镇馆之宝 · 亲手玩
三体问题与混沌
初始条件差之毫厘，轨道最终失之千里。
牛顿的轨道模拟器说「宇宙可算」。庞加莱发现三体问题没有解析解，微小误差会被指数放大。两组只差万分之一的初值，会先重合、再分岔、最后天各一方。
看两条几乎相同的三体轨道如何迅速分岔
这是毕达哥拉斯三体问题：三颗质量 3、4、5 的天体从静止开始互相拉扯。 两条轨道起初几乎重合，很快便分岔——牛顿能算行星，庞加莱证明三体无法长期预言。
Henri Poincaré · 1854–1912
庞加莱
最后一位通才，混沌与拓扑的发现者
动力系统 · 描述一切随时间演化的通用语言
亨利·庞加莱生于法国南锡的显赫家庭，堂弟雷蒙后来成为法国总统。他几乎凭一己之力贯通数学、物理、天文与哲学，被誉为「最后一位通才」。
1889 年，为庆祝瑞典国王诞辰，他提交一篇关于三体问题的论文。本想证明稳定，却撞见了混沌：某些轨道对初始条件敏感得近乎疯狂。随后他写下《位相分析》，开创拓扑学，并留下那个百年后才被佩雷尔曼证明的庞加莱猜想。
生平
- 1854生于法国南锡
父亲是医学教授；他五岁患白喉，此后一生体质偏弱。
- 1879博士论文研究微分方程
受聘卡昂大学，后任教巴黎大学，成为法国科学界的核心人物。
- 1880年代创立自守函数理论
与克莱因、福克斯函数相关的工作，架起分析与几何之间的桥。
- 1889三体问题获奖论文
发现同宿纠缠与对初值的极端敏感，混沌理论的第一道清晰曙光。
- 1895《位相分析》出版
用代数不变量研究空间形状，奠定代数拓扑学。
- 1904提出庞加莱猜想
任何单连通的闭三维流形是否同胚于三维球面？佩雷尔曼于 2002–2003 年证明。
- 1912病逝于巴黎
葬礼上，政治家与科学家共同送别这位国宝级人物。
展品厅
绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。
回归定理
等得够久，它还会回来。
他证明：在一个保持体积的系统里，几乎每个初态都会无限次地回到自己任意小的邻域。这和他发现的混沌正好互为表里，还出自同一份 1890 年的工作——混沌说长期不可预测，回归说你等得够久它还会回来。它也给热力学第二定律留下了一根刺：一盒气体原则上会自己回到全部挤在角落的那一刻，只是要等的时间远超宇宙年龄。
拓扑与可收缩环
不看长度、角度，只看形状「挖了几个洞」。
庞加莱把欧拉的 V−E+F 发展成一门研究连续变形的学科：球面上任何闭圈都能收紧成点，环面上套住洞的圈却不行。这个看似游戏的区分，是庞加莱猜想的入口。
庞加莱猜想
在三维里，怎样认出那个没有洞的球？
1904 年庞加莱问：如果一个三维空间里所有闭圈都能收缩成点，它是不是三维球面？这个问题难住数学界一百年，直到佩雷尔曼用里奇流证明，并拒绝领取菲尔兹奖与百万美元。
故事展签故事展签：从一个「所有闭圈都能收缩」的问题，到佩雷尔曼的里奇流。
自守函数
把对称性、复分析与几何编织成一张网。
庞加莱与克莱因几乎同时研究自守函数，庞加莱更把它与双曲几何、黎曼面、常微分方程连成一体。现代数论中的模形式，正是这套思想的直系后裔。
故事展签故事展签：庞加莱在踏上马车的一瞬想通了它与非欧几何的关系。
传承
他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。
三体问题→混沌理论→天气预报、人口模型与非线性科学
位相分析→代数拓扑→大数据、材料科学与宇宙形状研究
庞加莱猜想→三维流形→佩雷尔曼的世纪证明
回归定理→遍历理论→统计力学与随机过程的数学基础
他在哪几条专题里
专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。
- 航天一枚正在落回发射场的一级火箭1890 三体问题没有那种解，而且解会乱起来（边界）
语录
「一个极小的原因可以造成极大的结果。」
—— 《科学与方法》，关于混沌的预见
「数学是给不同的事物以相同名称的艺术。」
—— 《科学与方法》，论数学中的类比