆变成形状一样的小椭圆。贝尔特拉米1835–1900故事展签一个没有学位的铁路公司秘书1855 年他被学院开除，1859 年被铁路公司以政治理由解雇。1862 年一纸任命状把他直接放上了博洛尼亚的讲台——他从头到尾没有学位。贝尔特拉米1835–1900镇馆之宝一条闭曲线，把平面分成两块这句话听上去是废话，他花了七页去证；而今天每一个图形库判「点在不在多边形里」，用的正是他数交点的那一段。若尔当1838–1922可以亲手玩对角线上一个数，旁边再来一个今天写成矩阵的那个标准形，他是在模 p 的世界里做出来的——而在那里，一个幂零的东西是有阶的。若尔当1838–1922可以亲手玩拆法不止一种，拆出来的却是同一串Z/30 有整整六条拆法，恰好是 2、3、5 的六种排法；而这串因子作为一堆数，是同一堆。若尔当1838–1922可以亲手玩摆了多少，可以是一个数把涨的加成一堆、落的加成一堆，一个函数的上上下下就成了可以量的量——而它等价于「两个单调函数之差」。若尔当1838–1922可以亲手玩先说清什么叫面积，再说什么叫积分用边长 r 的方格从里外两头夹：夹得拢的，他叫它「可求积」。夹不拢的那一类，二十年后逼出了勒贝格。若尔当1838–1922故事展签卡纸上那行字：C. Jordan，里昂，1838 年 1 月 5 日全馆唯一一张自己报出姓名与生日的肖像。而这个名字他是从一位同名的政治家那里继承的——那人是他的叔曾祖父。若尔当1838–1922镇馆之宝对角线法给我一张列全了实数的清单，我当场造一个不在上面的。康托尔1845–1918可以亲手玩有理数可数分数密密麻麻挤满数轴，却能一个不漏地排成一队。康托尔1845–1918故事展签线段与正方形一样多一条一维的线段，和一整个二维的正方形，点一样多。康托尔1845–1918故事展签连续统假设自然数与实数之间，还有没有别的无穷？康托尔1845–1918镇馆之宝几何是一个群的不变量你许我动它到什么地步，它就还剩多少性质。群越大，活下来的量越少——这就是爱尔兰根纲领的全部内容。克莱因1849–1925可以亲手玩把非欧几何搬进一个圆盘圆盘里面就是整个双曲平面：直线是弦，过一点能画出无穷多条不与已知直线相交的线。而两点之间的距离，是一个交比。克莱因1849–1925可以亲手玩正二十面体里藏着五次方程把二十面体转回它自己，办法正好有 60 种。这个 60 与「五次方程没有求根公式」是同一件事。克莱因1849–1925可以亲手玩走一圈回来，你成了自己的镜像一块方布，左右边直接粘上，上下边翻个面再粘——缝出来的东西没有里外，走一圈回来左右手对调。克莱因1849–1925可以亲手玩一块基本域，铺满整个上半平面两个动作——左右平移一格、对单位圆做反演——就能把上半平面铺成无穷多块全等的砖。任给一个点，几步就能送回那块原砖。克莱因1849–1925故事展签把一个系办成世界的中心三十三岁那年他不再做研究了。此后四十年他做的是另一件事——请人、办刊、拉钱、改中学课本。克莱因1849–1925可以亲手玩先给一个面上的值，其余全被逼出来偏微分方程该配什么条件才有唯一的解。她给的答案至今是起点。柯瓦列夫斯卡娅1850–1891可以亲手玩同一个方程，换个方向展开就散了她造了一个处处发散的级数，把上一件那条定理的前提钉死。柯瓦列夫斯卡娅1850–1891镇馆之宝一百年里的第三个重陀螺的运动，欧拉与拉格朗日各解出一种。第三种等了一百年。柯瓦列夫斯卡娅1850–1891可以亲手玩一个钟不够，要两个她这只陀螺压根不住在椭圆函数里。这是它等了一百年的真正理由。柯瓦列夫斯卡娅1850–1891可以亲手玩土星环的截面不是椭圆拉普拉斯假定它是椭圆。她不假定，把边界摊成一串正弦。柯瓦列夫斯卡娅1850–1891故事展签四堵墙上的微积分讲义她学会的第一批公式，是糊在儿童房墙上的一叠废纸。柯瓦列夫斯卡娅1850–1891镇馆之宝三体问题与混沌初始条件差之毫厘，轨道最终失之千里。庞加莱1854–1912可以亲手玩回归定理等得够久，它还会回来。庞加莱1854–1912可以亲手玩拓扑与可收缩环不看长度、角度，只看形状「挖了几个洞」。庞加莱1854–1912故事展签庞加莱猜想在三维里，怎样认出那个没有洞的球？庞加莱1854–1912故事展签自守函数把对称性、复分析与几何编织成一张网。庞加莱1854–1912镇馆之宝两万个字母，八千六百三十八个元音他把《叶甫盖尼·奥涅金》的开头拆成元音和辅音两种符号，数了两万个——为的是证明一件与诗毫无关系的事。马尔可夫1856–1922可以亲手玩大数定律并不需要各不相干有人从「犯罪率年年稳定」推出「人的举动彼此独立、所以是自由的」。他造了一串首尾相连的试验，把第一步就拆了。马尔可夫1856–1922可以亲手玩不管从哪儿出发，最后都落在同一处走上几步，「一开始在哪里」这件事就被抹平了。抹得有多快，1906 年那篇里就给了一个量。马尔可夫1856–1922可以亲手玩最难用分数逼近的那些数，排成了一棵树黄金分割是最难逼近的那一个。把它撇开，下一个是 1+√2；再撇开，是一串永远排不完却又彼此分开的数。马尔可夫1856–1922可以亲手玩门捷列夫问的那个问题一条曲线始终不超出上下两道线，它能有多陡？化学家只问了二次的那一档，他给了所有次数的答案。马尔可夫1856–1922故事展签他写信请求把自己也开除教籍呈文里援引的证据，是他自己那本《概率演算》。主教公会照章办了，然后开始满世界找他的受洗记录。马尔可夫1856–1922可以亲手玩求积的公式，搬不到微分方程上中点的函数值，求积时想取就取；解微分方程时，中点的 y 还不知道——先用欧拉走半步把它猜出来。龙格1856–1927镇馆之宝一滴水的形状，他是用滑尺算出来的方程解析上解不出来，他就一步一步推过去；推到子午线太陡，就换一个坐标当自变量。龙格1856–1927可以亲手玩一步里算四次，能买到四阶库塔把「凑得出几阶」变成八个条件方程；今天课本上那条 RK4，是这一族里唯一只用四个函数值的。龙格1856–1927可以亲手玩点越取越多，反而越差——界在复平面上短轴是长轴 0.5255 倍的那条曲线，把插值管用的那一段划了出来；而他自己那道例题不是 1/(1+25x²)。龙格1856–1927可以亲手玩有效域只要连通就够了整圈上用多项式逼近 1/z 永远差 1，这是定理不是算力；剪开一个口子，多项式立刻够用。龙格1856–1927故事展签两边都不认他数学界嫌他改行做物理是叛徒，物理界把他当数学家——而他自己始终认为自己是数学家。龙格1856–1927镇馆之宝不解方程，也能判断它稳不稳会解方程时这问题当然不难。他要的是一套不依赖解方程的办法——而且真的做出来了。李雅普诺夫1857–1918可以亲手玩线性化说不了话的那一档把高次项全扔掉，剩下的永远是同一个方程。可稳不稳，偏偏由被扔掉的那些项定。李雅普诺夫1857–1918可以亲手玩那个数算得出来，可它不是一个极限他给「解衰减得多快」定了一个数。有一个系统，这个量永远在正负一之间摆，极限根本不存在。李雅普诺夫1857–1918可以亲手玩凭什么一定是那条钟形曲线加起来就是钟形，这件事馆里已经讲过两遍。这一件讲的是另一半：凭什么。李雅普诺夫1857–1918可以亲手玩只看一个积分，就能判它稳不稳方程的系数随时间来回变，解会不会越涨越大？他给的判据只要算一个积分——而且那个 4 一分也改不大。李雅普诺夫1857–1918故事展签一个梨形该不该塌，两边吵了二十年切比雪夫把同一道题给过三个人，只有他接了下来。三十六年后的最后一门课上，他把这件事讲了出来。李雅普诺夫1857–1918镇馆之宝二十三个问题1900 年，他把整个二十世纪要干的活开了一张单子。希尔伯特1862–1943可以亲手玩希尔伯特曲线一根线，真的能走遍一个正方形的每一点。希尔伯特1862–1943可以亲手玩希尔伯特旅馆客满的旅馆，照样住得下新客——哪怕来的是无穷多位。希尔伯特1862–1943可以亲手玩桌子、椅子、啤酒杯把「点、线、面」换成任意三样东西，公理照样成立。希尔伯特1862–1943可以亲手玩希尔伯特空间把勾股定理搬到无穷多个方向上去。希尔伯特1862–1943故事展签「这不是数学，这是神学」他证明了那组基一定存在，却说不出它是什么。希尔伯特1862–1943镇馆之宝σ = 1 上，一个零点也没有黎曼猜想说零点全落在 σ = 1/2 上。他不碰那一句，只证 σ = 1 这条线上一个也没有——而素数定理正好卡在这里。阿达马1865–1963可以亲手玩元素都不超过 1，行列式最大能有多大上界他算了出来。够不够得着，他自己造了 12 阶与 20 阶两个例子，然后留下一个问题——那个问题至今没有答案。阿达马1865–1963可以亲手玩黎曼写下了那个乘积，可他没有证素数的分布最后落在「ζ 的零点摆在哪里」这句话上。要让这句话成立，先得有一个乘积公式——那个公式黎曼只是断言。阿达马1865–1963可以亲手玩存在、唯一，还差一条数据差一丁点，解可以差出天上地下。他说这样的问题在物理上等于没有答案。阿达马1865–1963可以亲手玩三个圆，中间那个被两边夹住这条以他命名的定理，原文是学会例会纪要里的一句断语——两页纸，没有证明，他还说「这一点我们用不着」。阿达马1865–1963故事展签同一年，两个人，走到同一块石头上素数定理 1896 年被证明了两次。他在校样上加了一条按语，里面说了两件事。阿达马1865–1963可以亲手玩一段接一段，跳到头一条线段上的每一点都落在某个开区间里——那么从左端出发，一段接一段往右跳，有限步之内一定跳得到头。波莱尔1871–1956可以亲手玩一条处处发散的级数，和是 0.5961 − 1!x + 2!x² − 3!x³ + …… 除了 x = 0，在哪里都发散；各项先除以 n!、再乘 e 的负 t 次方积一遍，它就有了一个和。波莱尔1871–1956可以亲手玩收敛圆外面，还有一块多边形一条幂级数只在收敛圆里有和；换成他的求和法，每个奇点只挡掉一个半平面，剩下的是一块比圆大得多的凸多边形。波莱尔1871–1956镇馆之宝七个筹码，分三堆两人各把 7 分成三个正整数、按顺序对比，三处里赢两处的人赢。每一种分法都有人克它——他问的是：那还有没有一个「最好的打法」？波莱尔1871–1956可以亲手玩一百万只猴子打字一百万只猴子每天在打字机上乱敲十小时，一年下来恰好敲出世界上所有图书馆的藏书——他说，气体自己分开一个十万分之一的差，就是这么不可能。波莱尔1871–1956故事展签七十岁那年的五个星期1941 年 10 月的一个下午，德国军官带着五个兵来到他在巴黎的寓所，搜了三个小时，把这位前海军部长带走了，没有说为什么。波莱尔1871–1956镇馆之宝交式斜乘为了从几条方程里消掉未知数，他把系数排成方阵、斜着一条条乘——二、三、四阶都对，五阶那张表照原样展开，恒等于零。关孝和约1642–1708可以亲手玩十二格的取数1712 年《括要算法》卷一的一张三角表底下，有一行十二格：全、二分之一、六分之一、空、三十分之一……就是后来的伯努利数。关孝和约1642–1708可以亲手玩十三万边形之后，再走一步内接正多边形边数加倍十五次，十三万一千零七十二边形的周长也只准到第九位；拿最后三档一外推，准到第十八位。关孝和约1642–1708可以亲手玩一路加三或加四3/1 起步，比定周小就周率加四、径率加一，比定周大就周率加三、径率加一——他把一百一十三行全列了出来，走到 355/113 停下。关孝和约1642–1708可以亲手玩球切成一百片，一分不差把直径一尺的球切成五十片、一百片、两百片，三次都差一点；拿求定周那一步再走一遍，差的那一点整个补齐。关孝和约1642–1708故事展签老衰疏懒，因循经年他死后，遗稿在弟子手里放了一年多。写跋的荒木村英说自己早想编成书，只是老了、懒了，一年拖一年——最后动手的是另一个弟子。关孝和约1642–1708镇馆之宝竖着切与横着切黎曼把 x 轴切成一条条，问每条上函数有多高；他把 y 轴切成一层层，问函数落在每一层的那些 x 一共有多长。勒贝格1875–1941可以亲手玩可数个区间，盖住全部有理数有理数处处稠密，可它们排得成一队；给第一个套长 ε/2 的区间、第二个 ε/4、第三个 ε/8……全部盖住，总长不超过 ε。勒贝格1875–1941可以亲手玩导数有界，黎曼却积不回来一个处处可导、导数不超过 1 多一点的函数，它的导数偏偏不黎曼可积；他的积分把原函数积了回来。勒贝格1875–1941可以亲手玩极限什么时候能搬进积分号一列函数逐点趋于 0，积分却可以恒为 1；只要能找到一个可积函数把整列压住，这种事就不会发生。勒贝格1875–1941可以亲手玩一点至少落在 n+1 块里平面用足够小的闭块去盖，总有一点同时属于三块；把奇数行的方块错开半块，就恰好只有三重点。勒贝格1875–1941故事展签一处「显然」，长出了一门学问1905 年他顺手证了一句「波莱尔集的投影仍是波莱尔集」；十二年后，莫斯科一个二十出头的学生指出这句话不对。勒贝格1875–1941镇馆之宝那条线上的零点，第一次有了无穷多个黎曼猜想说零点全落在那条线上。他证不出「全」，就去证「无穷多」——办法是把 ζ 在那条线上变成一条实曲线，再说明它不可能从某处起只待在一边。哈代1877–1947可以亲手玩把单位圆想成一条挂满灯的铁轨「n 能写成几个 k 次方之和」这个数，可以写成单位圆上的一条积分。可整个圆都是奇点——他与李特尔伍德发现，真正发光的只有分母小的那些有理点。哈代1877–1947可以亲手玩取一遍平均，最多放大四倍把一串数换成它的前 n 项平均，平方和至多涨到四倍。4 这个数是最好的——而给出最好那个证明的信，是兰道写来的。哈代1877–1947可以亲手玩一封读者来信，和它带来的一百年麻烦显性的性状会不会慢慢占满整个人群？他用一行小学乘法回答：不会，而且从第二代起就再也不动了。哈代1877–1947可以亲手玩谁跑得快是定死的，可要跑到一个七百万位的数那里才看得出来x 的千分之一次方，和对数的一千次方，最后谁大？答案是定的。而它们分出高下的地方，是一个七百二十万位的数。哈代1877–1947故事展签「我从来没有做过任何有用的事」1940 年，六十三岁，创造力已经走了。他写下一本为纯数学辩护的小书，并且把自己的一生摆上去当证物。哈代1877–1947镇馆之宝搅一杯咖啡，总有一点没挪窝把一个圆盘连续地挤、扭、挪回圆盘里，不管怎么弄，总有一个点落回原处——他证明了任何维数都是这样。布劳威尔1881–1966可以亲手玩偶数维的球梳不平在一个球面上处处画一支切着球面、连续变化的箭头，总有一处箭头缩成零——毛球梳不平；可一个圆周、一个三维球面都梳得平。布劳威尔1881–1966可以亲手玩数正的，减去数负的维数不变的证明里，他盖住一个点的像三角形分成正、反两种各数一遍，差恒等于 1——这就是后来的「度」。布劳威尔1881–1966可以亲手玩圆周转到自己身上，有几个点不动绕 d 圈的圆周映射，不动点带着符号加起来恰好是 1 − d；只有 d = 1 时才可能一个不动点都没有——他的定理 3 说的就是这个。布劳威尔1881–1966可以亲手玩π 里有没有 0123456789他用 π 的小数定义了一个实数：没有人能说它等于零、大于零还是小于零。七十多年后日本人算出了答案，可他要说的事并没有因此作废。布劳威尔1881–1966故事展签第 100 卷与第 101 卷的扉页1928 年的《数学年刊》扉页上还印着他的名字；1929 年那一卷，连同爱因斯坦在内，编委只剩三个人。布劳威尔1881–1966镇馆之宝诺特定理：对称与守恒每一条连续对称，都换来一个守恒量。诺特1882–1935可以亲手玩对称的群所有让图形保持原样的操作，本身就是一个结构。诺特1882–1935故事展签升链条件与诺特环不再问「怎么算」，而是问「这个结构还能一直长下去吗」。诺特1882–1935可以亲手玩同调群球面与射影平面的贝蒂数都是 0，群却分得开。诺特1882–1935镇馆之宝圆周率的级数一项换八位小数，而且是稳定地换。拉马努金1887–1920镇馆之宝分拆数 p(n)把 n 拆成若干正整数之和，有多少种拆法？拉马努金1887–1920可以亲手玩分拆同余每隔五个，p(n) 必定被 5 整除。拉马努金1887–1920可以亲手玩嵌套根式一层套一层，永远套下去，结果是个整整齐齐的 3。拉马努金1887–1920可以亲手玩罗杰斯–拉马努金恒等式一个管间距，一个管余数，数出来永远一样多。拉马努金1887–1920可以亲手玩高度合成数约数最多的数，长相被卡得极死。拉马努金1887–1920可以亲手玩τ 函数与拉马努金猜想值跳得毫无规律，却被一条界死死罩住。拉马努金1887–1920故事展签1729 与出租车数哈代说那辆车的号码很没意思。拉马努金说，不。拉马努金1887–1920故事展签失落的笔记本一叠散页在箱子里躺了五十六年。拉马努金1887–1920镇馆之宝那条圆上的分布，取决于你怎么切整个球球面上均匀取一点，问「它在这条大圆的哪儿」——这个问题本身没有答案，除非你先说清把球分成了哪一族。柯尔莫哥洛夫1903–1987可以亲手玩链走到连续时间，就成了两条偏微分方程一条对终点求导，一条对起点求导；他把后向那条叫「第一」，今天的叫法正好反着。柯尔莫哥洛夫1903–1987可以亲手玩一整条轨道也能有分布无穷多个坐标的空间上到底有没有那个测度，是要证的——他证了：有限维的那些分布只要彼此相容，就有，而且唯一。柯尔莫哥洛夫1903–1987可以亲手玩扰动之后并不是全乱整个区域除去一块测度小于 ε 的集合，仍然由不变环面铺着——ε 要多小都行，只要扰动够小。柯尔莫哥洛夫1903–1987可以亲手玩这一个串有多少信息香农量的是信源，他量的是这一个对象：能把它印出来的最短程序有多长。代价是这个长度算不出来。柯尔莫哥洛夫1903–1987故事展签音乐厅里那一小时，和只剩一个标题的那一篇同一张一小时报告的名单上，两个 1903 年生的人。一篇长成了 KAM，另一篇在会刊上只有一行字。柯尔莫哥洛夫1903–1987镇馆之宝一条指令也是一个数，所以它改得动十六个格子，指令和数字混在一起放。同一个字既读得成数，也读得成指令——于是一段程序可以伸手把自己改掉。冯·诺依曼1903–1957可以亲手玩谁也别想看穿谁——连他自己也说不准纯策略下，先亮牌的那个吃亏，两头对不上。允许掷骰子之后，两头合在同一个数上：这就是今天所说的博弈论基本定理。冯·诺依曼1903–1957可以亲手玩他要的不是真随机，是查得了账的假随机平方，取中间四位，再平方。一万个可能的数，最好的种子也只走得出一百一十一个——而第一个说这件事有多危险的，是他自己。冯·诺依曼1903–1957可以亲手玩算二十四小时的天气，花了将近二十四小时同一个差分格式，时间步长大一点就炸得没边。炸不炸是可以事先算出来的——代进一个纯波，看它一步放大多少。冯·诺依曼1903–1957可以亲手玩第几个，就是它前面那些凑成的那一堆0 是空集，1 是「装着空集的盒子」，2 是「装着 0 和 1 的盒子」。这么一来，一个数有几个元素，它就是第几个。冯·诺依曼1903–1957故事展签一个摆了三十年的证明，第四章没有人真的读过1932 年他把量子力学放进了希尔伯特空间，顺手证明了「不可能有隐变量」。三年后有人指出那个证明有一条假设不成立——没有人理会。冯·诺依曼1903–1957镇馆之宝每一步都缩一截，就一定停在一点一个把任意两点的距离都缩到 k 倍以内的映射，从哪儿出发反复代入都会停在同一个点上——而且还没算，就知道要算多少步。巴拿赫1892–1945可以亲手玩一列函数，两把尺子同一列连续函数，用「最大差」量不是柯西列，用「差的面积」量是柯西列、却没有连续的极限——完不完备，要看尺子。巴拿赫1892–1945可以亲手玩一个实心球，拆开拼成两个一个球切成有限块，只挪动、不伸缩，拼得出两个同样大的球——代价是用了选择公理，而那些块根本谈不上体积。巴拿赫1892–1945可以亲手玩只要不超过那把尺子，就能一直延拓下去在一条直线上给定的线性函数，只要处处不超过一个「次可加」的上界，就能延拓到整个空间而仍不超过它——每多一个方向，可选的值是一个区间。巴拿赫1892–1945可以亲手玩口袋里的两盒火柴他总带着两盒火柴、随手掏一盒；第一次掏到空盒时，另一盒还剩几根？施坦豪斯把这道题讲给了费勒，1950 年印进书里。巴拿赫1892–1945故事展签硬皮本、大理石桌面与一只活鹅问题先是用紫色铅笔写在咖啡馆的大理石桌面上，侍者擦不掉；1935 年起改写进一本存在柜台的硬皮本，悬赏从半杯咖啡到一只活鹅。巴拿赫1892–1945镇馆之宝这句话证不出来他造了一句话，说的是「我在这套规则里证不出来」。哥德尔1906–1978可以亲手玩给每一句话编一个号把符号串变成数，数学就能开口谈论自己了。哥德尔1906–1978可以亲手玩系统证不了自己没毛病一套规则若真的不出矛盾，它就恰恰说不出这一点。哥德尔1906–1978可以亲手玩可构造宇宙 L他造了一个瘦到极致的集合宇宙，在那里连续统假设是对的。哥德尔1906–1978可以亲手玩一个能回到昨天的宇宙1949 年，他送给爱因斯坦一个解——在那里，你能沿一条路走回自己的过去。哥德尔1906–1978故事展签1930 年 9 月 7 日，没有人听见他在圆桌讨论上说了一段话，全场毫无反应；只有一个人追了出来。哥德尔1906–1978镇馆之宝推力什么时候反过来只能全力向前或全力向后推，要最快停在原点：伴随量是一条直线，至多过零一次——所以推力至多反一次，换挡点落在一条抛物线上。庞特里亚金1908–1988可以亲手玩每隔 π 秒换一次号推的是一个弹簧振子时，伴随量成了一条正弦——除去头尾，每一段推力都恰好持续 π，离原点越远，来回推的次数越多。庞特里亚金1908–1988可以亲手玩紧的与离散的，互为对方的影子圆周的特征标是一个个整数，整数的特征标又拼回圆周——每个紧交换群都是某个离散群的特征标群，反过来也一样。庞特里亚金1908–1988可以亲手玩最高阶导数只出现在过去带时滞的方程，特征根有无穷多个；如果 z 的最高次与 e^z 的最高次不落在同一项上，就一定有无穷多个根跑进右半平面、越跑越远。庞特里亚金1908–1988可以亲手玩虚轴上两条曲线的零点要交替根有无穷多个，没法一个个求；他把问题搬到虚轴上——F 与 G 的零点全是实的、一个隔一个，就稳。庞特里亚金1908–1988故事展签1958 年爱丁堡，他不讲拓扑大会请他作拓扑的全会报告，他提议换一个题目：最优过程的数学理论。他讲俄语，学生在黑板上写公式，一位美国教授逐段翻译。庞特里亚金1908–1988镇馆之宝一条纸带，一张规则表他把「照着规则算」拆到不能再拆：读一格，写一格，挪一步。图灵1912–1954可以亲手玩机器的描述，也是数据把一台机器的规则表写到纸带上，另一台机器就能扮演它。图灵1912–1954可以亲手玩停机问题没有哪个程序，能对所有程序判断出「它到底会不会停」。图灵1912–1954可以亲手玩字母永远不会是它自己恩尼格玛最得意的那处设计，恰好是它唯一的破绽。图灵1912–1954可以亲手玩斑马为什么有条纹1952 年他问：一团均匀的东西，怎么会自己长出花样？图灵1912–1954故事展签「机器能思考吗」——他把问题换掉了他没有回答那个问题，他换了一个能操作的问法。图灵1912–1954镇馆之宝把纠错变成几何：码字是立方体的顶点在他之前，检错码是一条一条想出来的巧办法。他把所有码字摆进一个 n 维立方体，于是「能不能纠错」变成了「点与点隔得够不够远」。汉明1915–1998可以亲手玩球堆得满不满：他的界与完美码每个码字四周要留出一个不许别人进来的球。球的总体积不能超过整个空间——这一句就把所有纠错码的效率钉死了上界。汉明1915–1998可以亲手玩0.54 与 0.46 是怎么定出来的做频谱分析要先把一段信号「开窗」，而窗的形状决定了假信号有多大。那个以他命名的窗，他本人一篇论文也没为它发表过。汉明1915–1998可以亲手玩浮点数的首位数字不是均匀的一堆「自然出现」的数，首位是 1 的差不多占三成，是 9 的只占不到五分之一成。他要问的不是为什么，而是：机器算着算着，会把数推向哪种分布。汉明1915–1998可以亲手玩再加一位，就多一种本事一个能纠一位错的码，末尾添一个管全局的校验位，立刻变成「能纠一位、并且看得出什么时候错了两位」。今天每一条服务器内存都在用这一招。汉明1915–1998故事展签他为什么要研究别人怎么做研究在洛斯阿拉莫斯，他管机器，别人做物理。他说自己是个跑腿的，而且嫉妒——「我想知道他们究竟跟我有什么不一样」。汉明1915–1998可以亲手玩一条消息里有多少「意外」他把信息量定义成意外的平均值：越是没想到的事，说出来越值钱。香农1916–2001可以亲手玩压缩的地板在哪里一个信源平均每符号最少要多少位？答案正好是它的熵，一位都少不了。香农1916–2001镇馆之宝噪声限制的是速度，不是可靠性在一条会出错的线上，仍然可以把出错概率压到任意小——只要你别传得太快。香农1916–2001可以亲手玩每秒两个样本就够了一段带宽有限的波形，只要采得够密，中间那些没采到的点一个也没丢。香农1916–2001可以亲手玩英语有一半是废话把英文的统计规律一层层喂给机器，它吐出来的东西就一步步像起人话来。香农1916–2001故事展签1943 年的几顿午茶两个正在替各自国家保密的人坐在同一张桌边，谁也不能提自己在做什么。香农1916–2001镇馆之宝每来一个读数，只改一次高斯的最小二乘要把所有读数一次拿来解；他把它拆成了一步一步——手里只带着一个估计和一张协方差表，旧读数用完就扔。卡尔曼1930–2016可以亲手玩为什么观测与控制是对偶的量把系统转置、把「从哪儿看」换成「从哪儿推」，估计误差往后走的那串矩阵，就是控制代价往前倒的那一串。卡尔曼1930–2016可以亲手玩两根一样长的摆，一只手扶不住n 维的系统，只要 G、FG、……前 n 个向量满秩，n 步之内就能从任何一点开回原点——差一点满秩的时候，要的力大到模型本身都破了。卡尔曼1930–2016可以亲手玩黑箱里到底有几个状态从外面敲一下、听它怎么响，只听得见既推得动又看得见的那一块；把这串回响排成汉克尔矩阵，它的秩就是最少要几个状态。卡尔曼1930–2016可以亲手玩一直算下去，就落到维纳的那一个每一步该给新读数多大的权重？他给的是一条从零起算的差分方程；令 t 趋于无穷，解一个二次方程，就是维纳的平稳滤波器。卡尔曼1930–2016故事展签1960 年秋天，他打电话给艾姆斯那边正卡在一件事上：飞船上的计算机算不动最小二乘，维纳的滤波又套不上去。卡尔曼1930–2016镇馆之宝一个不在场的因子，用同余去认它分圆整数里，有的数分解不唯一。他不去造那个缺席的素因子，只给它一道检验：把 α 换成模 p 的一个单位根，余 0 就算含它。库默尔1810–1893可以亲手玩三十七，他的证明在这里停下费马方程对哪些素数次方无解？他的答案是一个与方程毫不相干的条件：这个素数不整除前面那些伯努利数的分子。库默尔1810–1893可以亲手玩有几个 p，就进了几次位C(A+B, A) 里有几个素因子 p？不必把它算出来：把 A 与 B 写成 p 进制相加，进了几次位就有几个。库默尔1810–1893可以亲手玩只加十项，夹出十四位1 + 1/2³ + 1/3³ + … 收敛得极慢。他只老老实实加了前十项，把剩下的无穷多项夹在两个界之间，得到十四位小数。库默尔1810–1893可以亲手玩换一个自变量，级数就换一副样子同一个函数，在 x 处写成级数可能发散，换成 1/x 或 1 − x 却收得飞快。他把超几何级数所有这样的换法一次找齐了：24 个解，六种自变量。库默尔1810–1893故事展签一封寄到巴黎的信1847 年春天，巴黎科学院正为一份费马定理的证明争论。一封从布雷斯劳寄来的信告诉他们：那份证明要用的唯一分解，一般并不成立。库默尔1810–1893可以亲手玩两条方程有没有公共根，一眼看出来不必去解。把两组系数各错开一格排成几行，叠成一个方块：它的值为零，两条方程就有一个公共的根。西尔维斯特1814–1897可以亲手玩换多少次变量，正负的个数都不变一个二次型化成平方和，系数怎么换都行，可正的几个、负的几个永远不变。他说这是附在它身上一个「不可改变的数」，起名叫惯性。西尔维斯特1814–1897可以亲手玩2、3、7、43、1807一个真分数拆成单位分数，每一步取还放得下的最大一块；一步一步贴着下限拆 1 本身，就得到一串每走一步位数翻一番的数。西尔维斯特1814–1897可以亲手玩只有 4 和 7，凑不出的有九个两种面值互素，凑不出的数只有有限个，而且恰好是 (p − 1)(q − 1)/2 个：把 k 与 pq − k 配成一对，每一对里恰好有一个凑得出。西尔维斯特1814–1897镇馆之宝每两点的连线，都过第三点？有限个点不全在一条直线上，就一定有一条直线恰好只过其中两点。他 1893 年把它登成一道征解题，当年刊出的解答不完整，此后半个世纪没有人证出来。西尔维斯特1814–1897故事展签考了第二名，拿不到学位剑桥不给他学位，伦敦、弗吉尼亚、保险公司、律师学院、伍利奇、巴尔的摩……他换了一辈子差事，六十九岁才在牛津坐上一个讲席。西尔维斯特1814–1897镇馆之宝一个方阵，满足它自己的方程把一方块数当成一个量：可以加、可以乘，只是乘法不能随便交换。由此冒出一条定理——任何方阵代进它自己的那条方程，都得零。凯莱1821–1895可以亲手玩一个群，只看它的乘法表群本来是方程的根的置换。他把置换拿掉：只要一组符号两两相乘不出这组、又满足结合律，就是一个群——于是一个群就是一张表。凯莱1821–1895可以亲手玩七个虚数单位，模长照样相乘四元数丢了交换律；他在一篇文章的附言里写下七个虚数单位的乘法，模长照样相乘，结合律却也丢了。凯莱1821–1895可以亲手玩n 个结点，n 的 n − 2 次方棵树给 n 个结点编上号，能连成几棵不同的树？n 的 n − 2 次方。他的证法是按「每个结点多出几条枝」分型，一型一型地数。凯莱1821–1895可以亲手玩数烷烃：他那张表错在最后两格n 个碳的烷烃在理论上有几种？碳骨架是一棵每点至多四条枝的树，于是化学问题变成了数树。他一直数到 13 个碳，前十一个全对。凯莱1821–1895故事展签林肯律师学院的十四年为了谋生他当了十四年律师，只替老师代笔、从不自己接案；这十四年他写了两三百篇数学论文，许多就署着事务所的门牌。凯莱1821–1895镇馆之宝掷硬币，最多赢过多少要在所有布朗路径上定一个概率，他先退到一个赌局上：掷 n 次硬币，中途最多赢过几块钱？这张表算清了，路径几乎都连续就证出来了。维纳1894–1964可以亲手玩一根刺伸进球里，刺尖热不热边界上定了温度，里面的温度在某一点附近会不会趋于它？他把答案化成一串容量的级数：发散就会，收敛就不会。维纳1894–1964可以亲手玩没有傅里叶变换的信号，也有谱一段噪声、两个频率之比是无理数的振动，既不是周期的、能量也不有限；他先求它与自己错开一段的平均，再变换那个平均，谱就出来了。维纳1894–1964可以亲手玩处处不为零，倒数就一样好傅里叶级数绝对收敛、又处处不为零的函数，倒数的级数也绝对收敛——哪怕它贴着零走、几何级数早已压不住。维纳1894–1964可以亲手玩因果的滤波器，增益不许在一段上为零一条增益曲线能不能由一个「输入没来、输出不动」的滤波器做出来？佩利和他给的答案是一个积分：对数增益除以 1 + ω²，积得出来就行。维纳1894–1964故事展签一个新词：舵手1947 年夏天，他与几位同事发现这一片题目连个共同的名字都没有，只好从希腊文里造一个。维纳1894–1964镇馆之宝把 N² 次乘加拆成 2N·log₂N 次N 拆成两个因子，下标写成两位数，双重求和就能一位一位地求；一直拆到 2，一万个点的变换只要照直算的几百分之一。这一招高斯写过，他们登出来的时候，正好有机器可以跑它。图基1915–2000可以亲手玩形式上三最省，可大家都按二拆按 r 拆一次，每个数要花 r 次；拆完 log_r N 层，总账是 r / log₂ r 乘 N·log₂N。这个比在 r = 3 最小，可他们劝人用 2 或 4——原文那张表里，带因子 3 的三格都印小了一点。图基1915–2000可以亲手玩从两头往里数：五个数与一个盒子一个数的深度是从较近的一头数进来排第几；中位数与两个铰链只靠数数就定得出来，一局打坏了的比赛也拉不动它们。图基1915–2000可以亲手玩第 i 个数，该配哪个分数n 个数排好序，第 i 个对应的累积比例，教科书上有 (i − 1/2)/n 与 i/(n + 1) 两种。他取的是一个分布的中位数，得出的是 (i − 1/3)/(n + 1/3)。图基1915–2000可以亲手玩平面上的中位数：从每个方向数一遍一维的中位数靠左右之分，平面上没有左右。他改问：一条直线把点分成两边，少的那边有几个？每个方向都数一遍，最少的那个数就是深度。图基1915–2000故事展签「我说一个 g_ik 有什么性质，它就有」1946 年前后，一位拓扑学家在年会上惊讶地问他：你真要留在贝尔实验室？二十八年后他在国际数学家大会上讲了这件事，讲的是数学家走近数据时唯一的短处。图基1915–2000可以亲手玩样本已经在手，哪一组参数最说得通曲线的样子已知、参数未定：把每个观测点上的纵坐标取对数加起来，让它最大。1912 年他说这是「最可能的」值；十年后他改口，给它起了个新名字——似然，并说它不是概率。费希尔1890–1962可以亲手玩方差：两个原因各占几成两个互不相干的原因各自造成标准差 σ₁、σ₂，合起来是 √(σ₁² + σ₂²)——所以该拿平方来记账。他 1918 年给这个平方起名「方差」，用它把孟德尔的一个个因子与身高的连续变异接上了。费希尔1890–1962可以亲手玩同一批数，丢掉了几成信息拿平均偏差估标准差，只用上了约 88% 的信息——八百个数只抵七百个。他由此定出「有效」与「充分」，又给一次观测含多少信息写下了式子：方差乘以 n，压不到 1/I 以下。费希尔1890–1962可以亲手玩二十条什么也没施的地二十条地同样对待，他拿二十张牌给它们贴上五种「肥料」再做方差分析：算出来的误差 124.1，真值 123.5。换成四个区组里各自抽签，误差降到 88.7，真值 92.0。费希尔1890–1962镇馆之宝八杯茶，七十种挑法一位女士说她尝得出先倒的是奶还是茶。八杯，四杯对四杯，随机端上：一点分辨力都没有的人全挑对的机会是 1/70。先倒奶的四杯要是都加了糖，这个数就成了 35/70。费希尔1890–1962故事展签两份聘书1919 年，皮尔逊请他去伦敦的高尔顿实验室，哈彭登的一个农业试验站也请他去。他去了试验站；十四年后，他坐上了皮尔逊的讲席。费希尔1890–1962镇馆之宝平行四边形，是两条边的乘积只要乘的不是两条长度，而是两条带着方向的线段，平行四边形就是相邻两边的积——次序一换，号就反过来；一条线段乘它自己，积为零。格拉斯曼1809–1877可以亲手玩两边乘上 b，y 就自己掉了把一组一次方程并成一条 x·a + y·b = c，两边都外乘上 b：因为 b 乘 b 是零，y 那一项自己没了，x 就是两块带号面积之比。格拉斯曼1809–1877可以亲手玩两条直线：二加二减三两个系统的级数加起来，等于它们共同部分的级数加上把它们包进来的最小系统的级数。平面上的两条直线是二加二减三，共同的是一级的东西：一个点，或者一个方向。格拉斯曼1809–1877可以亲手玩颜色也是向量赫姆霍兹说光谱里只有黄与靛能混出白。格拉斯曼第二年回了十六页：眼睛只分得出三样东西，每种颜色都有补色，混色就是线段的几何加法——颜色是一个三维的线性空间。格拉斯曼1809–1877可以亲手玩加法是从「下一个」递归出来的只有一个 e，只有「下一项」：a + b 定义为使 a + (b + e) = a + b + e 成立的那一项，乘法再由加法递归出来。交换律、结合律，一条条用归纳法证——1861 年一本中学课本里的事。格拉斯曼1809–1877故事展签化了浆的书，与一条语音定律《线性扩张论》出版后几乎没人读，出版商把一部分存书化了浆；而他 1863 年一篇论送气音的文章，留下了一条至今以他命名的定律。格拉斯曼1809–1877镇馆之宝面积够 4，就罩得住一个格点平面上一块关于原点对称的凸形，面积只要超过 4，里面就一定还有别的整点——不管它多细长、朝哪个方向摆。闵可夫斯基1864–1909可以亲手玩两个形状相加，面积的平方根也跟着加A + B 是把 A 里每一点与 B 里每一点相加得到的形状。它面积的平方根，不小于两块各自面积平方根之和；只有两块形状相同、朝向相同时才取等号。闵可夫斯基1864–1909可以亲手玩空间与时间，从此只剩影子1908 年 9 月 21 日，科隆：「从今以后，空间本身与时间本身都注定要沉落为影子，只有二者的某种结合还能保持独立。」洛伦兹变换在他的图上，是沿着一条双曲线的转动。闵可夫斯基1864–1909可以亲手玩一把尺子，就是一个凸形《数的几何》第一节：一种「距离」只要满足三角形两边之和不小于第三边，它的单位「球」就是一个凸形；反过来，任何一个凸形都能当一把尺子用。p 次方和那一族，是他在第 40 节自己举的例子。闵可夫斯基1864–1909可以亲手玩?(x)：把二次无理数送到有理数上左边一格格对半分，下边一格格插中位分数，两边一一对上，就得到一条严格上升的曲线 ?(x)：有理数送到分母是 2 的幂的数上，二次无理数送到别的有理数上——反过来也对。闵可夫斯基1864–1909故事展签十八岁的大奖，与窗上的一颗石子十七岁的学生用德文交了一篇远超题目的论文，巴黎科学院破例给了他大奖；二十多年后，希尔伯特只要往他书房的小窗上丢一颗石子，他就下楼来散步。闵可夫斯基1864–1909镇馆之宝一根线，走遍整个正方形一条连续的曲线，能经过一个正方形里的每一点吗？1890 年 1 月，他在四页纸里给出了一条——全文只有算式，一张图也没有。皮亚诺1858–1932可以亲手玩只要连续，就有解——可不止一条方程右边只要连续，从任何一个初值出发都有解；可解不必只有一条。dx/dt = 3·x 的 2/3 次方从 0 出发，可以在 0 上停任意久再离开。皮亚诺1858–1932可以亲手玩一串积分，收敛成一个矩阵指数把初值代进右边积一次，再把结果代进去积一次……这一串加起来就是解。他证收敛只用了一件事：给矩阵取一个「模」。皮亚诺1858–1932可以亲手玩圆柱上的灯笼顶点全在圆柱面上、网格越切越细，内接多面体的面积却可以趋于任何一个比圆柱侧面大的数——教科书上那条曲面面积的定义是错的。皮亚诺1858–1932可以亲手玩每条直线上都是极小，却不是极小f = (y² − 2px)(y² − 2qx) 沿任何一条过原点的直线都在原点取严格极小，可原点不是极小：两条抛物线中间夹着一条伸到原点的月牙，里面 f 是负的。皮亚诺1858–1932故事展签用符号写成的论文，与没有词尾的拉丁语他相信含糊出在日常语言里，于是把证明写成符号，把全部定理收进一部公式集；晚年又把拉丁语的词尾一条条去掉，要它做各国学者共用的语言。皮亚诺1858–1932镇馆之宝维数不必是整数用小块去盖一个集合，把各块直径的 p 次方加起来——p 小了是无穷、p 大了是零，中间那个分界就是维数；康托尔集的维数是 log 2 / log 3 = 0.6309。豪斯多夫1868–1942可以亲手玩两个形状之间有多远B 里离 A 最远的那一点有多远，A 里离 B 最远的那一点又有多远，两个数取大的——这就是两个集合之间的距离。豪斯多夫1868–1942可以亲手玩两个点，要能分得开他用四条邻域公理定义拓扑空间，第四条说：两个不同的点，有两个互不相交的邻域——今天满足它的空间就叫豪斯多夫空间。豪斯多夫1868–1942可以亲手玩半个球面与三分之一个球面全等球面去掉可数个点，剩下的能分成 A、B、C 三份：A 转一下是 B 与 C 合起来，转另一下只是 B——所以球面上没有一种面积能量所有的点集。豪斯多夫1868–1942可以亲手玩什么样的一串数是矩一串数是 [0,1] 上某个分布的各阶矩，当且仅当它的各阶差分全都不是负数——1921 年他给出了这个判据，还给了一个把分布一层层还原出来的办法。豪斯多夫1868–1942故事展签「就连恩德尼希，也许还不是尽头」他在数学里署自己的名字，在诗里署保罗·蒙格雷。1942 年 1 月 25 日，接到迁入拘留营的通知后，他给朋友写了最后一封信，里面还押了一个韵。豪斯多夫1868–1942可以亲手玩把一个无穷小变换重复无穷多次一个连续的变换群，由挨着恒等变换的那一小步决定：把这一小步重复无穷多次，就走出整个群。切成 n 小步去走，与一次到位只差 1/n 量级。索菲斯·李1842–1899可以亲手玩两个小转动，先后不能对调绕 x 转一点、绕 y 转一点，再各转回来，回不到原处——剩下一个绕 z 的、约 ε² 的转动。两个无穷小变换先后一换差出来的这一项，就是它们的括号。索菲斯·李1842–1899镇馆之宝知道一个对称，就乘得出积分因子方程 X dy − Y dx = 0 的积分曲线如果被一个无穷小变换 ξ、η 整族搬来搬去，1/(Xη − Yξ) 就是它的积分因子，一次求积解出方程。齐次方程那一类老办法，都是这条定理的特例。索菲斯·李1842–1899可以亲手玩一个点变成一个圆把每一条曲线换成相距 n 的平行曲线：点变成了圆，相切仍然相切。它搬动的不是点，而是「点连同过这一点的一个方向」——他管这叫切触变换。索菲斯·李1842–1899可以亲手玩直线上的变换群，最多三个参数1874 年他算出：一条直线上只含有限个参数的变换群，参数不超过三个，而且换个坐标，就是 (αx + β)/(γx + δ) 这一族或它的一部分——交比在它下面一动不动。索菲斯·李1842–1899故事展签「我总是在倒霉的时候有所发现」1877 年初他在信里数给迈尔听：弄伤眼睛那几天找到了积分法，父亲去世那个月做起了群论，而一生最得意的那个发现，是在枫丹白露的监狱里慢慢想清楚的。索菲斯·李1842–1899镇馆之宝由所有直线上的积分，定出整个函数把平面上每一条直线上的积分都告诉你，能不能倒推出函数本身？1917 年他证明能，而且给出了一个式子：在 P 点的值，由那些离 P 越来越远的直线上的积分一层层算出来。拉东1887–1956可以亲手玩只把投影抹回去，是一团雾最直接的想法是把每条直线上量到的数，沿原路抹回图上再平均——得到的图是糊的：一个点被抹成一团按距离倒数衰减的雾。他的式子多出来的，正是把这团雾擦掉的那一步。拉东1887–1956可以亲手玩到了三维，反而只看附近平面上要用所有直线，才定得出一点；三维空间里用平面去截，一点的值只取决于贴着它的那些平面——他 1917 年写下的空间公式，比平面的那个还简单。拉东1887–1956可以亲手玩四个点，分成重心重合的两堆平面上随便四个点，总能分成两堆，使两堆的凸包相交；高一维就是五个点——n 维空间里 n + 2 个点都行。他为了证赫利定理，在三页纸的中间顺手证了这件事。拉东1887–1956可以亲手玩每三个有公共点，就全体有公共点平面上一族凸形，只要其中任意三个有公共点，全体就有公共点——这是赫利告诉他的；赫利当时在俄国当战俘，第一个把证明印出来的是他。拉东1887–1956故事展签一份来自雪崩研究所的抽印本索取1963 年，科马克在不知道拉东的情况下重新解出了这道题，还做了一台模型实验。论文登出来，几乎没人理会；最有意思的一封索取信，来自瑞士一家雪崩研究所。拉东1887–1956镇馆之宝同一个分母，同时逼近 e 与 e²5/2 与 7、337/124 与 916/124、58019/21344 与 157712/21344——分母相同的分数越逼越紧，紧到 e 不可能满足任何一个整系数方程。埃尔米特1822–1901可以亲手玩共轭对称的方阵，根全是实数对角线两侧的元素互为共轭时，行列式由虚数组成却是实数，特征方程的根也全是实数——今天这种矩阵就叫埃尔米特矩阵。埃尔米特1822–1901可以亲手玩连导数一起对上在几个点上，不光函数值、连前几阶导数也一起对上：一个点对上 n 阶就是泰勒，n 个点各对一次就是拉格朗日，他把两头写进了同一条公式。埃尔米特1822–1901可以亲手玩七个字母的换位，写成一个多项式把 p 个字母编成模 p 的余数，每一种换位都是一个多项式；他给出了判据：各次幂的和全都 ≡ 0，这个多项式就恰好只是把余数换了个次序。埃尔米特1822–1901可以亲手玩高斯钟形求导求出来的一族多项式把 e 的负 x 平方次方一阶阶求导，每次剩下一个多项式；这一族在整条实轴上两两正交——名字挂他，多项式却早有人用过。埃尔米特1822–1901故事展签「是个小拉格朗日」中学老师说他是个小拉格朗日；他考进综合理工名次靠后，读了一年就因腿疾读不下去——同一年，他写给雅可比的信让雅可比说「今后我只有学习的份」。埃尔米特1822–1901镇馆之宝三个方程，一只永不重复的蝴蝶三个变量、两个乘积项，从 (0, 1, 0) 出发推六千步：它绕着一个点转几圈、跳到另一个点、再转几圈，永远不重复，也永远不离开那一小块地方。洛伦茨1917–2008可以亲手玩印在论文里的那张表，今天重跑一遍同一个格式、同一个步长、同一个起点，头三十一圈绕哪一边全都对得上，第三十二圈起两份各走各的——那两张表自己就成了他那条结论的证据。洛伦茨1917–2008可以亲手玩这一圈的最高点，定下一圈的最高点只记每一圈 Z 的极大值，把「这一圈」对「下一圈」画成点，点落在一条尖顶的细线上；他把它理想化成一个帐篷，由此证明每一条周期轨道都不稳。洛伦茨1917–2008可以亲手玩体积缩成零，轨道却不重复三个方程右边对三个变量的偏导加起来恒等于 −41/3：任何一团点的体积都按指数缩小，绕一圈只剩十万分之七；可它又被拉长、铺开，贴着两片「翅膀」永不重复。洛伦茨1917–2008可以亲手玩误差小十倍，只多换来一周误差按指数长，所以把观测误差缩小十倍，可预报的期限只往后推一个固定的天数；他 1972 年就说过，小尺度的误差长得更快，这个期限连这点余地都未必有。洛伦茨1917–2008故事展签巴西的一只蝴蝶1972 年 12 月 29 日上午十点，华盛顿的一间酒店会议室里，一个讲题问：巴西一只蝴蝶扇一下翅膀，会在得克萨斯引起一场龙卷风吗？讲稿最后并没有回答。洛伦茨1917–2008镇馆之宝沿着多面体的棱往上爬线性不等式围出一个凸多面体，最好的点一定在某个顶点上；单纯形法从一个顶点出发，每步沿一条棱走到更好的邻居，走不动了就是最优。丹齐格1914–2005可以亲手玩九个方程、七十七个未知数、一百二十个人日第一次大规模试算单纯形法，算的是一个人一年最少花多少钱能吃够营养：手摇计算器算了约 120 个人日，答案一年 39.69 美元。丹齐格1914–2005可以亲手玩每一样营养值多少钱同一道题反过来问：给每样营养定个价，让没有一种食物按这个价「值」得超过它的售价，需要量最多能值多少钱？答案与最省的花费分文不差。丹齐格1914–2005可以亲手玩一个专门凑出来的立方体单纯形法在实际问题上快得出奇，可有人专门造了一个压扁的 n 维立方体，按他的规则走，要把 2 的 n 次方个顶点全走一遍。丹齐格1914–2005可以亲手玩从西北角起步，八步运到最省三个产地、五个销地，单纯形法在一张运价表上：先从左上角把运量排满，再一格一格换，每一步都比原来省——他 1951 年的例子，八步到最小运价 13。丹齐格1914–2005故事展签迟到的那节课，黑板上的两道题1939 年他在伯克利上奈曼的课迟到了，把黑板上的两道题当作业抄回去做——那是统计学里两个没人解出来的问题。丹齐格1914–2005可以亲手玩δ 不是函数：它只回答作用在 φ 上得多少物理学家说 δ 在零点无穷大、别处为零、积分等于 1——没有哪个函数是这样的。他换了问法：不问 δ 在 x 处等于几，只问它作用在一个光滑函数 φ 上得多少。答案是 φ(0)。洛朗·施瓦茨1915–2002镇馆之宝每一个都能求导：阶跃的导数是 δ对光滑的 f，分部积分给出 ∫ f′φ = −∫ f φ′；他把这条等式反过来当定义。φ 永远可导，于是每一个广义函数都能求导、求任意多次——阶跃的导数就是 δ，一处跳，变成那里的一个质量。洛朗·施瓦茨1915–2002可以亲手玩一个鼓包：光滑到底，又只占一小段试验函数要无穷次可导、又在一段之外恒为零——exp(−1/(1 − t²)) 就是一个。可它的傅里叶变换在整条轴上都有值，于是他另立了一个「速降函数」的空间 S，让傅里叶变换在里面自己到自己。洛朗·施瓦茨1915–2002可以亲手玩一条式子管完所有的势三维里 Δ(1/r) = −4πδ。于是对任何一种电荷 T——点、偶极子、面上的一层——势都是 T 与 1/r 的卷积，而且 ΔU = −4πT。他写：这是经典的泊松公式，「可它在这里对随便什么层的势都成立！」洛朗·施瓦茨1915–2002可以亲手玩发散的三角级数，也有了归宿Σ e^(inx) 在每一点都不收敛。可作用在 φ 上，它收敛到 2π 乘以 φ 在 0、±2π、±4π……上的值之和——一把狄拉克梳子。他证明：系数只要至多按 n 的幂增长，三角级数永远收敛到一个广义函数。洛朗·施瓦茨1915–2002故事展签失眠的那一夜，和隔壁的嘉当1944 年的一个夜里，他关着灯躺在床上把广义函数想通了，第二天一早跑去讲给住在隔壁的亨利·嘉当听。嘉当说：「从今往后，再也不会有不可导的函数了。」洛朗·施瓦茨1915–2002可以亲手玩只许看左端点布朗轨道处处没有切线，普通的积分在它上面失效；他的办法是每一小段只许用左端点的值——同一条轨道上，换成右端点，答案就差出整整一个 1。伊藤清1915–2008镇馆之宝链式法则多出来的一项布朗运动走一小步 ΔB，它的平方平均恰好是 Δt，不是可以扔掉的高阶小量——所以对 F(B) 求微分，要比普通的链式法则多留一项：二阶导数的一半。伊藤清1915–2008可以亲手玩一次次代进去，逼出一条随机的解方程右边既有普通的积分，也有 1944 年刚定义的随机积分；他照解常微分方程的老办法一次次代进去，差按阶乘缩小，极限就是那条轨道上唯一的解。伊藤清1915–2008可以亲手玩平均在涨，几乎每一条都在跌增长率本身在抖的时候，平均值按 μ 增长，而几乎每一条轨道的增长率是 μ − σ²/2；σ 大到一定程度，平均在涨，多数却在跌。伊藤清1915–2008可以亲手玩期权定价的那条方程里，没写他的名字1973 年布莱克与斯科尔斯推期权价格，关键一步「用随机微积分展开」，脚注指向麦基恩的书；那一步里多出来的 (1/2)w₁₁v²x²Δt，就是伊藤公式的那一项。伊藤清1915–2008故事展签统计局里的五年，与一份誊写版刊物1942 年他唯一一篇日文论文登在一份誊写版的油印刊物上；据他所知，当时只有一个人读过它——一个在兵营里的年轻数学家。伊藤清1915–2008镇馆之宝一张桌子，两只球先扔一只球定下一条线，再把另一只球扔 n 次，只告诉你有几次落在线的这一边——那条线在哪儿？他把「一个概率落在哪儿」变成了一块面积。贝叶斯约1701–1761可以亲手玩他为「一无所知」辩护，辩的是次数桌子只是一个模型；真遇到一件毫无所知的事，凭什么也照「处处一样可能」来算？他的理由不是「那个概率取哪个值都一样可能」，而是「做 n 次，发生 0 次、1 次……n 次都一样可能」。贝叶斯约1701–1761可以亲手玩普赖斯的彩票，重算一遍附录里普赖斯亲手算了五档，从听见 10 张空签 1 张奖，到 1000 张空签 100 张奖。今天逐个重算：多数只差末位，三个数差在第二位，最后一档用第二条规则给出的上下界，把真值 0.7055 关在了门外。贝叶斯约1701–1761可以亲手玩看见太阳升起一百万次之后普赖斯设想一个刚来到世上的人：看见太阳回来一次，可以赌 3 比 1 它的回来有过半的把握；看见一百万次，是 2 的一百万次方比 1——可「它永远会回来」，多少次也证不出来。贝叶斯约1701–1761可以亲手玩那条阶乘级数，其实一个数也表示不出来棣莫弗、斯特林、麦克劳林都用过一条算 ln z! 的级数，取前几项准得惊人；他在一封信里指出：往后的项会越来越大，不管 z 多大，整条级数都不收敛。贝叶斯约1701–1761故事展签遗稿、一处改动，和一幅大概不是他的像1761 年春他在坦布里奇韦尔斯猝然去世，遗嘱里给普赖斯留了一笔钱；两年后普赖斯从遗稿里找出一篇文章，添上前言、注与附录，还改了他一处。贝叶斯约1701–1761可以亲手玩箭头绕一圈回来，转了一个角在球面上拿着一支箭头「不转」地走一圈纬线，回到起点它却转过了一个角——这个角恰是那圈纬线围住的面积。「不转」是什么意思，就是联络要回答的事。陈省身1911–2004镇馆之宝曲率全被赶到了零点上在曲面上铺一个单位向量场，除了零点处处有定义；曲率的积分借斯托克斯公式全挤到零点周围那几个小圈上，每个零点交出 2π 乘它的指数——加起来就是欧拉示性数，与曲面怎么揉都无关。陈省身1911–2004可以亲手玩积分出来只能是整数球面上一个圆周丛的联络怎么揉都行，曲率在哪儿浓、在哪儿淡都能改；可把曲率在整个球面上积起来除以 2π，永远是同一个整数。陈省身1911–2004可以亲手玩随手扔下去，碰上的机会把一块形状随手扔到另一块上（位置、方向都随机），两块碰上的机会只由两者的面积与周长决定：2π(A₁ + A₂) + L₁L₂——形状细节一概无关。陈省身1911–2004可以亲手玩六边形合不拢平面上三族曲线织成一张网，沿着它们轮流走六步，有的网回得到起点，有的差一点——差的那一点就是这张网的曲率。他的博士论文就在算这种网的不变量。陈省身1911–2004故事展签从昆明到普林斯顿1943 年他在昆明教了五年书，搭美军的飞机绕过半个地球到普林斯顿；三个多月后投出的那篇六页的论文，把局部的曲率与整体的拓扑接了起来。陈省身1911–2004可以亲手玩尖锥：把乘方叠成一块面积一条线从丝发那么细渐渐长大、一层层叠起来，叠出一个尖锥；x 的 n 次方叠出来的那一个，面积恰是高乘底再除以 n 加一。李善兰1811–1882镇馆之宝方圆之较，拆成无穷多个尖锥正方形里放一个四分之一圆，圆外、方内的那一角，他拆成再乘、四乘、六乘……一层层的尖锥；每层的底由上一层剩下的按一条简单的规则分出来，积一加，圆周率就出来了。李善兰1811–1882可以亲手玩对数：除了加，加了除二十层尖锥的积排成一张表，从最下一层起「以二除之，加入上一层」，做到最上一层，出来的就是 ln 2 的前七位——整件事只用加法与除法。李善兰1811–1882可以亲手玩2 的 n 次方减 2：一条规则与两封回信1869 年他拿一条判别素数的规则去问伟烈亚力：2 的 n 次方减 2，被 n 除尽就是素数。规则是错的，可当年驳他的那张表也错了——第一个真反例是 341。李善兰1811–1882可以亲手玩天地作变数，彳禾作微分积分1859 年他与伟烈亚力译出《代微积拾级》，中文里第一次有了整套的微积分：x、y 写作天、地，加减号写作丄、丅，d 与 ∫ 写作彳与禾，分数的分母写在上面。李善兰1811–1882可以亲手玩三角自乘垛：方廉隅诸数，就是表上那一行把三角垛每一层都自乘了再摞起来，一共多少？他说只要几个大块：子垛方一隅一，丑垛方一廉四隅一，寅垛一、九、九、一……「本表平列诸格，即各垛方廉隅诸数也」。李善兰1811–1882故事展签《几何原本》后九卷：十五岁时的心愿十五岁读到徐光启、利玛窦译的前六卷，恨他们没有译完；1852 年到了上海，他自己把后九卷译了出来。李善兰1811–1882镇馆之宝一根弦上，一左一右两个波弦上任一点的高度，是一个往左跑的波与一个往右跑的波之和——他把这句话写成了一条方程和它的通解。达朗贝尔1717–1783可以亲手玩前三百项都在收敛一个级数前面几项一路变小，不等于它收敛——要看后一项与前一项之比最终是不是小于 1。达朗贝尔1717–1783可以亲手玩算来算去，阻力是零照无粘流体的理论算，一个前后对称的物体在流体里走，前面受的压力与后面受的恰好抵消——阻力为零，与所有人的经验相反。达朗贝尔1717–1783可以亲手玩失去的那一份，在杠杆上恰好平衡把每个物体「本来要走的」拆成「实际走的」加「失去的」，失去的那几份凑在一起必须互相抵消——动力学问题就这样变回了静力学。达朗贝尔1717–1783可以亲手玩只动常数项，跟着一个根走先把常数项换成一个让某个实数成为根的值，再让它一点一点变回去，沿途跟着这个根——走不下去的地方，根就成了 p + q√−1。达朗贝尔1717–1783故事展签圣让勒隆教堂门口1717 年 11 月，一个新生儿被放在巴黎圣母院旁边一座小教堂的门口；四十五年后，俄国女皇与普鲁士国王先后请他去，他都谢绝了。达朗贝尔1717–1783可以亲手玩边界走一圈，等于任一张帽子上的旋度以同一圈闭曲线为边的曲面有无穷多张；场的旋度穿过哪一张，总量都等于沿边界走一圈的环量。这条式子今天挂他的名字——它先出现在开尔文写给他的一封信里，是经他出的一道考题传开的。斯托克斯1819–1903可以亲手玩牛顿的漩涡差了一个力矩一根圆柱在液体里匀速转，带着液体一圈圈转起来。牛顿说每一圈速度都一样；斯托克斯 1845 年算出速度与离轴的距离成反比——牛顿把「力相等」当成了「力矩相等」。斯托克斯1819–1903镇馆之宝云为什么不掉下来一颗千分之一英寸的水滴，照旧的阻力理论每秒要落三十二英寸；照斯托克斯 1850 年的式子只落一英寸半。云浮在天上，靠的是空气的黏性。斯托克斯1819–1903可以亲手玩深水的波，顶上会尖小波是正弦；波一高，峰变尖、谷变平，还跑得更快。最高的那一个，顶上是一个 120° 的尖角——这一条是他三十三年后补上的。斯托克斯1819–1903可以亲手玩发散的级数，算出五十条暗纹艾里为虹的暗纹写下一个积分，用处处收敛的级数只算得出两个根；斯托克斯改用一条起初收敛、终于发散的级数，算出五十个——今天逐个复核，四十四个四位全对。斯托克斯1819–1903故事展签替皇家学会看了三十一年稿子1854 年他当上皇家学会的秘书，一当三十一年。自己的论文从此少了，别人的论文里却处处是他的改笔。斯托克斯1819–1903