516 条链落在了数学之外
现代应用
人物页上的传承链是顺着看的：从他的发现出发，看它流到哪里。这页把它们倒过来——先问「今天这样东西是从哪来的」，再一路指回人。每一条链的最后一站，都是你今天正在用的东西。
加密与安全
你每一次打开 https 开头的网址，背后都在跑两千三百年前的辗转相除和两百年前的同余理论。素数是这门生意的全部本钱。
- 欧几里得辗转相除法→数论算法→RSA 与今天的每一次加密握手
- 埃拉托色尼筛掉小因子，再做别的→生成密钥时先拿一批小素数把候选数筛一遍，再做概率素性检验→RSA 加密的每一把新密钥；攻方最快的办法也叫筛法——数域筛法
- 丢番图弦法：从一个有理点造出更多→椭圆曲线上的弦切加法→怀尔斯证明费马大定理与椭圆曲线密码
- 阿耶波多粉碎法解一次不定方程→婆罗摩笈多推广，秦九韶写成大衍求一术→RSA 解密要用的扩展欧几里得与椭圆曲线密码
- 一行上元积年：一组一次同余式→秦九韶 1247 年的大衍求一术把它一并解开→中国剩余定理与 RSA：今天的加密库里，那一步还写作 CRT
- 塔比·伊本·库拉亲和数造数法与它的证明→费马与笛卡尔各自重新得到同一条法则，欧拉一口气添了五十八对→把大数拆成素因子有多难，今天是 RSA 与整个密码学的本钱
- 卡拉吉丢番图的《算术》译成阿拉伯文→《法赫里》里三分之一的题目取自它→不定方程传到费马手里，再到今天的椭圆曲线密码
- 沈括棋局都数：3 的 361 次方，173 位→把「一共有几种可能」数到底——组合计数→密码学里的密钥空间：AES 的 128 位密钥有 2 的 128 次方把，论的正是这种数量级
- 沈括只五次乘：先自乘，再乘上自己→反复平方求幂——指数有几位，就只要几倍的乘法→RSA 加密与网上支付里的模幂运算：上千位的指数，几千次乘法就算完
- 婆什迦罗二世循环法：一轮一轮把 |k| 逼到 1→佩尔方程与实二次域的基本单位→今天的计算代数系统仍要算它：连分数、格基约化与密码学里的一件常用工具
- 秦九韶《孙子算经》的「物不知数」→大衍求一术：任意一组除数的通法→RSA 解密的中国剩余定理加速与纠错码
- 韦达破译腓力二世的代号表→近代密码分析的开端→加密与信息安全
- 费马费马小定理→欧拉定理与 RSA→网上支付时地址栏那把锁
- 勒让德x/(log x − 1.08366)：素数计数的第一条公式→切比雪夫把那个常数逼成 1，阿达马与德拉瓦莱普桑 1896 年证明素数定理→素数有多稀，决定了生成一个 RSA 密钥平均要试多少个数，也就决定了密码学的成本
- 勒让德勒让德符号与二次互反律：判断一个数是不是平方剩余→雅可比符号把它推广，用辗转相除的办法几步就能算完→今天的素性检验与密钥生成天天在算这个符号，加密与安全的第一步就在这里
- 高斯同余理论→现代数论→RSA 加密与网上支付
- 阿贝尔椭圆积分反过来看→椭圆函数与双周期→椭圆曲线：密码学与怀尔斯的证明
- 狄利克雷算术级数里有无穷多素数→狄利克雷特征与 L 函数：解析数论开张→今天素数的分布估计，以及 RSA 选素数时能搜到多密
- 狄利克雷单位定理与类数公式→代数数论的两根支柱，经戴德金长出「理想」→数域筛法：大整数分解与 RSA 的安全边界
- 伽罗瓦有限域 pⁿ→纠错码与密码学→二维码、CD、AES——每天都在跑
- 黎曼黎曼面→复几何→从弦论到密码学的复杂分析
- 黎曼ζ 函数→解析数论→素数与密码学的深层规律
- 戴德金理想把唯一分解补回代数数系→诺特推成抽象环论，希尔伯特与韦伯把它带进主流→数域筛法与椭圆曲线密码：RSA 加密与网上支付的安全边界
- 克莱因模群把上半平面铺成砖→模函数 j 与自守形式→模形式与椭圆曲线：费马大定理的证明架在它上面，椭圆曲线密码用的也是同一批曲线
- 柯瓦列夫斯卡娅把陀螺拆成一条五次曲线上的两个点→亏格 2 的超椭圆积分与两个变量的 θ 函数进入力学→超椭圆曲线密码：与椭圆曲线密码同一条路，用在网上支付的密钥交换上
- 马尔可夫1879–1880 年那两篇：不定二元二次形式的极小有一整套阶梯→马尔可夫谱与最难用分数逼近的那些无理数，连分数里只有 1 和 2→格基约化与丢番图逼近今天是密码学里估计安全强度的常用工具
- 阿达马1896：ζ 在 σ = 1 那条线上一个零点也没有→素数定理，以及后来把无零区往左推一点点就能把误差估得更紧→小于 x 的素数有多少，决定了生成一个 RSA 密钥平均要试多少个数——密码学的成本从这一条算起
- 波莱尔1914：一百万只猴子，一年敲出全世界的书→概率小到这个程度，就可以当它不会发生——这成了统计物理里「热力学第二定律只是统计规律」的标准讲法→密码学里说一把 128 位的密钥「猜不中」，用的也是这一种算法：把概率换算成要敲多少年
- 图灵Bombe 与恩尼格玛→序贯分析与现代密码分析→加密与信息安全
- 汉明球堆积界与完美码→戈莱码与完美码的分类→旅行者号靠戈莱码把木星的照片发回来，深空探测至今用它；而球堆积与格一路通到今天的格密码学
- 香农《保密系统的通信理论》→完善保密的定义与一次一密的证明→现代密码学的「可证明安全」就是从这里开始写的
- 库默尔1846：分圆整数里分解不唯一，他给不在场的素因子一道同余检验→戴德金 1871 年把它改写成理想，整个二十世纪的代数从此以「集合本身就是对象」为写法→今天的后量子密码在分圆环上做加密，快速乘法就是把环按模 q 的单位根拆开再乘
- 库默尔1852：组合数里素数 p 的次数，等于 p 进制加法的进位次数→帕斯卡三角模 p 的分形图案、判断组合数奇偶的位运算，都从这一条读得出来→程序竞赛与密码学里模素数的组合计数，常用的算法就是把数按 p 进制拆开来算
- 闵可夫斯基1896：对称的凸形体积够大，就一定罩住一个格点→格里最短的向量有多短，有了一个只看体积的上界；1982 年的 LLL 算法去真的把它找出来→抗量子密码学里的格密码（2024 年定为标准的 ML-KEM）押的就是：维数一高，这个最短向量难找
- 埃尔米特1863：换位写成模 p 的多项式，各次幂的和全为零就是换位→迪克森 1896 年推广到一般的有限域：置换多项式→RSA 加密的取幂、AES 的字节代换表，都是有限结构上的置换多项式
- 李善兰1869：2 的 n 次方减 2 被 n 除尽，就判为素数→反例 341 之后，费马测试又加上米勒–拉宾那几道关→生成 RSA 密钥时，先做的那一道素性检验
计算机与算法
「算法」这个词来自一个人的名字，「0 和 1」来自另一个人的一篇论文，而「有些问题机器永远算不出来」来自一个数无穷的人。
- 欧几里得辗转相除法→数论算法→RSA 与今天的每一次加密握手
- 埃拉托色尼筛：只靠隔步点名，就把素数一批批筛出来→分段筛与轮式筛：今天数到十的十几次方用的仍是这一套算法→计算机上的素数表——质数计数与测试程序的第一步
- 海伦取平均，再取平均→牛顿法→今天的数值求根
- 海伦绕在轴上的绳子：顺序写在介质里→提花织机与打孔卡片→存储程序的计算机
- 丢番图丢番图方程→希尔伯特第十问题→1970 年：不存在这样的算法
- 刘徽割圆术与「以至于不可割」→极限思想→微积分与今天的数值逼近
- 刘徽方程术与直除法→消元法与线性代数→今天每一个线性方程组求解器
- 刘徽正负术：最早的负数运算法则→完整的有理数系→今天的算术
- 阿耶波多半弦表：半径 3438 分，每 3 度 45 分一个值→二阶差分正比于函数自身——造表的那条规则→今天的数值逼近与差分法
- 阿耶波多半弦 ardha-jyā，简称 jyā→阿拉伯文写成 jiba，克雷莫纳的杰拉德读成 jaib（衣袋），拉丁文译作 sinus→今天计算器上的 sin 键
- 一行定气长短不一，等间距的内插用不了→一行的不等间距二次内插，郭守敬再推到三次→数值逼近里的插值多项式：传感器补点、动画补帧，中间那一段都是这么补出来的
- 花拉子米Dixit algorizmi→algorism：按位值制逐位照做→algorithm 与计算机科学
- 塔比·伊本·库拉抛物线求积：把区间切成不相等的份，上和下和逐段相夹→海什木算四次方和、卡瓦列里的不可分量、黎曼与达布的上下和→今天每一次数值积分，分点该疏该密都是算出来的
- 卡拉吉一个正方形剥一层就是一个立方→从 n 退到 n−1 的归纳骨架→循环不变式与程序的正确性证明：今天的形式验证跑的就是这条推理
- 卡拉吉幂的阶梯两头都不到头→萨马瓦尔把它排成带序号的表→多项式成了一个对象：今天计算机代数系统里的多项式求值与化简
- 卡拉吉多项式像数一样开平方→逐项定商与逐位定商是同一套手续→数值求根与综合除法：今天数值软件开方求根的标准步骤
- 卡拉吉把《原本》第十卷改写成算术→根式成了能参加运算的数→计算器上按下 √ 键得到的那个数，以及课本里的根式化简
- 贾宪《九章算术》只给了开平方与开立方→增乘开方法：同一套动作开任意次方→定点开方与逐位逼近——今天每一条 sqrt 指令背后的数值逼近
- 贾宪贾宪的增乘开方法→秦九韶 1247 年推到任意正负系数的高次方程→嵌套乘法：今天的多项式求值与数值求根，从编译器生成的代码到求解器
- 沈括隙积术：有空隙的一堆，比同样大小的实心台体多出一项→杨辉的三角垛、四隅垛与朱世杰的垛积招差——高阶等差级数一次求和→算法分析里数嵌套循环要跑几次，与数值积分里离散之和、连续之积差的那一项
- 沈括运粮：三人饷一卒，极矣→补给线越长，每多一个人多出的路越短——沙漠越野车问题→今天的最优化与运筹：物流与车队调度的算法
- 婆什迦罗二世以零为分母的分数是无穷量→浮点数里专门留出 ±Infinity 与 NaN 两类值→今天每一次除零：IEEE 754 的规定与编译器里的处理
- 斐波那契《计算之书》与位值制→欧洲的账房与复式记账→今天每一台计算器上的十个键
- 斐波那契兔子问题→递推数列→算法里的递归与动态规划
- 斐波那契《花》里的逐位逼近→数值求根→今天求解器里的迭代法
- 李冶1248：立天元一为未知数，按题意一步步写出式子，两式相消得方程→韦达、笛卡儿以后的符号代数：设未知数、列方程成了解题的通用办法→今天工程软件里的求解器，先把条件写成方程组，再交给数值求根
- 李冶1248：一竖列算筹就是一条方程，每一格一个系数，旁注元与太→把多项式存成系数数组，是计算机代数的基本表示→多项式求值与数值求根在芯片里一刻不停地跑：计算器的开方、信号处理里的滤波器设计
- 李冶1248：同一问设不同的未知数，列出两条系数全不相像的四次式→消元与变量替换：选对未知数，式子的次数与系数会差很多→最优化与机器人运动学里，参数化选得好不好决定求解器快慢
- 秦九韶贾宪的增乘开方法→正负开方术：任意次、任意正负系数→嵌套乘法（霍纳法）——今天每一次多项式求值
- 杨辉贾宪的开方作法本源图（原书失传）→杨辉 1261 年把它转录进《详解九章算法》→二项式系数与组合计数：抽样方案、纠错码里挑校验位，都要数这张表
- 杨辉沈括的隙积术→三角垛、四隅垛：高阶等差级数一次求和→今天的算法复杂度与数值积分里那句「n 立方除以六」
- 杨辉刘益的带益隅开方→同一块田问八遍，八个方程配八种解法→今天的求解器：先把问题化成方程，再逐位逼近——数值求根的日常
- 朱世杰1303：四个未知数摆进一张筹式，一元一元消去→贝祖、西尔维斯特的结式，十九、二十世纪的消元理论与格罗布纳基→今天的计算机代数系统与机器人运动学求解器，解多元多项式方程组仍靠消元
- 朱世杰1303：上差、二差、三差、下差各乘一个垛积数，四位并之→格雷戈里–牛顿前向差分公式，天文历表与数表的插值→数值逼近里的插值多项式：传感器补点、动画补帧、游戏里的平滑移动
- 朱世杰1303：茭草、三角、撒星……一族垛，逐层再累加一次→组合数的累加恒等式（今称曲棍球棒恒等式）→算法分析里数嵌套循环的次数：三层循环的计数正是一个三角垛
- 朱世杰1299：一纵十横，个位竖摆、十位横摆→位值制记数与零的占位→今天的计算器与计算机仍按位值存放每一个数，读错一位就差一个量级
- 朱世杰1303：句三股四弦五黄方二，四项自乘十六段→多元多项式的乘法：每一项乘遍另一式的每一项，再按次数归位→计算机图形里贝塞尔曲面的求值与细分，底下都是多项式求值
- 马德哈瓦在截断处补一个修正项→余下的那一截也能估计→今天数值求解器报出的那条误差界
- 阿尔·卡西先定误差，再倒推边数→3 × 2²⁸ 边形与十六位小数→数值逼近的第一步：先给精度，再选步长
- 阿尔·卡西三等分角化成三次方程→从零起反复代入，每轮误差乘 1/821→不动点迭代：今天数值求根的常用办法之一
- 阿尔·卡西任意次方根的逐位算法→与贾宪—秦九韶的增乘开方同形→嵌套乘法：今天多项式求值的标准写法
- 兀鲁伯每一角分一行的正弦表→5′ 一档独立算，中间用二次内插补→先定精度再选步长与插值阶：数值逼近的常规
- 塔尔塔利亚1539 年那首诗：三次方程的解法编成韵文→卡尔达诺的《大术》与邦贝利的虚数→数值求根：计算器与求解器里解方程的那一步
- 卡尔达诺5±√−15→邦贝利的运算法则与欧拉的记号 i→量子力学与信号处理里的复数
- 韦达用字母表示已知量与未知量→笛卡尔《几何学》与今天的符号代数→计算机代数系统里的符号求解器
- 纳皮尔1615：与布里格斯商定，1 的对数是 0、以 10 为底→1624 年布里格斯印出十四位的常用对数；稍后有人把对数刻在尺子上，成了滑尺→计算器上的 log 键，与工程师三百多年里的滑尺是同一样东西
- 纳皮尔1617：十根刻着九九表的方柱，乘法只剩抄数与加法→十七世纪的机械计算器把同样的查表加法做进了齿轮→数字计算机的乘法器里，仍是「部分积错位相加」这一套算法
- 纳皮尔1617：棋盘上的位置算术，数都拆成 1、2、4、8 之和→1703 年莱布尼茨发表只用 0 和 1 的记数法，同一套算术换了一种写法→每一台数字计算机做乘法，都是移位与相加
- 开普勒堆球最密的猜想（1611）→黑尔斯 1998 年的计算机证明→2014 年完成形式化——机器能检查的证明
- 开普勒酒桶的极值问题（1615）→极值附近一阶项消失→微积分里的求极值与今天的最优化
- 费马求极大极小的方法→牛顿与莱布尼茨的微积分→今天的最优化与机器学习训练
- 帕斯卡归纳的两步被说成一种方法→递归定义与归纳证明→程序的正确性证明
- 帕斯卡会自动进位的加法机→莱布尼茨的步进计算器→机械计算到数字计算机
- 莱布尼茨二进制算术→布尔代数与开关电路→所有数字计算机
- 莱布尼茨特征普遍语言与推理演算→弗雷格、罗素的形式逻辑→可计算性与形式化数学
- 莱布尼茨步进计算器与阶梯轴→机械计算器的两百年→Curta，直到 1970 年代
- 雅各布·伯努利幂和公式与那串以他命名的常数→欧拉：ζ(2k) 与欧拉–麦克劳林求和→渐近展开与高精度数值积分
- 棣莫弗n! 的近似式与那条级数（1730）→斯特林补上常数 √(2π)→渐近分析与算法复杂度的估计
- 棣莫弗递归级数，也就是生成函数（1730）→线性递推有了闭式解→组合计数、算法分析与数字滤波器
- 欧拉变分法→最优化理论→机器学习的训练引擎
- 兰伯特把正切展成连分数，证明 π 不是分数，又断言它连代数数都不是→1882 年林德曼证明 π 超越，两千年的化圆为方就此关门→「一个数能不能由有限步作出来」从此是一个可以判定的问题——今天的可计算性与形式化证明走的是同一条路
- 兰伯特三个直角的四边形，第四个角由边长定死，于是有了一个绝对的长度单位→他不肯信，却把每一步都推完了：第一次有人把一门新几何整套算出来而不宣布它成立→今天要判断一套公理会不会自相矛盾，做法和他那一步一模一样——把结论一条条推下去看会不会撞上，而这件事现在交给机器，叫形式验证
- 兰伯特1758 年把三项方程的根展成级数，比拉格朗日反演早二十二年→欧拉接着做，二百年后这条线上的函数被命名为 Lambert W→带时滞的自动控制系统稳不稳，判据直接写成 W；延迟微分方程、酶动力学、维恩位移与随机图里树的计数也都用它，它已经是每个数值求解器里的内置函数
- 蒙日1781：一堆土搬成另一堆，怎么运总路程最省→1942 年康托罗维奇把它松弛成线性规划，最优传输从此可算→今天物流调度的最优化与机器学习里衡量两个分布差多远的瓦瑟斯坦距离，都是这道题
- 勒让德最小二乘：让误差的平方和最小，1805 年第一次印出来→高斯给出概率解释与正规方程的解法，成为大地测量的标准算法→今天每一次 GPS 定位、每一次测量平差、每一次回归拟合，解的都是同一组正规方程
- 勒让德为算椭球的引力引进勒让德多项式→球谐函数成为分离变量法的标准零件，高斯又拿它的零点做出数值积分的求积公式→氢原子的轨道形状、地球重力场模型与全球气候的数值模拟，用的都是这一族函数
- 柯西柯西列与完备性→巴拿赫空间与希尔伯特空间→迭代算法的停机判据：两次之差小于 ε 就收工
- 罗巴切夫斯基把方程的根一遍遍平方→不用初值，一次读出全部根→数值求根：今天多项式求解器里仍留着这一支
- 罗巴切夫斯基一份被退稿、被嘲笑的手稿→1868 年贝尔特拉米给它一个曲面，非欧与欧氏从此同生共死→相对相容性：今天要证一套公理不自相矛盾，用的还是这一招——形式化地搬进另一套里
- 狄利克雷抽屉原理与丢番图逼近→无理数被分数逼到 1/q² 以内→采样与混叠、齿轮与闰年，以及算法里估计哈希碰撞的那一步
- 雅可比雅可比迭代（1845）→解大方程组的逐次逼近→一轮里各分量互不依赖——今天并行求解器的底子
- 刘维尔1844：能被分数逼得太近的数，不可能是代数数→埃尔米特 1873 年证 e、林德曼 1882 年证 π 是超越数，化圆为方从此了结→今天判断一个常数能不能被有限位的分数存好，问的仍是它被分数逼近得有多快：数值逼近的精度从这里问起
- 刘维尔1833–35：积分能写成有限形式，就只能长成那一种样子→里施 1969 年把它做成一个判定「积不积得出来」的算法→计算机代数系统里的符号积分，背后跑的就是这套算法
- 魏尔斯特拉斯逐点收敛与一致收敛分家→M 判别法与逐项积分、逐项求导的条件→傅里叶级数的收敛判据与数值积分里的误差估计
- 魏尔斯特拉斯有界数列必有收敛子列→存在性要证，不能默认→变分法的直接方法与今天的最优化算法
- 布尔x·x = x 与逻辑代数（1847、1854）→布尔代数成为数字电路的语言→每一块芯片里的与门、或门、非门
- 布尔半加器与全加器→算术逻辑单元 ALU→每一台数字计算机的加法与比较
- 布尔香农 1937：开关网络就是布尔表达式→逻辑综合与电路化简算法→今天的芯片设计工具仍在做同一件事：把式子化简成更少的门
- 布尔布尔代数即集合代数→关系代数与检索语法→数据库查询与搜索引擎里每一个筛选条件
- 布尔命题演算被代数化→弗雷格、罗素与形式逻辑→形式验证：让机器检查一个证明或一块芯片对不对
- 切比雪夫机器怎样走得更直→最佳一致逼近与交错定理→雷米兹算法、滤波器设计与数值逼近
- 戴德金1858 年备课时发现极限定理只能靠图形讲→分割给实数下了定义，完备性从直观变成可证的事→浮点与区间算术：数值求根、数值逼近今天都按这条地基验算
- 戴德金链与定义七十一的四条→归纳法成了定理，递归定义成了存在唯一性定理→类型论与证明助手：程序的正确性证明与数学的形式化
- 贝尔特拉米1873 年《论双线性函数》：两组变量各用一个正交代换，双线性函数化成 γ₁ξ₁η₁ + … + γ_n·ξ_n·η_n→若尔当 1874 年独立补全退化情形，施密特 1907 年证明「扔掉小的那几个 γ」就是最好的低秩逼近（这条定理后来被挂在埃卡特与杨名下），戈卢布与卡汉 1965 年给出稳定的算法→今天的主成分分析、推荐系统与模型压缩都是这一条，数据分析里降维的第一把刀就是它
- 康托尔对角线法→不可判定性→哥德尔不完备定理与图灵停机问题
- 克莱因圆盘里的非欧几何→非欧与欧氏同生共死→公理系统的相对相容性：今天形式化证明的标准做法
- 克莱因二十面体的 60 个旋转→A₅ 单群与五次方程→有限群表示论，以及计算机代数里那些求解算法
- 柯瓦列夫斯卡娅不假定截面是椭圆，把边界摊成傅里叶级数逐阶算→旋转流体的平衡形状有了可以一阶一阶逼近的算法→行星环与吸积盘的形状：深空探测传回来的天文图像要对着这类模型读
- 马尔可夫1906 年喀山那一篇：一串首尾相连的试验，下一次只看这一次→平稳分布与遍历性：走上几步，「一开始在哪里」就被抹平了→网页排序的阻尼因子把收缩系数按在 0.85，于是排名一定算得出来——今天的算法与数字计算机里，这是最常被跑的一类迭代
- 马尔可夫链加上从分布里抽样本的办法（冯·诺依曼与乌拉姆，1946）→马尔可夫链蒙特卡洛：造一条平稳分布正好是目标分布的链，跑久了取平均→贝叶斯统计、期权与风险定价、保险精算的主力算法
- 马尔可夫1889 年门捷列夫那个问题：被界限压住的多项式能有多陡→弟弟弗拉基米尔 1892 年把它推到任意阶导数；伯恩斯坦由此建立逼近论的一支→数值逼近与最优化里估计误差放大的那一步，用的就是这类不等式
- 龙格1895：拿大步长与小步长的结果是否相符，来定这一步该信到第几位→把这件事自动化，就是嵌入式的误差估计与自适应步长→从天气预报的数值模拟到非线性电路的求解器，能不能在允许的时间里算完，全看这一步走得多大
- 龙格1901：等距取点插值会在两端摆起来，而管用的那一段由复平面上一条等位线定住→节点该摆在哪里成了一个能算的问题：两端排得更密的那一族才是对的→数值逼近、样条、有限元的网格细化与今天的谱方法，起点都在这句话上
- 龙格1903、1905：把一条经验的周期函数拆成正弦波，格式是倍长的——两段 N 点的变换拼成一段 2N 点的→丹尼尔森与兰乔什 1942 年说这正是他们算法的来源，而库利与图基 1965 年的快速傅里叶变换又被追到他们那里→今天手机里每一次 4G/5G 的载波解调、每一次音频的频谱分析，跑的都是这条被重新发现了几次的路
- 希尔伯特公理化与元数学纲领→哥德尔不完备定理、图灵机→可计算性与计算机
- 阿达马1896：log M(r) 是 log r 的凸函数→三线定理，以及里斯与索林的插值定理→数值逼近里的误差估计与信号滤波器的设计，用的仍是同一套「两端夹中间」
- 波莱尔1914：一百万只猴子，一年敲出全世界的书→概率小到这个程度，就可以当它不会发生——这成了统计物理里「热力学第二定律只是统计规律」的标准讲法→密码学里说一把 128 位的密钥「猜不中」，用的也是这一种算法：把概率换算成要敲多少年
- 关孝和1683：为了消元，把系数排成方阵斜着乘→行列式成为线性代数的基本量，判断一组方程有没有唯一解→今天的线性方程组求解器与电路、结构的工程仿真，第一步都要看系数矩阵是不是奇异的
- 关孝和1712：十二格的取数，一格由前面几格算出→欧拉–麦克劳林求和公式建在同一串数上，把一个和换成积分再加修正项→数值积分库里修正端点误差、估计截断误差，用的仍是这串数
- 关孝和1712：三档周长两个差一除，π 从第九位跳到第十八位→理查森外推（1911）、艾特肯加速（1926）、龙贝格积分（1955）一路传下来→今天的数值积分与微分方程求解器用外推把粗网格上的结果加速，省掉成倍的计算
- 关孝和1712：周率加三或加四，一行行逼近 355/113→用小分母的分数去逼近一个实数，后来由连分数给出系统的答案→齿轮传动比的设计与计算机里的有理数近似算法，找的都是这种分母不大、误差又小的分数
- 哈代1910 年证明：任意两个对数–指数函数最终一定分得出快慢，不会永远摆来摆去→这类函数构成的结构后来以他的名字命名，叫哈代域→今天说一个算法是 O(n log n) 还是 O(n^1.5)、说哪个更快，靠的正是这条定理保证「更快」这句话有意义
- 哈代《纯数学教程》1908：把极限、连续与收敛的严格写法第一次交给英国的本科课堂→一代英国分析学家由它出身，第十版至今在印→今天证明助手里的实分析库，第一条写下的定义仍是它那一条；形式化的数学从这里开始学怎么说话
- 布劳威尔1912：映射的度——盖住一点的像，正的减去负的→莱夫谢茨不动点公式与非线性分析里的度理论→同伦延拓法：数值求根时从一个解得出的方程连续地走到要解的方程
- 布劳威尔1907–1925：存在就得造得出来，不用排中律→海廷 1930 年把直觉主义逻辑写成形式系统；证明即构造成了类型论的出发点→今天的证明助手靠这套逻辑做形式化数学与程序的正确性证明
- 柯尔莫哥洛夫1965：一个对象的信息量，就是能把它印出来的最短程序的长度——换一把尺子只差一个常数→算法信息论与最小描述长度原则由此而来；「随机」头一次成了说一个具体对象的话→可计算性的边界、压缩算法能到哪儿、一串密钥够不够乱，都要回到这个量上
- 冯·诺依曼1945 年《EDVAC 报告初稿》：把机器分成运算、控制、存储、输入、输出五部分，并让指令与数值用同一种方式存放→指令既然是数，程序就能被读、被改、被另一段程序生成——汇编器、编译器与操作系统都从这一条长出来→今天每一颗通用处理器仍是这个样子：存储程序的体系结构是全部数字计算机与算法的地基
- 冯·诺依曼1923 年把序数定义成「比它小的那些序数所成的集合」，替掉了康托尔那个靠抽象得来的说法→这个定义进了 ZF 集合论，成为超限归纳与递归定义的标准地基→今天证明助手里的序数记号用它来证明程序会停机，类型论与形式化数学的基础库第一条写的也是它
- 巴拿赫1927–1932：哈恩–巴拿赫：线性泛函可以一直延拓下去→凸分析与对偶：分离超平面、拉格朗日对偶→最优化与支持向量机：对偶问题给出一个可以验证的下界
- 哥德尔不完备定理→图灵机与停机问题→可计算性理论与今天的计算机科学
- 哥德尔哥德尔编码：把语法变成算术→系统能在内部描述自己→编译器、形式验证与自动定理证明
- 图灵图灵机→「可计算」有了定义→可计算性、复杂性与整个计算机科学
- 图灵通用图灵机→ACE 与 EDVAC 的存储程序式数字计算机→硬件与软件分家
- 汉明浮点尾数的倒数分布是乘除法的不动点→浮点运算的误差统计与规格化次数估计→数值逼近里的误差估计，以及拿首位数字分布去查账户余额与报表上的造假
- 汉明《你和你的研究》里那套「开着门工作」→工业实验室与大学里关于研究选题的通行说法→工业实验室怎么挑题、怎么排资源，成了一件被认真讨论的事——今天讲科研最优化与选题的课，十有八九还在放这一篇
- 卡尔曼1962–1965：输入输出只看得见既能控又能观的那一块，最小实现由汉克尔矩阵的秩定出→从实测数据里辨识一个状态空间模型成了一门学问，子空间辨识一类的办法都从 Ho 的算法那里长出来→电路与机械的建模、机器学习里的状态空间序列模型，都从这一步起家
- 库默尔1850：素数次的费马方程，只要这个素数正则就无解，判据是伯努利数的分子→类数与 ζ 函数在负整数处的值连成一条线，岩泽理论与怀尔斯那一代的工具都从这里接过去→今天已用计算机把二十亿以内的素数逐个判过正则与否，靠的是快速算伯努利数的算法
- 库默尔1852：组合数里素数 p 的次数，等于 p 进制加法的进位次数→帕斯卡三角模 p 的分形图案、判断组合数奇偶的位运算，都从这一条读得出来→程序竞赛与密码学里模素数的组合计数，常用的算法就是把数按 p 进制拆开来算
- 库默尔1834：只加十项，把其余无穷多项夹在两个界之间→级数加速从此成了一门手艺，理查森外推、艾特肯加速一路传下来→数学软件里算 ζ 函数与各种特殊函数时的数值逼近，收尾用的都是这一类办法
- 西尔维斯特1852：二次型正负系数的个数不随变量改变，他起名惯性定律→判断一个驻点是极小、极大还是鞍点，看的就是那个二次型正负几个→今天的最优化求解器与神经网络训练，都要检查海森矩阵是不是正定
- 西尔维斯特1880：真分数一步一步拆成单位分数，每步取最大的一块，一定拆得完→「每一步只取眼前最好的」这种做法后来有了专名：贪心算法→今天调度、压缩编码与找零钱的程序里，贪心算法什么时候最优、什么时候不是，是算法课的第一课
- 西尔维斯特1893：有限个点不全共线，必有一条连线只过两点→1944 年加莱给出证明，此后「只过两点的线有多少条」成了组合几何的一整条研究线→今天的计算几何与计算机图形里，判定共线、找退化情形是每一个几何算法都要先处理的事
- 凯莱1875：化学的同分异构问题被换成数树→波利亚 1937 年把这类「数有对称的结构」整理成一套计数定理→今天的化学信息学用算法枚举分子骨架，药物筛选先在计算机里生成成千上万个候选结构
- 图基1965：按 2 或 4 拆，寻址是把二进制位倒过来读，运算就在原来那块存储里做完→这一套成了硬件上固化的算法，数字信号处理器专门为它设了倒位寻址→今天每一颗基带芯片与音频芯片里，都有一块专门跑这个算法的电路
- 格拉斯曼1844 §45：方程组两边乘上其余系数的外积，未知数一个一个掉出来→行列式有了一个不必逐项展开的来历：它就是那个外积→线性方程组有没有唯一解，今天看的仍是这个外积是不是零
- 格拉斯曼1861：加法与乘法只从「下一个数」递归定义，定律一条条用归纳法证→皮亚诺 1889 年写明他算术里的证明用的就是这本书；戴德金 1888 年证明这种定义站得住→证明助手里自然数与加法的形式化定义，至今照这个样子写
- 闵可夫斯基1896：对称的凸形体积够大，就一定罩住一个格点→格里最短的向量有多短，有了一个只看体积的上界；1982 年的 LLL 算法去真的把它找出来→抗量子密码学里的格密码（2024 年定为标准的 ML-KEM）押的就是：维数一高，这个最短向量难找
- 闵可夫斯基1903：面积的平方根超加，等周不等式是它的特例→凸几何与凸分析成了一门学问→最优化里凸问题可以放心求解，求解器从这一路的不等式里取保证
- 皮亚诺1886、1890：右边只要连续，解就存在；可解不必唯一→存在与唯一从此分成两件事，唯一要另靠利普希茨那一类条件→数值模拟与求解器在动手之前先要问方程的解是否唯一，否则算出来的只是其中一条
- 皮亚诺1884：沿每一条直线都是极小，却不是极小→多元函数的极值要看整个邻域，二阶条件写成海森矩阵正定→最优化与机器学习的训练里，判断停在极小还是鞍点，用的仍是这一套
- 皮亚诺1889–1890：整篇证明写成符号，ε（今天的 ∈）由他起用→罗素与怀特海沿用他的记号写《数学原理》，哥德尔 1931 年的系统就建在皮亚诺公理之上→形式验证与证明助手把证明写成机器能逐步检查的符号串
- 豪斯多夫1914：拓扑空间的四条邻域公理→一般拓扑与泛函分析：收敛、连续、紧都在这套语言里说→数值逼近与各种求解器的收敛性证明，先得说清在什么空间、什么意义下收敛
- 索菲斯·李1874：知道方程的一个对称，就乘得出积分因子→二十世纪下半叶奥夫相尼科夫、奥尔弗等人把对称方法推到偏微分方程→计算机代数系统求解微分方程时，先找对称再降阶的那一套算法
- 索菲斯·李1896：切触变换——变的是点连同过它的方向→哈密顿力学的正则变换与几何光学的波前，都是这一类变换→数控加工的刀具轨迹是零件轮廓的平行曲线：计算几何里的偏置算法
- 拉东1917：空间里用平面积分的那一版，式子只看附近→科马克在诺贝尔演讲里指出，它在核磁共振里用得上→三维成像与医学影像里的重建算法，同一套投影反演换一种几何
- 拉东1921：n + 2 个点总能分成凸包相交的两堆，赫利定理由此得证→赫利型定理成了凸几何与组合几何的一整支→计算几何与线性规划、最优化里的「组合维数」论证
- 埃尔米特1873：同一个分母同时逼近 e 与 e²，证出 e 是超越数→林德曼 1882 年证 π 超越；这套「同时逼近几个函数」的办法后来叫埃尔米特–帕德逼近→有理逼近成了数值逼近的常规手段：计算器与数学库里算指数、对数的函数，很多是用分式逼近写成的
- 埃尔米特1864：e 的负 x 平方次方的逐阶导数给出一族正交多项式→薛定谔 1926 年解量子谐振子，本征函数正是这一族→高斯–埃尔米特求积：概率密度是钟形时，用它的零点做数值积分最省点
- 洛伦茨1995：36 个格点围成一圈的洛伦茨-96 模型→资料同化与集合卡尔曼滤波的新方法，常常先在这个模型上试→天气预报的业务模式把全球观测揉进初值之前，那套算法多半先在它身上做过数值模拟
- 丹齐格1947：单纯形法，沿多面体的棱走到最优的顶点→商用求解器把规模推到上百万个变量，单纯形法与内点法并用→航班与机组排班、电网调度、炼油调和都交给线性规划求解器
- 丹齐格1947 年秋：斯蒂格勒的营养问题，第一次大规模试算单纯形法→「最便宜又达标的混合」：饲料配方、炼油调和、合金配料→饲料厂与化工厂的配方最优化，每天都在跑
- 丹齐格1972：克利与明蒂的立方体，最坏情形要走遍全部顶点→1979 年椭圆法、1984 年内点法：线性规划可以在多项式时间内解→「最坏情形慢、实际中快」成了算法理论的常规问题，2001 年的光滑分析是一个回答
- 伊藤清1946：随机积分方程的存在唯一性，逐次逼近→随机微分方程成为描写一切带噪声的动态的通用语言→扩散生成模型先按一条随机微分方程给图像加噪，再用数值求解器把它倒着解回去
- 贝叶斯1763 附录：普赖斯的彩票与第二条规则的上下界→二项分布尾部面积的近似，以及近似的误差到底有多大→抽样质检里「这批货的次品率有多大可能超过某个数」的算法
- 贝叶斯1763 致坎顿的信：ln z! 那条级数发散→渐近级数：取到最小的那一项就停→计算器与数学库里算阶乘、伽马函数的数值逼近
- 李善兰尖锥：x 的 n 次方下的面积是高乘底再除以 n + 1→积分就是把细条叠起来：切得越细，夹得越紧→物理引擎与有限元程序里一步一步做的数值积分
- 李善兰对数探源：从最下一层起，除了加、加了除→多项式按嵌套的次序逐层求值，n 次只要 n 次乘法→数学库与芯片里 log、exp 的多项式求值
- 达朗贝尔1747：弦的运动方程，通解是一左一右两个行波之和→波动方程成了声、光与电磁波的共同语言→声呐、地震勘探与医学影像：成像算法解的都是它的反问题
- 达朗贝尔1768：后项与前项之比最终小于 1，级数才收敛→判断级数截到哪一项、能不能用，成了分析的日常→数值逼近：计算器与函数库算 sin、exp、√ 时，先要知道级数收得多快
- 达朗贝尔1746：只动常数项，沿途跟着一个根→同伦延拓：从一个解得出的问题一步步变到要解的那个→数值求根：多项式方程组的同伦延拓求解器
信号、图像与通信
把一段声音、一张照片、一次通话拆成频率再拼回去——手机里每秒钟都在做的事，来自一个为了算热而造刀的人。
- 埃拉托色尼比例规：推板子夹出两个比例中项→按体积缩放：体积加倍，每条棱乘 2 的立方根→游戏引擎与计算机图形里的等比缩放——体积与边长的换算
- 喜帕恰斯一到六等→1856 年波格森：五等一百倍→分贝、曝光档位与伽马曲线
- 塔比·伊本·库拉半轴 a、b 的椭圆等于半径 √(ab) 的圆，以及保面积的变换→仿射变换下面积按定比缩放，成为线性代数里行列式的几何意义→计算几何与计算机图形里，一个矩阵把面积放大多少倍就看它
- 海什木几盏灯与一个孔：光沿直线、互不混淆→开普勒《对维特洛的补充》：小孔成像与视网膜上的倒像→暗箱、照相机与图形学里的针孔相机模型
- 贾宪增乘方求廉法：只用加法造出一整行系数→逐差造表——一张表从上一张表加出来→巴贝奇的差分机，以及计算机图形里的增量求值：光栅化一条线只用加法
- 贾宪立成释锁：先备一张现成的表→增乘开方：不备表，边算边把廉生出来→查表还是现算——今天从电路里的三角函数表到器件设计，仍是同一道取舍
- 李冶1248：一竖列算筹就是一条方程，每一格一个系数，旁注元与太→把多项式存成系数数组，是计算机代数的基本表示→多项式求值与数值求根在芯片里一刻不停地跑：计算器的开方、信号处理里的滤波器设计
- 秦九韶《孙子算经》的「物不知数」→大衍求一术：任意一组除数的通法→RSA 解密的中国剩余定理加速与纠错码
- 杨辉贾宪的开方作法本源图（原书失传）→杨辉 1261 年把它转录进《详解九章算法》→二项式系数与组合计数：抽样方案、纠错码里挑校验位，都要数这张表
- 朱世杰1303：句三股四弦五黄方二，四项自乘十六段→多元多项式的乘法：每一项乘遍另一式的每一项，再按次数归位→计算机图形里贝塞尔曲面的求值与细分，底下都是多项式求值
- 奥雷姆「比例的几分之几」→沃利斯与牛顿把它写成 a 的 p/q 次方→十二平均律与 2 的 1/12 次方
- 马德哈瓦正弦与余弦的幂级数→用多项式代替查表→今天的信号处理与三维旋转，每一步都要现算 sin
- 卡尔达诺5±√−15→邦贝利的运算法则与欧拉的记号 i→量子力学与信号处理里的复数
- 韦达把方程变成角：三次方程的三角解法→棣莫弗公式与欧拉公式→信号处理里的相位
- 纳皮尔1614：把正弦之间的乘除换成对数的加减→开普勒 1627 年的《鲁道夫星表》用上了它，此后三百年的天文计算与航海定位都靠查对数表→今天的分贝、星等、音阶的半音，都是按比例而不是按差刻的尺子：导航与天文里的对数刻度从这里开始
- 开普勒《天文学的光学部分》（1604）→视网膜成像与光照的平方反比→近代光学与眼镜、相机的成像理论
- 笛卡尔把几何画进坐标→函数图像→今天的每一张数据图与每一帧计算机图形
- 帕斯卡神秘六边形→射影几何与对偶原理→计算机图形学里的射影变换
- 惠更斯惠更斯原理：子波的包络→菲涅耳补上相位与干涉→衍射计算、天线设计、地震波与声呐成像
- 莱布尼茨二进制算术→布尔代数与开关电路→所有数字计算机
- 棣莫弗棣莫弗公式：乘方就是转角相加→欧拉写成 e^(iθ) 的样子→信号处理里的相位与快速傅里叶变换
- 棣莫弗递归级数，也就是生成函数（1730）→线性递推有了闭式解→组合计数、算法分析与数字滤波器
- 丹尼尔·伯努利1753：弦的振动是各阶简正振动的叠加→傅里叶 1807 年给出每一阶该取多少的求法→今天的信号处理把声音拆成一阶一阶的分量，MP3 就是这么压缩的
- 兰伯特《光度学》1760：把「亮」变成可以量的量，并推出余弦定律→照明工程整个建在它上面，亮度的一个单位就叫「朗伯」→今天计算机图形里的漫射面就叫朗伯面，每一帧画面里最基础的那一行着色代码算的正是他那条余弦
- 拉格朗日n+1 个点定一条 n 次多项式→里德—所罗门码与秘密共享→二维码与硬盘上的纠错、GPS 星历的插值
- 蒙日1781、1795：曲面上两族处处正交的曲率线→迪潘、高斯的曲面论，微分几何从这里起步→今天计算机图形里给曲面布网格、汽车与建筑的曲面设计，常顺着曲率线走
- 蒙日1799：平面上的难题跳到空间里，换一个投影方向去看→学生彭赛列由投影的看法走到射影几何→射影几何的齐次坐标，今天是计算机图形与游戏引擎里每一次透视投影的底子
- 拉普拉斯拉普拉斯变换→传递函数与极点分析→自动控制、信号处理、电路设计
- 拉普拉斯拉普拉斯算子 Δ→位势论与偏微分方程→图拉普拉斯、谱聚类、图像处理
- 傅里叶傅里叶级数→频域分析→今天每一次信号处理、每一张 JPEG、每一首 MP3
- 泊松泊松方程→位势论与偏微分方程→场的仿真、器件设计与计算机图形
- 柯西柯西积分定理与留数→复变函数论→拉普拉斯变换、Z 变换与极点判稳
- 狄利克雷傅里叶级数收敛的第一个判据→跳跃处收到中点；一百四十年的边界之争→今天音频与图像压缩里对边缘的处理，以及一切信号处理的收敛保证
- 雅可比椭圆函数 sn、cn、dn（1829）→摆的精确解与椭圆积分 K→今天的数字滤波器设计与非线性振动
- 伽罗瓦有限域 pⁿ→纠错码与密码学→二维码、CD、AES——每天都在跑
- 刘维尔1846：把伽罗瓦的遗稿读懂、印出来→若尔当 1870 年的《置换论》把它写成一门系统的学问，有限域从此进了教科书→今天的纠错码与二维码，底下跑的都是有限域上的运算
- 魏尔斯特拉斯连续函数都能被多项式一致逼近→逼近论有了立足的地基→数值计算、信号处理与统计学习里的函数逼近
- 布尔x·x = x 与逻辑代数（1847、1854）→布尔代数成为数字电路的语言→每一块芯片里的与门、或门、非门
- 布尔香农 1937：开关网络就是布尔表达式→逻辑综合与电路化简算法→今天的芯片设计工具仍在做同一件事：把式子化简成更少的门
- 切比雪夫机器怎样走得更直→最佳一致逼近与交错定理→雷米兹算法、滤波器设计与数值逼近
- 戴德金戴德金与韦伯 1882 年把理想搬到代数函数域→函数域与曲线的算术合成一门→代数几何码：深空通信与存储里的纠错码
- 贝尔特拉米同一条分解：一个矩阵被拆成「转一下、拉一下、再转一下」，那几个拉伸倍数是矩阵自身的量→多天线通信里，发射端与接收端之间的信道是一个矩阵——把它分解开，几根天线就成了几条互不干扰的独立通道→这就是 4G 与 5G 手机里的 MIMO，也是所有波束成形与信号处理中「按奇异值分配功率」的那一步
- 若尔当1870：一个群拆到底，拆法不止一条，可那串合成因子至多差一个次序→赫尔德 1889 年把因子的同构补上；「有限单群一共有多少种」由此成了一个能问的问题→有限单群的分类耗掉二十世纪几百位数学家；那些零件今天摆在纠错码与密码方案的底层
- 若尔当1870：《置换论》把伽罗瓦散落的手稿讲成了一门课，六百多页→克莱因与索菲斯·李 1870 年在巴黎一起读的就是这部书，此后一个做离散群下的几何、一个做连续变换群→对称群今天是晶体学、粒子物理与计算机图形里的通用语言——从二维码的纠错到分子结构的分类都要用它
- 克莱因一块方布换一种缝法→不可定向的闭曲面→曲面分类定理：今天计算机图形里的网格与纹理坐标
- 马尔可夫1913 年《奥涅金》：把一段文字当成一串相依的符号来统计→香农 1948 年照同一条路把英文按阶生成，得出熵与冗余度→语音识别的隐马尔可夫模型与今天的语言模型，都是这条路走下去的结果——信号处理与图像处理里同样在用
- 龙格1895：把求积的公式搬到微分方程上，先用欧拉走半步把中点猜出来→1901 库塔把它推到四阶：一步算四个函数值，误差是步长的四次方→今天每一个轨道推进器、每一个电路与多体仿真器里跑的都是这一步——深空探测的定轨、火箭的弹道积分，用的还是这条一百多年没换过的式子
- 龙格1895：拿大步长与小步长的结果是否相符，来定这一步该信到第几位→把这件事自动化，就是嵌入式的误差估计与自适应步长→从天气预报的数值模拟到非线性电路的求解器，能不能在允许的时间里算完，全看这一步走得多大
- 龙格1885：单值解析函数在整个有效域上能写成一列有理函数之和，极点往补集的连通分支外推→有理逼近与帕德逼近由此立起来→滤波器设计里那套「用极点零点去凑一条频率响应」的手艺，数学上的许可证就是这条定理
- 李雅普诺夫1896 年那条判据：周期系数的二阶方程什么时候不会越涨越大→参数共振与一切随时间起伏的线性系统→从桥梁与船舶的抖动到电路里的滤波器设计，凡是系数会周期变化的工程问题都要先过这一关
- 希尔伯特希尔伯特空间→冯·诺依曼的量子力学公理化→信号处理与机器学习
- 阿达马1893：行列式的上界，以及取到等号的那族 ±1 方阵→行两两正交就给出等距的码字，也给出只用加减法的正交变换→水手九号从火星发回的照片、光盘与深空通信里的纠错码，以及多路复用成像与谱分析用的阿达马变换
- 阿达马1896：log M(r) 是 log r 的凸函数→三线定理，以及里斯与索林的插值定理→数值逼近里的误差估计与信号滤波器的设计，用的仍是同一套「两端夹中间」
- 关孝和1683：为了消元，把系数排成方阵斜着乘→行列式成为线性代数的基本量，判断一组方程有没有唯一解→今天的线性方程组求解器与电路、结构的工程仿真，第一步都要看系数矩阵是不是奇异的
- 勒贝格1903–1906：用他的积分重写三角级数，平方可积的函数一律有傅里叶展开→帕塞瓦尔等式在平方可积函数上成立：一段信号的能量等于各频率能量之和→信号处理里说「滤波就是在频域里乘一个函数」，要在这个空间里才站得住
- 哈代圆法：把「有几种写法」写成单位圆上的积分，再按分母把圆切成主弧与次弧→维诺格拉多夫 1937 年用它证明充分大的奇数都是三个素数之和，2013 年赫尔夫戈特把「充分大」去掉→同一套「写成积分、按频率分开估计」今天是纠错码算重量分布、哈希函数估碰撞概率的常规办法
- 哈代1915 年证明解析函数模的 p 次平均随半径不减、并且是对数凸的→F. 里斯 1923 年把这族函数记作 H^p，以他的名字命名→今天的自动控制把「最坏情况下的放大倍数」写成这块空间里的范数，H∞ 设计是工业界的标准工具；信号处理里的解析信号与希尔伯特变换住的也是这里
- 布劳威尔1912：偶数维的球梳不平→庞加莱–霍普夫定理：奇点的指数加起来等于欧拉示性数→天气预报里的风场总有一处静风，计算机图形在球面上铺方向场时奇点也只能挪、不能消
- 巴拿赫1922：同一篇里的积分方程，解写成一个逐项衰减的级数→光在墙面之间来回反弹，每弹一次打一个折扣——渲染方程按弹射次数展开→计算机图形与游戏引擎里的全局光照：多弹几次就收敛
- 庞特里亚金1934：紧交换群与离散交换群互为特征标群→傅里叶分析从圆周与实数推到任意局部紧交换群，有限群上的离散傅里叶变换是它最小的一格→信号处理里的离散傅里叶变换、纠错码理论里码与对偶码之间的恒等式，都可以放进这套框架里看
- 汉明把码字放进 n 维立方体、用最小距离量纠错能力→线性分组码、循环码、BCH 与里德–所罗门码→二维码、光盘、深空探测与 5G 的信道编码都从这套语言开始讲
- 汉明纠一位加检两位的构造→SEC-DED 校验电路→服务器与航天器内存里的 ECC，每一次读写都在跑它
- 汉明0.54 与 0.46 那个窗→加窗的功率谱估计与数字滤波器设计→语音识别的每一帧、手机基带的每一次频谱分析都要先加一次窗
- 香农熵与信源编码定理→哈夫曼码、算术编码与字典类压缩→ZIP、JPEG、MP3 与今天每一次视频编码
- 香农有噪信道编码定理→汉明码、里德–所罗门码、Turbo 码与 LDPC→深空探测、硬盘、二维码与 5G 都贴着容量在跑
- 香农采样定理→模数转换与数字信号处理→CD、数字音频、数字影像与一切采样系统
- 卡尔曼1962–1965：输入输出只看得见既能控又能观的那一块，最小实现由汉克尔矩阵的秩定出→从实测数据里辨识一个状态空间模型成了一门学问，子空间辨识一类的办法都从 Ho 的算法那里长出来→电路与机械的建模、机器学习里的状态空间序列模型，都从这一步起家
- 卡尔曼1960：增益的差分方程从零起算，令 t 趋于无穷就是维纳的平稳滤波器→非平稳、多变量、间隔不齐的读数从此都能照同一套处理→天气预报的资料同化用的集合卡尔曼滤波，每天把全球观测揉进数值模式里
- 西尔维斯特1893：有限个点不全共线，必有一条连线只过两点→1944 年加莱给出证明，此后「只过两点的线有多少条」成了组合几何的一整条研究线→今天的计算几何与计算机图形里，判定共线、找退化情形是每一个几何算法都要先处理的事
- 凯莱1858：一方块数被当成一个量，可以相加、相乘，只是乘法不能随便交换→1925 年玻恩认出海森伯那套乘法不交换的数表正是矩阵，量子力学的矩阵力学从此成形→今天计算机图形里每个顶点乘一个 4×4 矩阵，机器学习里神经网络的每一层也是一次矩阵乘法
- 凯莱1889：n 个编号结点的树有 n 的 n − 2 次方棵→基尔霍夫 1847 年为电路列方程时用到的生成树，与这条计数属于同一家族：矩阵树定理→今天分析电路与网络可靠性、设计通信网络的生成树协议，都要数图里的生成树
- 维纳1930：没有傅里叶变换的信号，也能由自相关定出谱→辛钦 1934 年给平稳随机过程写出同一条定理；布莱克曼与图基 1958 年把它做成估计功率谱的标准办法→今天每一台频谱分析仪、每一次噪声测量与信号处理，都在算它
- 维纳1934：因果滤波器的增益，不能在一整段频率上为零→理想低通只能逼近，设计者在过渡带宽与阻带衰减之间取舍→每一块手机芯片里的模拟与数字滤波器，都是照这条界设计的
- 图基1965：N 个点的傅里叶变换，从 N² 次乘加降到 2N·log₂N 次→频谱分析、数字滤波第一次在机器上算得起，模拟的滤波器组一件件换成了程序→手机里的 4G/5G 解调、MP3 与 JPEG 的编码、医学影像的重建，底下都是这一步信号处理
- 图基1965：按 2 或 4 拆，寻址是把二进制位倒过来读，运算就在原来那块存储里做完→这一套成了硬件上固化的算法，数字信号处理器专门为它设了倒位寻址→今天每一颗基带芯片与音频芯片里，都有一块专门跑这个算法的电路
- 格拉斯曼1853：眼睛只分得出三样，混色就是线段的几何加法→色度学把这几条称为格拉斯曼定律，1931 年的标准色度系统建立在这种线性之上→相机只记三个数、屏幕只发三种光，成像与显示里的色彩管理全照这套线性关系换算
- 格拉斯曼1844：扩张不限于三维，级数可以一直升上去→克利福德 1878 年把它与哈密顿的四元数合成一种代数，今称几何代数→计算机图形与机器人学里有人用几何代数统一处理旋转、平移与求交
- 皮亚诺1890：一条连续曲线经过正方形的每一点→希尔伯特 1891 年给出二分再二分的作法与图；「维数」从此非重新定义不可→数据库与地图的空间索引、计算机图形里的纹理与缓存排布，都沿这类曲线把二维坐标压成一维
- 豪斯多夫1918：维数可以是 log 2 / log 3 这样的数→曼德博 1975 年造了「分形」一词，拿它量海岸线、云与血管分叉的粗糙程度→图像处理里用分形维数量纹理，医学影像里用它描述肺与骨组织的复杂程度
- 豪斯多夫1914：两个集合之间的距离，取两个方向上最远的那一点→形状比对与点云配准都拿它当误差的度量→医学影像分割与计算机图形里，衡量两条轮廓、两个网格差多少的标准指标之一
- 豪斯多夫1921：各阶差分全不为负的数列，恰好是某个分布的矩→全单调函数与伯恩斯坦多项式的理论→计算机图形里的贝塞尔曲线，用的正是那组伯恩斯坦基函数
- 拉东1917：空间里用平面积分的那一版，式子只看附近→科马克在诺贝尔演讲里指出，它在核磁共振里用得上→三维成像与医学影像里的重建算法，同一套投影反演换一种几何
- 拉东由投影重建（今天叫拉东变换）→德罗西耶与克卢格 1968 年用同一套办法从电子显微镜照片重建出 T4 噬菌体尾部的三维结构；地震勘探用它做层析→冷冻电镜、地球物理与工业无损检测里的三维成像与图像处理
- 埃尔米特1878：在几个点上连同导数一起插值，余项写成一条围道积分→每点对上值与一阶导数的三次埃尔米特样条→计算机图形与动画在关键帧之间补运动、描字体与路径的曲线段，用的都是它
- 洛伦茨1963：每一圈的极大值定下一圈的，理想化成帐篷映射→一维映射成了研究混沌最省事的模型：逻辑斯谛映射、倍周期分岔、费根鲍姆常数→用一张简单的图读懂复杂的非线性系统——从电路振荡到人口模型，都这样做第一步
- 洛朗·施瓦茨1945：δ 是作用在试验函数上的泛函，每一个广义函数都能求导→工程里的冲激响应有了严格的意思：一个线性、不随时间变的系统，就是和它的冲激响应做卷积→滤波器、均衡与混响：信号处理与通信里每一个数字滤波器的设计
- 洛朗·施瓦茨1945：发散的三角级数在广义函数里收敛，Σ e^(inx) 是一把狄拉克梳子→采样就是乘上一把梳子，频谱就被搬出一串副本：采样定理与泊松求和公式是同一件事→MP3 与数字音频、手机通信里的采样与抗混叠滤波器
- 洛朗·施瓦茨1950：速降函数空间 S，傅里叶变换在 S 与 S′ 上是自己到自己→缓增广义函数让 δ、常数、梳子都有傅里叶变换，量子力学里的位置与动量本征态有了着落→量子力学的数学表述与信号处理教科书里的傅里叶变换表
- 达朗贝尔1747：弦的运动方程，通解是一左一右两个行波之和→波动方程成了声、光与电磁波的共同语言→声呐、地震勘探与医学影像：成像算法解的都是它的反问题
- 斯托克斯1854：斯托克斯定理（开尔文 1850 年的信里先写下）→麦克斯韦方程组的积分形式：线圈里的感应电动势等于穿过它的磁通变化→电磁场计算，与计算机图形里流体模拟用的离散旋度
数据、统计与机器学习
民调的误差范围、流水线上的抽检、模型的训练——凡是要从有限的样本说出一句有把握的话，用的都是这一支。
- 婆什迦罗二世《莉拉沃蒂》把算题写成诗，末几章讲排列组合→印度此后几百年的算术课本→组合计数：抽样要抽多少、口令空间有多大
- 杨辉贾宪的开方作法本源图（原书失传）→杨辉 1261 年把它转录进《详解九章算法》→二项式系数与组合计数：抽样方案、纠错码里挑校验位，都要数这张表
- 杨辉洛书→二十来幅纵横图，以及它们的造法→组合设计与实验设计：正交表排出质检与 A/B 测试的方案
- 兀鲁伯刻到三角分的仪器→一千多条读数的分数栏留下了印子→从末位数字的分布反查仪器与流程：质检与数据溯源
- 费马求极大极小的方法→牛顿与莱布尼茨的微积分→今天的最优化与机器学习训练
- 雅各布·伯努利大数定律：摸得越多，频率越贴住概率→泊松给它起名；切比雪夫与马尔可夫把它推广→抽样调查、质检与置信区间
- 雅各布·伯努利从频率反推未知的比例→拉普拉斯的逆概率与《概率的分析理论》→保险精算与统计推断
- 棣莫弗二项分布的正态逼近（1733）→拉普拉斯推广成中心极限定理→民调的「误差 ±3%」与今天的抽样统计
- 棣莫弗拿 √(npq) 当量偏离的尺子→标准差成了通用的单位→质量控制、A/B 测试与金融风险度量
- 欧拉多面体公式→拓扑学→从数据分析到宇宙形状的研究
- 欧拉变分法→最优化理论→机器学习的训练引擎
- 拉格朗日带约束求极值的乘数法→凸优化与对偶→支持向量机与机器学习的训练
- 蒙日1781：一堆土搬成另一堆，怎么运总路程最省→1942 年康托罗维奇把它松弛成线性规划，最优传输从此可算→今天物流调度的最优化与机器学习里衡量两个分布差多远的瓦瑟斯坦距离，都是这道题
- 拉普拉斯中心极限定理→统计推断与误差理论→今天每一次抽样、每一个置信区间
- 高斯正态分布与最小二乘→统计学→民调、质检与机器学习
- 泊松泊松分布→排队论与随机过程→保险精算、放射性计数、网络流量
- 柯西柯西分布→重尾与鲁棒统计→谱线的洛伦兹线型、金融里的厚尾
- 罗巴切夫斯基三角形的亏量就是它的面积→负曲率把空间撑得指数地大→双曲嵌入：机器学习里用负曲率的空间装树状与层级数据，数据分析里的一支新工具
- 雅可比函数行列式（1841）→换元积分里那个放大倍数→多元概率密度换元、机器人学的雅可比矩阵与奇异姿态
- 雅可比雅可比旋转法（1846）→对称矩阵的特征值→主成分分析与一切要「找主轴」的地方
- 布尔给逻辑式子的概率定上下限（1854）→邦费罗尼修正与多重比较→统计推断里给假阳性把关
- 切比雪夫不问分布的尾概率上界→大数定律第一次对一般随机变量成立→抽样、质检与置信区间
- 贝尔特拉米1873 年《论双线性函数》：两组变量各用一个正交代换，双线性函数化成 γ₁ξ₁η₁ + … + γ_n·ξ_n·η_n→若尔当 1874 年独立补全退化情形，施密特 1907 年证明「扔掉小的那几个 γ」就是最好的低秩逼近（这条定理后来被挂在埃卡特与杨名下），戈卢布与卡汉 1965 年给出稳定的算法→今天的主成分分析、推荐系统与模型压缩都是这一条，数据分析里降维的第一把刀就是它
- 若尔当1892：用边长 r 的方格从内外两头夹一块集合，夹得拢才算它有面积→勒贝格 1902 年把有限个方格换成可数个覆盖，测度论由此立起来；概率随后被定义成测度→今天每一次统计推断、每一个机器学习模型的概率语言，地基都是这条从若尔当铺到勒贝格的路
- 克莱因几何 = 一个群的不变量→对称群成了分类的工具→晶体学的 230 个空间群，以及今天机器学习里的等变网络
- 庞加莱位相分析→代数拓扑→大数据、材料科学与宇宙形状研究
- 庞加莱回归定理→遍历理论→统计力学与随机过程的数学基础
- 马尔可夫把大数定律推广到彼此相依的量（1906）→相邻两次试验咬得越紧，平均值的涨落就按 (1+δ)/(1−δ) 放大或缩小→今天做抽样、质检与置信区间时，凡样本不独立就要先估这个倍数；随机过程与统计推断从这里起步
- 马尔可夫链加上从分布里抽样本的办法（冯·诺依曼与乌拉姆，1946）→马尔可夫链蒙特卡洛：造一条平稳分布正好是目标分布的链，跑久了取平均→贝叶斯统计、期权与风险定价、保险精算的主力算法
- 李雅普诺夫1901 年那个条件：什么时候一堆互不相干的小影响加起来一定是钟形→它把中心极限定理从「独立同分布」推到各项各不相同的一般情形→抽样、置信区间、质检与统计推断里那句「所以可以按正态算」，靠的就是这个条件成立
- 希尔伯特希尔伯特空间→冯·诺依曼的量子力学公理化→信号处理与机器学习
- 波莱尔1921：两人把同一笔兵力分到几处，处处比大小→这类「布洛托」博弈 1950 年前后在兰德公司被拿来研究兵力分配→今天竞选经费在各选区之间怎么分、广告预算在几个市场之间怎么分，都有人拿它来建模，再用机器学习去拟合对手的分法
- 勒贝格1901：把值域切成一层层，量「函数落在这一层的那些点有多长」→柯尔莫哥洛夫 1933 年把事件的概率写成测度、随机变量的期望写成这种积分，概率论从此有了公理→今天每一次统计推断、每一个机器学习模型里算的「期望」，写开来都是一个勒贝格积分
- 勒贝格1908：有一个可积函数压住整列，极限就能搬进积分号→这条引理成了分析里最常用的一步：求导与求期望换次序、傅里叶变换取极限，都先问压不压得住→给期权定价时把参数的导数挪进期望里面、在随机过程上做敏感度分析，用的就是这一步
- 勒贝格1911：盖住 n 维区域的小块，总有一点落在 n+1 块里→门格尔与乌雷松在二十年代据此发展出不靠坐标的维数论→今天的拓扑数据分析从一团点云里数维数与「洞」，用的正是覆盖与重数这一套
- 哈代1908 年那封读者来信：随机交配下，基因型的比例一代之后就不再变→它成了群体遗传学的零假设——真实数据偏离它多少，才是要解释的东西→今天每一份全基因组关联研究开跑前的第一道质量控制，就是逐个位点检验它偏没偏离这个比例；人口模型里的等位基因频率也从这里起算
- 布劳威尔1911：单纯逼近，把连续映射换成一张三角网→同调、上同调与整个代数拓扑→计算几何与拓扑数据分析：用三角剖分数一团点云有几个洞
- 柯尔莫哥洛夫1933：把概率定义成测度、把条件概率定义成相对于一族分解的随机变量→条件期望、鞅、随机过程由此都有了统一的说法，整门学问不再是一堆特殊技巧→今天每一次统计推断、每一个 A/B 测试、每一个机器学习模型背后写的都是这套语言——概率密度、抽样、置信区间全在里面
- 冯·诺依曼1947 年那封给里奇特迈耶的信：中子扩散不必解方程，跟着一个个粒子随机走就行→中方取中法提供可复现的伪随机数，ENIAC 1948 年跑出第一批结果→今天从金融的风险定价、药物试验的统计推断到渲染引擎的光线追踪，都是同一套办法；马尔可夫链蒙特卡洛是贝叶斯统计的主力
- 冯·诺依曼1928 年极小极大定理：两人零和博弈里，允许掷骰子之后「先亮牌」与「后亮牌」的值相等→1944 年与摩根斯坦把它推到经济学，纳什 1950 年推广到非零和的多人情形→今天的拍卖设计、期权与风险对冲、网络路由的博弈分析，以及机器学习里生成对抗网络的那个「极小极大」，用的都是这条定理
- 巴拿赫1922：每一步都缩一截，迭代就一定停在唯一的一点→贝尔曼的动态规划：值迭代每一步都把误差缩到折扣因子那么多倍→强化学习与机器学习里的值迭代、Q 学习，收敛的理由都是这一条
- 巴拿赫1924：分球——有的集合根本谈不上体积→所以测度只在一族挑好的集合上定义，概率论也照这样立在 σ-代数上→随机过程与统计推断里的每一个「事件的概率」，先要问它可不可测
- 图灵模仿游戏→人工智能这门学科的开场→机器学习与今天的对话系统
- 香农熵作为不确定性的度量→互信息、相对熵与最大熵原理→机器学习里的交叉熵损失、决策树的信息增益
- 卡尔曼1962–1965：输入输出只看得见既能控又能观的那一块，最小实现由汉克尔矩阵的秩定出→从实测数据里辨识一个状态空间模型成了一门学问，子空间辨识一类的办法都从 Ho 的算法那里长出来→电路与机械的建模、机器学习里的状态空间序列模型，都从这一步起家
- 凯莱1858：一方块数被当成一个量，可以相加、相乘，只是乘法不能随便交换→1925 年玻恩认出海森伯那套乘法不交换的数表正是矩阵，量子力学的矩阵力学从此成形→今天计算机图形里每个顶点乘一个 4×4 矩阵，机器学习里神经网络的每一层也是一次矩阵乘法
- 维纳1924：边界上一点正不正则，看一串容量的级数发散还是收敛→位势论从此有了容量这把尺子；布朗粒子从那一点出发会不会立刻碰上边界，是同一个问题→随机过程里的击中概率、用随机游走数值模拟偏微分方程的办法，都要先照它判边界
- 维纳1930：没有傅里叶变换的信号，也能由自相关定出谱→辛钦 1934 年给平稳随机过程写出同一条定理；布莱克曼与图基 1958 年把它做成估计功率谱的标准办法→今天每一台频谱分析仪、每一次噪声测量与信号处理，都在算它
- 图基1971：从两头往里数，五个数概括一批数，再画成一个盒子两根须→箱线图进了每一种统计软件，成了比较几组数据的默认画法→今天任何一份数据分析报告、一次 A/B 测试的结果，都少不了这张图
- 图基1974：第 i 个数配 (i − 1/3)/(n + 1/3)，取的是一个分布的中位数→概率图与分位数图拿它把一批数和正态分布对着看，歪在哪里一眼看出→统计推断之前先查分布像不像，质量控制与实验数据的检查都照这一步做
- 图基1974：平面上一个点的深度，是过它的直线切下的点数最少的那一半→多元的中位数与深度等值线成了鲁棒统计的一块基石，不怕少数坏点→异常检测、机器学习里的离群样本清洗，都用得上这种「扛得住坏点」的中心
- 图基1974：模型不是假设，是拿来比的参照；图是用来揭示没有料到的东西→探索性数据分析成了一门课：先看数据，再决定用什么模型→大数据与机器学习的第一步，至今仍是把数据画出来看
- 费希尔1912、1922：把参数调到让已有的数据最说得通，这个量叫似然→最大似然成了估计参数的默认办法，逻辑回归、隐马尔可夫模型都照它拟合→机器学习训练模型时压低的交叉熵，就是负的对数似然
- 费希尔1925：一次观测含多少信息，有效的估计量方差压不到 1/(nI) 以下→1945、1946 年拉奥与克拉默把它写成有限样本上的下界→雷达测距、定位与各种传感器能准到哪一步，统计推断里先算的就是这条界
- 费希尔1925：总平方和拆成处理、区组与误差；小区要靠抽签来排→随机化与区组从田间试验搬进了医院，成了随机对照试验的规矩→今天网站与应用上线新功能前做的 A/B 测试，用的是同一套道理
- 费希尔1935：八杯茶，零假设，全挑对的机会是 1/70→显著性检验与 p 值进了每一门实验科学的论文→今天每一份数据分析报告里「差别是否显著」那一行，都从这里来
- 费希尔1918：方差可以相加，身高的方差拆成可加、显性与环境几份→数量遗传学与动植物育种据此估算遗传力，决定选哪一头种畜、哪一株种苗→今天全基因组数据分析里「这个性状有几成可以由基因解释」，还是这样算
- 费希尔1920、1922：充分统计量——把一大堆数压成几个数，而一点不丢该有的信息→统计学由此把「数据的约简」当成本分，抽样调查只报几个摘要数就够→今天大数据的流式计算只存均值与平方和这类摘要，靠的就是这一条
- 格拉斯曼1844 §126 与 1862 年那一本：线性无关、基、交换定理、维数公式→1888 年皮亚诺照他的书给「线性系统」写出公理，成了今天向量空间的定义→机器学习里每一个词、每一张图，都被编码成几百维空间里的一个向量
- 闵可夫斯基1896 §40：p 次方和开 p 次方，满足三角不等式→L1、L2 与最大值距离成了一族，统称 Lp→机器学习里的最近邻检索、正则化与稀疏恢复，都在这一族里挑尺子
- 皮亚诺1884：沿每一条直线都是极小，却不是极小→多元函数的极值要看整个邻域，二阶条件写成海森矩阵正定→最优化与机器学习的训练里，判断停在极小还是鞍点，用的仍是这一套
- 豪斯多夫1914：球面去掉可数个点分成三份，面积不能给所有点集→巴拿赫与塔斯基 1924 年的分球；测度论从此只去量可测的集合→概率论只给「事件」配概率，随机过程与统计推断都建在这条限制上
- 拉东1921：平面上四个点，总有两堆的凸包相交→所以直线分不开任意四个点：半平面的 VC 维是 3，n 维里是 n + 1→机器学习理论里估计一个分类器要多少样本，第一步就是这个数
- 埃尔米特1864：e 的负 x 平方次方的逐阶导数给出一族正交多项式→薛定谔 1926 年解量子谐振子，本征函数正是这一族→高斯–埃尔米特求积：概率密度是钟形时，用它的零点做数值积分最省点
- 丹齐格1947：对偶，每一条约束都有一个影子价格→库恩与塔克 1950 年那篇推广到非线性的情形，凸优化的对偶由此而来→支持向量机在对偶问题上训练，机器学习里的核方法由此而来
- 伊藤清1944：在布朗运动的路径上定义随机积分，被积函数只许取左端点→鞅、随机积分与随机分析成为概率论的主干→随机过程的统计推断、滤波与机器学习里的随机梯度分析，都在这套积分上做
- 贝叶斯1763：出现 p 次、落空 q 次，反推那个概率落在哪儿→拉普拉斯的由果推因，到二十世纪成为一整套统计推断→垃圾邮件过滤、检验结果的阳性预测值、机器学习里的贝叶斯方法
- 贝叶斯1763 附注：一无所知，就是每一个次数都一样可能→先验怎么选：两百多年没停过的争论→A/B 测试里拿均匀分布当起点、按转化次数一路更新的做法
- 贝叶斯1763 附录：普赖斯的彩票与第二条规则的上下界→二项分布尾部面积的近似，以及近似的误差到底有多大→抽样质检里「这批货的次品率有多大可能超过某个数」的算法
- 贝叶斯约 1755 致坎顿的信：仪器有偏差，多测几次也消不掉→系统误差与随机误差分开处理→测量平差与质量控制里先校仪器、再取平均
金钱与风险
保费、年金、期权、风控——凡是要给一件还没发生的事标上价钱，用的都是 1654 年那几封通信里算出来的东西：期望值。
- 婆罗摩笈多财产与债：负负得正→负数被接受为方程的根→坐标轴的负半轴与账户余额
- 奥雷姆《论货币》：钱属于共同体→哥白尼与格雷欣的铸币论→「通货膨胀是一种隐性税」
- 阿尔·卡西把小数与整数写成同一套手续→欧洲另起一次：斯蒂文 1585→今天的小数点：价格、账户余额、实验读数都靠它
- 卡尔达诺《论赌博游戏》：数出全部情形→帕斯卡与费马的通信→保险精算与一切风险定价
- 费马与帕斯卡的通信→概率论的开张→保险精算与一切风险定价
- 帕斯卡分赌本问题与期望值→概率论→保险精算、期权定价与风险控制
- 惠更斯《论赌博中的计算》（1657）→期望值成为概率论的第一块砖→保险定价、期望效用与今天的风险计算
- 雅各布·伯努利从频率反推未知的比例→拉普拉斯的逆概率与《概率的分析理论》→保险精算与统计推断
- 棣莫弗拿 √(npq) 当量偏离的尺子→标准差成了通用的单位→质量控制、A/B 测试与金融风险度量
- 棣莫弗《终身年金》（1725）与那条直线假设→保险精算成为一门算得动的学问→今天的寿险定价与养老金
- 丹尼尔·伯努利1738：一笔钱的好处，与你已有的钱成反比→期望效用成了经济学与决策论的底子→保险定价、分散投资与一切风险评估，都从「不按期望、按效用」出发
- 泊松泊松分布→排队论与随机过程→保险精算、放射性计数、网络流量
- 柯西柯西分布→重尾与鲁棒统计→谱线的洛伦兹线型、金融里的厚尾
- 魏尔斯特拉斯1872 年那条处处没有切线的曲线→「连续就该可微」不再是常识→布朗运动的路径、期权定价里的价格曲线，以及材料科学里的表面粗糙度
- 马尔可夫链加上从分布里抽样本的办法（冯·诺依曼与乌拉姆，1946）→马尔可夫链蒙特卡洛：造一条平稳分布正好是目标分布的链，跑久了取平均→贝叶斯统计、期权与风险定价、保险精算的主力算法
- 波莱尔1921：固定打法总会被人克，出招要先抽签→冯·诺依曼 1928 年证明极小极大定理，博弈论从此成了经济学的一门语言→今天在线广告竞价与频谱拍卖的机制设计、金融市场里做市商的报价，都在算这样的混合策略，也都绕不开对手会不会看穿你的风险
- 勒贝格1908：有一个可积函数压住整列，极限就能搬进积分号→这条引理成了分析里最常用的一步：求导与求期望换次序、傅里叶变换取极限，都先问压不压得住→给期权定价时把参数的导数挪进期望里面、在随机过程上做敏感度分析，用的就是这一步
- 布劳威尔1910：连续地把一块东西映回自己，总有一点不动→纳什 1951 年用它证明有限博弈都有均衡，一般均衡理论接着证明价格存在→拍卖、市场设计与金融里「有没有一组价格能让供求同时出清」，第一步都是一个不动点定理
- 柯尔莫哥洛夫1931：把马尔可夫的链推到连续状态与连续时间，给出前向与后向两条抛物型方程→扩散过程成了可算的东西；伊藤此后把随机微分方程建立起来，期权定价的方程正是这一条的变形→今天的期权、风险计量与金融工程，底下跑的还是这两条方程
- 冯·诺依曼1947 年那封给里奇特迈耶的信：中子扩散不必解方程，跟着一个个粒子随机走就行→中方取中法提供可复现的伪随机数，ENIAC 1948 年跑出第一批结果→今天从金融的风险定价、药物试验的统计推断到渲染引擎的光线追踪，都是同一套办法；马尔可夫链蒙特卡洛是贝叶斯统计的主力
- 冯·诺依曼1928 年极小极大定理：两人零和博弈里，允许掷骰子之后「先亮牌」与「后亮牌」的值相等→1944 年与摩根斯坦把它推到经济学，纳什 1950 年推广到非零和的多人情形→今天的拍卖设计、期权与风险对冲、网络路由的博弈分析，以及机器学习里生成对抗网络的那个「极小极大」，用的都是这条定理
- 汉明浮点尾数的倒数分布是乘除法的不动点→浮点运算的误差统计与规格化次数估计→数值逼近里的误差估计，以及拿首位数字分布去查账户余额与报表上的造假
- 卡尔曼1960：把看不见的量写成状态，让它按一个线性方程随时间走→经济计量学把利率、通货膨胀里看不见的趋势写成状态空间模型→金融里的随机波动率与风险估计，至今用它逐日更新
- 西尔维斯特1884：两种互素的面值，凑不出的金额恰有 (p − 1)(q − 1)/2 个→面值多于两种时，最大凑不出的数没有一般公式，二十世纪成了整数规划里的一道难题→今天设计货币与邮票的面值、自动售货机与取款机的出钞组合，都要问哪些金额凑不出来
- 维纳1923：布朗运动的路径上有了一个测度，几乎每一条都连续→伊藤清 1944 年在它上面定义了随机积分，随机微分方程由此立起来→期权定价的布莱克–斯科尔斯模型与金融里的风险计算，都建在这个测度上
- 伊藤清1944 与 1951：伊藤公式，多出二阶导数的一半→1973 年布莱克、斯科尔斯与默顿推出期权定价方程→今天交易所里的期权报价、银行的风险计量与对冲，底下跑的都是这条方程
- 伊藤清欧拉–丸山折线：随机微分方程的数值解→蒙特卡洛模拟成了金融、物理与工程里计算随机系统的标准办法→期权的风险模拟、分子动力学里的朗之万方程、人口模型里的随机波动，都这样逐步推
- 伊藤清d(log X) = (μ − σ²/2)dt + σ dB：平均增长与几乎必然的增长不是一回事→投资组合的长期增长率、凯利准则的波动拖累→养老金与资产配置里讲「波动会吃掉收益」，算的就是这个 −σ²/2 的风险
图形、游戏与三维
屏幕上每一次转身、每一帧物理，用的都是十九世纪的数学：姿态存成四个数是 1843 年的发明，物理引擎不让能量漏掉靠的是 1835 年的相空间。
- 埃拉托色尼比例规：推板子夹出两个比例中项→按体积缩放：体积加倍，每条棱乘 2 的立方根→游戏引擎与计算机图形里的等比缩放——体积与边长的换算
- 海伦海伦公式→婆罗摩笈多：圆内接四边形的面积→计算几何与数值稳定的写法
- 塔比·伊本·库拉半轴 a、b 的椭圆等于半径 √(ab) 的圆，以及保面积的变换→仿射变换下面积按定比缩放，成为线性代数里行列式的几何意义→计算几何与计算机图形里，一个矩阵把面积放大多少倍就看它
- 贾宪开方作法本源：那一行就是开方要摆的廉→商每定一位，就把系数换成以新商为准的——多项式挪一次原点→曲线求交与细分：一条贝塞尔曲线一分为二，做的正是同一件事，计算几何里到处是它
- 贾宪增乘方求廉法：只用加法造出一整行系数→逐差造表——一张表从上一张表加出来→巴贝奇的差分机，以及计算机图形里的增量求值：光栅化一条线只用加法
- 李冶1248：一座城、一张图、十五个相似的句股形，识别杂记数百条→三角形的内切圆、旁切圆与各种边长关系，后来归入初等几何→计算几何里判别点、线、圆的位置关系，机器人路径规划要反复求切线
- 纳西尔丁·图西极三角形：知三角求三边→角盈就是面积→计算几何里的球面多边形面积、地图上的经纬度格网
- 秦九韶海伦公式→三斜求积术：只用三条边，全程整数乘减→计算几何里的面积公式与数值稳定的写法
- 秦九韶刘徽的重差测望→遥度圆城：把一次「正好看见」化成一个方程→今天的几何约束求解，以及游戏引擎里那一句「它看得见你吗」
- 朱世杰1303：句三股四弦五黄方二，四项自乘十六段→多元多项式的乘法：每一项乘遍另一式的每一项，再按次数归位→计算机图形里贝塞尔曲面的求值与细分，底下都是多项式求值
- 马德哈瓦正弦与余弦的幂级数→用多项式代替查表→今天的信号处理与三维旋转，每一步都要现算 sin
- 兀鲁伯十天一行的行星表→把一段的总行度摊成逐日的等差，还附一条验算→关键帧之间怎么补：今天游戏引擎里的补间与轨道递推
- 塔尔塔利亚1537 年：45° 射程最远，一低一高两个仰角打中同一点→伽利略 1638 年《两门新科学》：真空里的抛物线→今天游戏引擎与物理引擎里抛出去的每一颗弹
- 笛卡尔把几何画进坐标→函数图像→今天的每一张数据图与每一帧计算机图形
- 帕斯卡神秘六边形→射影几何与对偶原理→计算机图形学里的射影变换
- 雅各布·伯努利等周问题：在无穷多条曲线里挑一条→欧拉与拉格朗日把它改写成分析→最优控制与路径规划
- 兰伯特《光度学》1760：把「亮」变成可以量的量，并推出余弦定律→照明工程整个建在它上面，亮度的一个单位就叫「朗伯」→今天计算机图形里的漫射面就叫朗伯面，每一帧画面里最基础的那一行着色代码算的正是他那条余弦
- 拉格朗日广义坐标与拉格朗日方程→多体动力学与机器人学→机械臂、物理引擎里的每一根关节
- 蒙日1781、1795：曲面上两族处处正交的曲率线→迪潘、高斯的曲面论，微分几何从这里起步→今天计算机图形里给曲面布网格、汽车与建筑的曲面设计，常顺着曲率线走
- 蒙日1799：平面上的难题跳到空间里，换一个投影方向去看→学生彭赛列由投影的看法走到射影几何→射影几何的齐次坐标，今天是计算机图形与游戏引擎里每一次透视投影的底子
- 泊松泊松方程→位势论与偏微分方程→场的仿真、器件设计与计算机图形
- 哈密顿四元数→三维旋转与 slerp 插值→游戏引擎、动画与航天器的姿态控制
- 哈密顿相空间的辛结构→辛积分器→游戏物理引擎与长期轨道计算
- 哈密顿二十面体游戏与哈密顿回路→NP 完全问题→路径规划与旅行商问题
- 刘维尔1838：跟着方程走的一团状态，面积只随 ∂P/∂x′ 变→推广到一般的力学系统，成了统计力学里的刘维尔定理：相空间的体积守恒→游戏物理引擎与长期轨道计算用辛积分器，就是为了在离散的步子里也守住这一条
- 若尔当1887：一条自己不相交的闭曲线把平面分成内外两块，而判内外只要数一条射线穿过几次→平面拓扑与计算几何由此有了最底下的那块砖；射线奇偶法成了 point-in-polygon 的标准写法→今天每一个图形库、每一个地图与地理信息系统判「这一点在不在这个区域里」，跑的都是这一段代码
- 若尔当1870：《置换论》把伽罗瓦散落的手稿讲成了一门课，六百多页→克莱因与索菲斯·李 1870 年在巴黎一起读的就是这部书，此后一个做离散群下的几何、一个做连续变换群→对称群今天是晶体学、粒子物理与计算机图形里的通用语言——从二维码的纠错到分子结构的分类都要用它
- 克莱因一块方布换一种缝法→不可定向的闭曲面→曲面分类定理：今天计算机图形里的网格与纹理坐标
- 柯瓦列夫斯卡娅1888 年找到刚体转动的第三个可积情形→陀螺的运动第一次被完整写出来，可积与不可积之间有了分界→三维旋转与姿态控制：卫星定向、无人机稳定、游戏引擎里的刚体
- 李雅普诺夫第 24 节：第一近似什么时候算数，什么时候不算数→非线性系统在工作点附近线性化，再核一遍临界情形→火箭的姿态控制、卫星的轨道保持与深空探测的制导，落地的第一步都是这一条判据
- 布劳威尔1912：偶数维的球梳不平→庞加莱–霍普夫定理：奇点的指数加起来等于欧拉示性数→天气预报里的风场总有一处静风，计算机图形在球面上铺方向场时奇点也只能挪、不能消
- 布劳威尔1911：单纯逼近，把连续映射换成一张三角网→同调、上同调与整个代数拓扑→计算几何与拓扑数据分析：用三角剖分数一团点云有几个洞
- 巴拿赫1922：同一篇里的积分方程，解写成一个逐项衰减的级数→光在墙面之间来回反弹，每弹一次打一个折扣——渲染方程按弹射次数展开→计算机图形与游戏引擎里的全局光照：多弹几次就收敛
- 卡尔曼1959–1960：能控与能观成了系统本身的性质，判据是一个矩阵的秩→状态反馈能把特征值放到任何地方，当且仅当系统能控——控制设计从此有了存在性定理→航天器与无人机的姿态控制、火箭的推力矢量控制，设计的第一步都是验这两个秩
- 西尔维斯特1893：有限个点不全共线，必有一条连线只过两点→1944 年加莱给出证明，此后「只过两点的线有多少条」成了组合几何的一整条研究线→今天的计算几何与计算机图形里，判定共线、找退化情形是每一个几何算法都要先处理的事
- 凯莱1858：一方块数被当成一个量，可以相加、相乘，只是乘法不能随便交换→1925 年玻恩认出海森伯那套乘法不交换的数表正是矩阵，量子力学的矩阵力学从此成形→今天计算机图形里每个顶点乘一个 4×4 矩阵，机器学习里神经网络的每一层也是一次矩阵乘法
- 格拉斯曼1844：平行四边形是两条带方向的边的乘积，次序一换号就反→嘉当把外积写成微分形式，面积、体积与斯托克斯公式都用它统一写出→计算几何里判断一个点在线的哪一侧、显卡剔除背面的三角形，算的都是这个带号的面积
- 格拉斯曼1844：扩张不限于三维，级数可以一直升上去→克利福德 1878 年把它与哈密顿的四元数合成一种代数，今称几何代数→计算机图形与机器人学里有人用几何代数统一处理旋转、平移与求交
- 闵可夫斯基1903：两个凸形相加，支撑函数相加→两个凸体碰没碰上，等价于它们的差里含不含原点→物理引擎与计算几何里的 GJK 碰撞检测就是这么判的
- 皮亚诺1890：一条连续曲线经过正方形的每一点→希尔伯特 1891 年给出二分再二分的作法与图；「维数」从此非重新定义不可→数据库与地图的空间索引、计算机图形里的纹理与缓存排布，都沿这类曲线把二维坐标压成一维
- 皮亚诺1882：内接多面体的面积可以不收敛到曲面的面积→曲面面积从此要另下定义，不能照搬弧长的办法→计算几何与三维扫描用三角网格估面积时要求三角形不能太扁——否则就是这只灯笼
- 豪斯多夫1914：两个集合之间的距离，取两个方向上最远的那一点→形状比对与点云配准都拿它当误差的度量→医学影像分割与计算机图形里，衡量两条轮廓、两个网格差多少的标准指标之一
- 豪斯多夫1921：各阶差分全不为负的数列，恰好是某个分布的矩→全单调函数与伯恩斯坦多项式的理论→计算机图形里的贝塞尔曲线，用的正是那组伯恩斯坦基函数
- 索菲斯·李1874：一个连续群，由它挨着恒等变换的无穷小变换决定→李群与李代数：指数映射把无穷小的量变成有限的变换→机器人学与游戏引擎里的三维旋转，按指数映射做插值、积分与优化
- 索菲斯·李1874：两个无穷小转动先后一换，差出第三个→转动矢量的微分方程里多出的那一项叉乘，正是这个括号→捷联惯性导航的圆锥补偿：飞机、火箭与手机里的姿态控制都要补这一项
- 索菲斯·李1896：切触变换——变的是点连同过它的方向→哈密顿力学的正则变换与几何光学的波前，都是这一类变换→数控加工的刀具轨迹是零件轮廓的平行曲线：计算几何里的偏置算法
- 拉东1921：n + 2 个点总能分成凸包相交的两堆，赫利定理由此得证→赫利型定理成了凸几何与组合几何的一整支→计算几何与线性规划、最优化里的「组合维数」论证
- 埃尔米特1878：在几个点上连同导数一起插值，余项写成一条围道积分→每点对上值与一阶导数的三次埃尔米特样条→计算机图形与动画在关键帧之间补运动、描字体与路径的曲线段，用的都是它
- 陈省身布拉施克的运动公式推到任意维（先与严志达合作，1966 年推到任意维的子流形）→积分几何与几何概率：随机投放估计面积、周长与曲率积分→计算几何与体视学：从随机切片与随机投针估计体积和表面积
- 李善兰尖锥：x 的 n 次方下的面积是高乘底再除以 n + 1→积分就是把细条叠起来：切得越细，夹得越紧→物理引擎与有限元程序里一步一步做的数值积分
- 达朗贝尔1743：失去的运动在约束上相互抵消→拉格朗日 1788 年的分析力学以它与虚速度原理为出发点→机器人与物理引擎里的多体动力学，每一步都在解这样的约束方程
- 斯托克斯1854：斯托克斯定理（开尔文 1850 年的信里先写下）→麦克斯韦方程组的积分形式：线圈里的感应电动势等于穿过它的磁通变化→电磁场计算，与计算机图形里流体模拟用的离散旋度
航天、导航与天文
从算出一颗行星该在哪里，到手机上那个蓝点——定位这件事，是牛顿、高斯与黎曼合写的。
- 欧多克索斯同心球与马蹄线→本轮与偏心圆→托勒密《天文学大成》
- 阿基米德曲线下的面积→积分学→从火箭轨道到医学影像重建
- 埃拉托色尼日影量地球：一段弧对一个角→一度纬度合地上多少里——一行、马蒙的测量者、斯涅尔的三角测量→GPS 与导航所依据的地球椭球：它的大小就是这样一段段量出来的
- 埃拉托色尼已知世界：沿子午线量宽、沿纬线量长→托勒密把「用两个数标一个地方」做到八千个地点→今天每一张地图上的经纬度
- 埃拉托色尼两回归线之距：黄赤交角→太阳在南北回归线之间来回——节气与回归年都由它定→历法与天文：今天的星表与历元仍要写明当时的黄赤交角
- 阿波罗尼奥斯椭圆、抛物线、双曲线→开普勒的椭圆轨道与伽利略的抛物弹道→牛顿《原理》与今天的抛物面天线
- 喜帕恰斯角宿一：8° 变成 6°→回归年与恒星年分开→今天每份星表都要注明历元，如 J2000
- 喜帕恰斯四季长短不一 → 偏心圆→托勒密的均衡点→开普勒的椭圆
- 喜帕恰斯两地看月亮的视差→1838 年贝塞尔量出第一颗恒星的距离→依巴谷卫星与盖亚卫星的视差星表
- 波西多尼乌斯老人星量地球：48 乘 5000→斯特拉波记他偏取 180000 斯塔德→托勒密《地理学》每度只剩九十来公里→哥伦布往西算出的海窄了一半→今天任何一张地图上的经纬度
- 波西多尼乌斯日轮取地球大圆的一万倍→太阳是地球的三十九倍——古代最接近的一个数→喜帕恰斯与托勒密的视差法仍严重偏小→十七世纪金星凌日重测日地距离→今天靠视差定星的距离与天文单位
- 托勒密弦表与半角、和差公式→阿拉伯天文学家把弦换成正弦→今天每一处写下 sin 的地方
- 托勒密均衡点：绕一个空点匀速→开普勒第二定律的极好近似，火星上只差八九角分→面积定律与角动量守恒
- 托勒密《地理学》的经纬度与投影→地球被算小了六分之一→哥伦布往西出海
- 阿耶波多地影是一个锥，月亮走进去就是月食→算食分与食延，不再归给罗睺→今天的星历、掩星预报与深空探测
- 一行开元十二年河南平地上的四张表→北极高一度，地上三百五十一里八十步→今天的大地测量与经纬度：一个坐标先要落到一个椭球上，而椭球的形状仍是靠一段段弧长量出来的
- 塔比·伊本·库拉AB² + BC² = AC·(AE + CD)：勾股定理推广到任意三角形→与余弦定理互为表里，图西整理成解三角形的一套办法→由两边一角求第三边——测量平差、导航与碰撞检测里天天在算
- 塔比·伊本·库拉译出《圆锥曲线论》第五至七卷，希腊原文此后失传→十七世纪欧洲重新读到它，开普勒与牛顿手里的圆锥曲线才有全套性质可用→今天算一条轨道、定一次深空探测的窗口，用的仍是这几卷里的曲线
- 婆什迦罗二世即时行度与 δ(sin θ) = cos θ·δθ→差分与导数的先声→天文历表的插值与导航里的瞬时速度
- 纳西尔丁·图西方向交给绕均衡点匀速的球，远近交给双圆→伊本·沙提尔与哥白尼的行星模型都走这条路→从本轮一直走到开普勒的椭圆
- 纳西尔丁·图西平面正弦定理：两角一边、两边一对角→三角测量布网→测量平差与 GPS 定位里的解三角形
- 纳西尔丁·图西球面直角三角形的六种情形列全→航海与天文里的球面三角→飞行航线与卫星导航里的大圆计算
- 纳西尔丁·图西极三角形：知三角求三边→角盈就是面积→计算几何里的球面多边形面积、地图上的经纬度格网
- 纳西尔丁·图西马拉盖天文台与《伊儿汗历表》→撒马尔罕的两部历表接着它写→星表与历法里的岁差常数
- 朱世杰1303：上差、二差、三差、下差各乘一个垛积数，四位并之→格雷戈里–牛顿前向差分公式，天文历表与数表的插值→数值逼近里的插值多项式：传感器补点、动画补帧、游戏里的平滑移动
- 马德哈瓦反正切级数 arctan x = x − x³/3 + ⋯→换个点展开，收敛快得多→今天导航与图形库里的 arctan，仍是现算一串多项式
- 马德哈瓦二十四项正弦表与球面三角→喀拉拉学派推算日月位置→天文历算里的三角函数表
- 阿尔·卡西为解三角形合成的那条式子→法国课本里的「卡西定理」→测绘、导航与碰撞检测
- 阿尔·卡西撒马尔罕天文台的正弦表→兀鲁伯《苏丹历数表》→十七世纪传进欧洲的星表
- 兀鲁伯自序里点名哪 27 条不是他量的→五百年后逐条回算，这句话站得住→今天的星表都要标明历元与来源：天文数据的可追溯
- 兀鲁伯十天一行的行星表→把一段的总行度摊成逐日的等差，还附一条验算→关键帧之间怎么补：今天游戏引擎里的补间与轨道递推
- 塔尔塔利亚炮手的矩尺：十二个点的四分之一圆→按仰角查射程的射表→火控计算与今天的轨道计算
- 纳皮尔1614：把正弦之间的乘除换成对数的加减→开普勒 1627 年的《鲁道夫星表》用上了它，此后三百年的天文计算与航海定位都靠查对数表→今天的分贝、星等、音阶的半音，都是按比例而不是按差刻的尺子：导航与天文里的对数刻度从这里开始
- 开普勒三条行星定律→牛顿：它们都是平方反比的推论→今天每一次轨道计算与变轨
- 开普勒开普勒方程 M = E − e sin E→从时间反推位置只能迭代→卫星星历与导航芯片里的那个循环
- 开普勒《天文学的光学部分》（1604）→视网膜成像与光照的平方反比→近代光学与眼镜、相机的成像理论
- 惠更斯离心力 v²/r（1659 得出，1673 发表）→牛顿据此算平方反比→今天每一次弯道与轨道的受力计算
- 惠更斯摆钟（1657）→航海经度与天文授时→石英钟与原子钟：把时间做准这条路的起点
- 牛顿《原理》→天体力学→航天轨道计算与深空探测
- 牛顿反射望远镜→现代天文观测→哈勃与韦伯望远镜的血统
- 欧拉七桥问题→图论→地图导航、社交网络与互联网路由
- 兰伯特一个参数 m，把保角投影从墨卡托连到极射赤面→兰伯特正形圆锥与横轴墨卡托被各国测绘采用→今天各国的航图多用前者，UTM 与各国地形图的坐标网格用后者——导航时屏幕上那个点落在哪一格，算的就是它的经纬度
- 兰伯特飞完一段弧的时间只认半长轴、弦长与两条半径之和→反过来用：给定两点与一段时间，反求轨道，这就是兰伯特问题→每一次星际转移、每一次交会对接、每一次空间碎片的轨道确定都要先解它——深空探测的发射窗口图就是它的解集
- 拉格朗日等边三角形的两个平衡解→L4、L5 与深空探测的停泊点→木星的特洛伊小行星群、韦布望远镜的位置
- 拉格朗日n+1 个点定一条 n 次多项式→里德—所罗门码与秘密共享→二维码与硬盘上的纠错、GPS 星历的插值
- 勒让德最小二乘：让误差的平方和最小，1805 年第一次印出来→高斯给出概率解释与正规方程的解法，成为大地测量的标准算法→今天每一次 GPS 定位、每一次测量平差、每一次回归拟合，解的都是同一组正规方程
- 勒让德把带四次根式的积分全归到三类标准形，并造出十二位的表→阿贝尔与雅可比把它倒过来，长成椭圆函数与双周期→从磁场线圈的电感到卫星轨道的摄动，工程上算到最后还是他那三类
- 勒让德为算椭球的引力引进勒让德多项式→球谐函数成为分离变量法的标准零件，高斯又拿它的零点做出数值积分的求积公式→氢原子的轨道形状、地球重力场模型与全球气候的数值模拟，用的都是这一族函数
- 高斯曲面论→黎曼几何→广义相对论与 GPS 时空修正
- 罗巴切夫斯基关掉第五公设，剩下的仍是一个说得通的世界→空间的几何成了一件要靠测量决定的事→广义相对论：弯曲时空是今天物理的语言，GPS 的时间修正每天都在用它
- 罗巴切夫斯基拿天狼星的视差给曲率定下界→几何第一次被交给望远镜→视差测距与今天的天体测量：Gaia 把这个精度推到了二十微角秒
- 哈密顿相空间的辛结构→辛积分器→游戏物理引擎与长期轨道计算
- 刘维尔1838：跟着方程走的一团状态，面积只随 ∂P/∂x′ 变→推广到一般的力学系统，成了统计力学里的刘维尔定理：相空间的体积守恒→游戏物理引擎与长期轨道计算用辛积分器，就是为了在离散的步子里也守住这一条
- 黎曼黎曼几何→广义相对论→GPS 定位与引力波天文学
- 贝尔特拉米1865 年那条否定定理：能把测地线画成直线的曲面，只有曲率处处相同的那些→球的中心投影因此成了唯一的一张「最短线即直线」的地图——航海上的大圆海图→今天的导航要在扁的地球上算最短航线，这条捷径就不再精确：同一张图上 9000 公里的测地线会偏出 6 公里，必须改用椭球上的测地线解算
- 柯瓦列夫斯卡娅不假定截面是椭圆，把边界摊成傅里叶级数逐阶算→旋转流体的平衡形状有了可以一阶一阶逼近的算法→行星环与吸积盘的形状：深空探测传回来的天文图像要对着这类模型读
- 龙格1895：把求积的公式搬到微分方程上，先用欧拉走半步把中点猜出来→1901 库塔把它推到四阶：一步算四个函数值，误差是步长的四次方→今天每一个轨道推进器、每一个电路与多体仿真器里跑的都是这一步——深空探测的定轨、火箭的弹道积分，用的还是这条一百多年没换过的式子
- 龙格1887 起的十四年：与凯泽、帕邢逐条量元素的谱线波长，把它们排成有规律的线系→这批数据成了原子结构的第一批约束条件→光谱学此后一直是天文与材料科学认物质的主要办法——望远镜看见的一切成分，都是从谱线读出来的
- 李雅普诺夫第 24 节：第一近似什么时候算数，什么时候不算数→非线性系统在工作点附近线性化，再核一遍临界情形→火箭的姿态控制、卫星的轨道保持与深空探测的制导，落地的第一步都是这一条判据
- 李雅普诺夫1884 年起：旋转液体的平衡形状与它们稳不稳→分叉点、形状分支与稳定性交换→恒星与行星的形状、双星的分裂与吸积盘的演化，天文上这一支从他与庞加莱这里起步
- 阿达马1898：负曲率曲面上的测地线，初始方向差一点就走到完全不同的地方→把轨道编成一串符号：符号动力学最早的例子之一→天气预报能报多少天、非线性系统的数值模拟能信多久——混沌这一支最早的样本就在这里
- 柯尔莫哥洛夫1954：可积系统加一个小扰动，除去一块测度任意小的集合，不变环面仍然在→阿诺尔德与莫泽此后补完，成了 KAM 理论；哪些运动长期留得住，第一次有了判据→太阳系的长期稳定性、深空探测的低能转移轨道、粒子加速器里束流能存多久，问的都是这件事
- 庞特里亚金1956：控制受不等式约束时，最优控制让一个函数 H 每一刻取最大值→最短时间与最省燃料的推力程序由此写成两点边值问题，打靶法把它算出来→运载火箭的上升段轨道、卫星变轨与月面着陆的最优控制，第一步都是写出这个 H
- 汉明把码字放进 n 维立方体、用最小距离量纠错能力→线性分组码、循环码、BCH 与里德–所罗门码→二维码、光盘、深空探测与 5G 的信道编码都从这套语言开始讲
- 汉明球堆积界与完美码→戈莱码与完美码的分类→旅行者号靠戈莱码把木星的照片发回来，深空探测至今用它；而球堆积与格一路通到今天的格密码学
- 香农有噪信道编码定理→汉明码、里德–所罗门码、Turbo 码与 LDPC→深空探测、硬盘、二维码与 5G 都贴着容量在跑
- 卡尔曼1960：每来一个读数只改一次估计，协方差跟着递推，旧读数不必存→艾姆斯把它线性化成扩展形式，麻省理工做成平方根形式，装进了阿波罗的导航计算→今天每一台 GPS 接收机、每一套惯性导航与传感器融合都在跑它
- 闵可夫斯基1908：空间与时间合成一个四维时空，钟走过的是自己那条世界线的固有时→爱因斯坦 1915 年的广义相对论写在这张四维时空上，只是让它弯了→GPS 卫星的钟每天要修正几十微秒，其中约 7 微秒来自卫星跑得快
- 皮亚诺1887：逐项积分的级数，给矩阵取一个「模」→矩阵范数与 e 的 At 次方成了线性系统理论的通用工具→自动控制与卫星的轨道递推，每一步都在算一个状态转移矩阵
- 索菲斯·李1874：两个无穷小转动先后一换，差出第三个→转动矢量的微分方程里多出的那一项叉乘，正是这个括号→捷联惯性导航的圆锥补偿：飞机、火箭与手机里的姿态控制都要补这一项
- 丹齐格1951：运输问题的单纯形，顶点解自动是整数→网络流、指派问题；1954 年用线性规划加割平面解出 49 个城市的旅行商问题→物流配送、车辆路径与导航里的路线规划
- 李善兰1859 年与伟烈亚力合译赫歇尔的《谈天》→开普勒的椭圆轨道与哥白尼的日心说头一回有了完整的中文本→今天中文里讲天文、讲轨道的那一整套词
时间与历法
一年不是整数天，一月也不是整数天。历法就是拿分数去追这两个合不拢的数——十九年七闰、33 年 8 闰，都是同一道逼近题的答案。
- 埃拉托色尼两回归线之距：黄赤交角→太阳在南北回归线之间来回——节气与回归年都由它定→历法与天文：今天的星表与历元仍要写明当时的黄赤交角
- 喜帕恰斯角宿一：8° 变成 6°→回归年与恒星年分开→今天每份星表都要注明历元，如 J2000
- 祖冲之虞喜发现岁差→大明历第一次把岁差写进历法→此后中国历法一直分算回归年与恒星年
- 祖冲之十九年七闰→三百九十一年一百四十四闰→反推出的朔望月与今测只差 0.2 秒
- 阿耶波多一劫里地球自转 1582237500 次→折出的一日长 23 时 56 分 4.101 秒→今天由原子钟守着的世界时与闰秒
- 一行通法三千四十：一个分母同时逼近朔望月与回归年→分母定死，分子只能取最接近的整数→今天的历法与置闰：公历的闰法、农历的朔望月，仍是同一道有理逼近题
- 沈括会圆术：由弦与矢求弧→郭守敬《授时历》的弧矢割圆术：把黄道度换成赤道度→授时历用了三百多年（明代的大统历沿用其法）——历法推步里的球面三角
- 沈括十二气历：以节气定月，永无闰余→1887 年黄遵宪拿它回应「专尚西法者」→今天的公历也是纯阳历——历法只管回归年，不管朔望月
- 奥马尔·海亚姆33 年 8 闰的贾拉利历→比格里历早五百年，还准一点→今天伊朗的官历
- 纳西尔丁·图西马拉盖天文台与《伊儿汗历表》→撒马尔罕的两部历表接着它写→星表与历法里的岁差常数
- 兀鲁伯自序里点名哪 27 条不是他量的→五百年后逐条回算，这句话站得住→今天的星表都要标明历元与来源：天文数据的可追溯
- 兀鲁伯回归年 365 日 5 时 49 分 15 秒→与今算差 27 秒，三千一百年才积成一日→历法里的回归年与置闰
- 惠更斯摆钟（1657）→航海经度与天文授时→石英钟与原子钟：把时间做准这条路的起点
- 狄利克雷抽屉原理与丢番图逼近→无理数被分数逼到 1/q² 以内→采样与混叠、齿轮与闰年，以及算法里估计哈希碰撞的那一步
工程与制造
船为什么浮着、桥为什么不塌、电机为什么不失控——每一样都要先有一套能算的数学。
- 阿基米德浮力与杠杆→静力学→船舶、桥梁、潜艇与起重机械
- 波西多尼乌斯加的斯的潮水跟着月亮走→潮有日、月、年三个周期→牛顿的引潮力与大潮小潮→调和分析与潮汐表→今天港口的潮汐预报与船舶进出的窗口
- 海伦绕山的直角折线→把位移拆成两个分量求和→坐标与今天的测量平差
- 一行戴日之北每度晷数：按天顶距逐度给值→阿拉伯与欧洲各自造出正切表与影表→今天的工程测量与测量平差：一台全站仪读出的每一个高差，底下都是这条正切
- 塔比·伊本·库拉AB² + BC² = AC·(AE + CD)：勾股定理推广到任意三角形→与余弦定理互为表里，图西整理成解三角形的一套办法→由两边一角求第三边——测量平差、导航与碰撞检测里天天在算
- 塔比·伊本·库拉《秤之书》：把秤杆自己的重量算进力矩→杰拉德的拉丁译本传进欧洲，中世纪的重量科学由此起步→起重、桥梁与机器人手臂的静力学，算的还是这一笔
- 卡拉吉《地下水的开发》里的水准仪→把几公里的坡稳住在 1:1000 上→今天的水准测量与自流供水的市政工程
- 贾宪立成释锁：先备一张现成的表→增乘开方：不备表，边算边把廉生出来→查表还是现算——今天从电路里的三角函数表到器件设计，仍是同一道取舍
- 李冶1248：立天元一为未知数，按题意一步步写出式子，两式相消得方程→韦达、笛卡儿以后的符号代数：设未知数、列方程成了解题的通用办法→今天工程软件里的求解器，先把条件写成方程组，再交给数值求根
- 李冶1248：一座城、一张图、十五个相似的句股形，识别杂记数百条→三角形的内切圆、旁切圆与各种边长关系，后来归入初等几何→计算几何里判别点、线、圆的位置关系，机器人路径规划要反复求切线
- 李冶1259：《益古演段》先列式，再用条段图说明每一项是哪一块面积→代数恒等式的几何说明，一直是初学代数的入门路子→测量与土地面积的计算：工程测绘里仍要把一块地切成规则的几块再求积
- 李冶1248：同一问设不同的未知数，列出两条系数全不相像的四次式→消元与变量替换：选对未知数，式子的次数与系数会差很多→最优化与机器人运动学里，参数化选得好不好决定求解器快慢
- 纳西尔丁·图西两个匀速转动合成一条直线往返→哥白尼《天体运行论》第三卷第四章用的是同一个装置→机械工程里的行星齿轮直线机构：圆周运动变直线运动
- 纳西尔丁·图西平面正弦定理：两角一边、两边一对角→三角测量布网→测量平差与 GPS 定位里的解三角形
- 杨辉算筹的逐位乘除→求一、九归、加减代乘除，六百道现成的题→珠算口诀，以及芯片里用移位和加法代替乘法的器件设计
- 朱世杰1303：四个未知数摆进一张筹式，一元一元消去→贝祖、西尔维斯特的结式，十九、二十世纪的消元理论与格罗布纳基→今天的计算机代数系统与机器人运动学求解器，解多元多项式方程组仍靠消元
- 兀鲁伯弧越大，一角分占的弧长越长→半径四十米的子午线大弧，一角分合十一点七毫米→分辨率由基线定：今天的测量与工程仪器
- 塔尔塔利亚1543 年：第一部意大利文《几何原本》→工匠、炮手、测量员不必懂拉丁文也读得到欧几里得→测量、船舶与桥梁工程的几何课本
- 塔尔塔利亚1551 年《艰难的发明》：用浮力把沉船抬起来→阿基米德《论浮体》的意大利话讲解→今天的船舶打捞与潜艇的浮力调节
- 卡尔达诺卡丹悬置与卡丹接头→胡克对等角速传动的分析→汽车传动轴：今天还在转的工程件
- 纳皮尔1615：与布里格斯商定，1 的对数是 0、以 10 为底→1624 年布里格斯印出十四位的常用对数；稍后有人把对数刻在尺子上，成了滑尺→计算器上的 log 键，与工程师三百多年里的滑尺是同一样东西
- 帕斯卡帕斯卡定律与真空实验→流体静力学→液压系统：刹车、千斤顶与工程机械
- 牛顿微积分→分析学→一切工程、物理与经济模型的语言
- 雅各布·伯努利悬链线：链子挂成的形状→把形状翻过来就是拱→桥梁与屋盖结构
- 雅各布·伯努利等周问题：在无穷多条曲线里挑一条→欧拉与拉格朗日把它改写成分析→最优控制与路径规划
- 丹尼尔·伯努利1738：流动的水，流得快的地方压强低→文丘里管与皮托管拿流速与压强互相换算→今天的流量计、喷雾器与飞机的空速管，在工程上天天用这一条
- 兰伯特1758 年把三项方程的根展成级数，比拉格朗日反演早二十二年→欧拉接着做，二百年后这条线上的函数被命名为 Lambert W→带时滞的自动控制系统稳不稳，判据直接写成 W；延迟微分方程、酶动力学、维恩位移与随机图里树的计数也都用它，它已经是每个数值求解器里的内置函数
- 兰伯特《光度学》1760：把「亮」变成可以量的量，并推出余弦定律→照明工程整个建在它上面，亮度的一个单位就叫「朗伯」→今天计算机图形里的漫射面就叫朗伯面，每一帧画面里最基础的那一行着色代码算的正是他那条余弦
- 拉格朗日广义坐标与拉格朗日方程→多体动力学与机器人学→机械臂、物理引擎里的每一根关节
- 蒙日1795：一平一立两个投影，放倒画在一张纸上→十九世纪各国工科学校都教画法几何，三视图成了工程师的共同语言→今天的工程图纸与计算机辅助设计，仍按这一套投影出图
- 蒙日1794：一所拿数学打底、培养工程师的学校→综合理工成了十九世纪各国理工学院的样板→今天的工程教育，仍是「数学与制图打底、再学专业」这个次序
- 拉普拉斯拉普拉斯变换→传递函数与极点分析→自动控制、信号处理、电路设计
- 勒让德最小二乘：让误差的平方和最小，1805 年第一次印出来→高斯给出概率解释与正规方程的解法，成为大地测量的标准算法→今天每一次 GPS 定位、每一次测量平差、每一次回归拟合，解的都是同一组正规方程
- 勒让德把带四次根式的积分全归到三类标准形，并造出十二位的表→阿贝尔与雅可比把它倒过来，长成椭圆函数与双周期→从磁场线圈的电感到卫星轨道的摄动，工程上算到最后还是他那三类
- 泊松泊松方程→位势论与偏微分方程→场的仿真、器件设计与计算机图形
- 柯西柯西积分定理与留数→复变函数论→拉普拉斯变换、Z 变换与极点判稳
- 狄利克雷狄利克雷原理：取能量最小的那个→魏尔斯特拉斯挑出漏洞，希尔伯特用直接方法救回→变分法与有限元：今天桥梁、机翼与芯片散热的数值模拟
- 雅可比函数行列式（1841）→换元积分里那个放大倍数→多元概率密度换元、机器人学的雅可比矩阵与奇异姿态
- 雅可比哈密顿–雅可比方程（1837）→作用–角变量与摄动论→薛定谔方程的写法；最优控制里的 HJB 方程
- 魏尔斯特拉斯1872 年那条处处没有切线的曲线→「连续就该可微」不再是常识→布朗运动的路径、期权定价里的价格曲线，以及材料科学里的表面粗糙度
- 若尔当1870：线性代换化成标准块，对角线上一个特征值、次对角线上再来一个→一个矩阵的全部结构由此一目了然，线性微分方程组的解、矩阵指数与稳定性判据都从它读出来→控制系统的状态空间分析、机器人与飞行器的姿态解算里，它是最先要算的那一步
- 克莱因把希尔伯特请到哥廷根→1898 年拉企业的钱办应用数学研究所→工程数学与今天的产学合作
- 庞加莱位相分析→代数拓扑→大数据、材料科学与宇宙形状研究
- 龙格1887 起的十四年：与凯泽、帕邢逐条量元素的谱线波长，把它们排成有规律的线系→这批数据成了原子结构的第一批约束条件→光谱学此后一直是天文与材料科学认物质的主要办法——望远镜看见的一切成分，都是从谱线读出来的
- 李雅普诺夫1892 年第 16 节的定理 I：找得到一个不增的 V，就不必解方程→1907 年的法译少人问津，直到 1947 年普林斯顿照原样重印，控制论把它捡了起来——线性系统的 V 化成一个矩阵方程→今天每一个反馈回路的稳定性证明都走这一条，自动控制与机器人的教科书第一章就是它——极点判稳也在同一套框架里
- 李雅普诺夫1896 年那条判据：周期系数的二阶方程什么时候不会越涨越大→参数共振与一切随时间起伏的线性系统→从桥梁与船舶的抖动到电路里的滤波器设计，凡是系数会周期变化的工程问题都要先过这一关
- 波莱尔1895：可数个开区间盖住一条线段，就挑得出有限个→二十世纪初，这条性质被抽出来定义「紧」：有限维空间里的有界闭集都有它→有限元与数值优化里「连续函数在有界闭集上取得到最小值」这一步，靠的就是它，工程计算里的误差界都从这里起算
- 关孝和1683：为了消元，把系数排成方阵斜着乘→行列式成为线性代数的基本量，判断一组方程有没有唯一解→今天的线性方程组求解器与电路、结构的工程仿真，第一步都要看系数矩阵是不是奇异的
- 哈代1915 年证明解析函数模的 p 次平均随半径不减、并且是对数凸的→F. 里斯 1923 年把这族函数记作 H^p，以他的名字命名→今天的自动控制把「最坏情况下的放大倍数」写成这块空间里的范数，H∞ 设计是工业界的标准工具；信号处理里的解析信号与希尔伯特变换住的也是这里
- 柯尔莫哥洛夫1931：把马尔可夫的链推到连续状态与连续时间，给出前向与后向两条抛物型方程→扩散过程成了可算的东西；伊藤此后把随机微分方程建立起来，期权定价的方程正是这一条的变形→今天的期权、风险计量与金融工程，底下跑的还是这两条方程
- 柯尔莫哥洛夫1933：有限维分布只要彼此相容，无穷维空间上那个测度就存在——任何一族相容的分布都有一个过程实现它→随机微分方程与滤波理论接着立起来，卡尔曼 1960 年把它写成了矩阵形式→惯导与卫星定位里的传感器融合、工业上的自动控制与最优控制，用的都是这一支
- 巴拿赫1922–1932：完备的赋范空间→偏微分方程的弱解与有限元的收敛理论都立在这块地上→工程上的结构仿真与数值模拟：网格越细，解越靠得住
- 庞特里亚金1956：控制受不等式约束时，最优控制让一个函数 H 每一刻取最大值→最短时间与最省燃料的推力程序由此写成两点边值问题，打靶法把它算出来→运载火箭的上升段轨道、卫星变轨与月面着陆的最优控制，第一步都是写出这个 H
- 庞特里亚金1956–1961：推力只取两个极端、在开关线上换挡的「砰–砰」控制，从原理里推了出来→磁盘磁头寻道、机床与电梯的快速定位，常照这类开关曲线设计→今天工业机器人的最短时间运动规划与自动控制，仍在用这一套开关逻辑
- 庞特里亚金1942：带时滞的特征方程没有主项，就必有无穷多个不稳的根→中立型时滞系统从此有了一条先验的判别：最高阶导数不能只出现在过去→网络拥塞控制、远程操作机器人这类带传输延迟的自动控制回路，设计时要先当心这一类不稳
- 庞特里亚金1942：虚轴上 F 与 G 的零点交替，时滞方程就稳→它成了带时滞系统稳定性分析的基本工具，化工过程与电力系统的工程计算里常用→今天的数字控制系统有采样与计算延迟，判稳用的仍是这一路办法
- 庞特里亚金1952–1961：一群拓扑学家读振动论，每个报告先讲一件仪器→《最优过程的数学理论》四年里有了两种英译本，控制理论从此成了数学的一支→今天的模型预测控制每隔几毫秒解一次最优控制问题，用在汽车、化工与航天器上
- 卡尔曼1960：估计与调节是同一个里卡蒂递推正着走与倒着走→线性二次型最优调节器由此成了标准做法，估计与控制可以分开设计再拼起来→今天飞机自动驾驶、机器人与化工过程的自动控制，大多是这一套的后代
- 西尔维斯特1840：两条方程的系数错开排成一个方阵，它的值为零就有公共根，不必求根→十九世纪的消元理论与二十世纪的计算机代数都从结式出发，求两条曲线的交点先算这个方阵→今天机器人运动学里求关节角、计算机辅助设计里求两张曲面的交线，都要先消去一个未知数
- 凯莱1858：任何方阵都满足它自己的那条方程，高次幂都能降到 n − 1 次以内→1959 年卡尔曼的能控性判据只需要检查到 F 的 n − 1 次，理由正是这条定理→自动控制里的极点配置、线性系统的状态反馈设计，都靠它把无穷多个条件收成有限个
- 维纳1948：把反馈、控制与通信放进同一门学问，起名控制论→反馈与稳定性成了工程、生理学与经济学的共同语言→自动控制与机器人的教科书，第一章讲的就是反馈回路
- 格拉斯曼1844：扩张不限于三维，级数可以一直升上去→克利福德 1878 年把它与哈密顿的四元数合成一种代数，今称几何代数→计算机图形与机器人学里有人用几何代数统一处理旋转、平移与求交
- 皮亚诺1887：逐项积分的级数，给矩阵取一个「模」→矩阵范数与 e 的 At 次方成了线性系统理论的通用工具→自动控制与卫星的轨道递推，每一步都在算一个状态转移矩阵
- 索菲斯·李1874：一个连续群，由它挨着恒等变换的无穷小变换决定→李群与李代数：指数映射把无穷小的量变成有限的变换→机器人学与游戏引擎里的三维旋转，按指数映射做插值、积分与优化
- 洛朗·施瓦茨1945：δ 是作用在试验函数上的泛函，每一个广义函数都能求导→工程里的冲激响应有了严格的意思：一个线性、不随时间变的系统，就是和它的冲激响应做卷积→滤波器、均衡与混响：信号处理与通信里每一个数字滤波器的设计
- 洛朗·施瓦茨1945 与 1950：每一个函数都能在广义函数里求导，偏微分方程可以先求「广义解」→索伯列夫 1930 年代的弱导数被收进同一套语言；有限元法先求一个只满足积分形式的弱解，再证明它其实足够光滑→工程仿真与结构分析里的有限元软件，数值模拟的数学底座
- 伊藤清欧拉–丸山折线：随机微分方程的数值解→蒙特卡洛模拟成了金融、物理与工程里计算随机系统的标准办法→期权的风险模拟、分子动力学里的朗之万方程、人口模型里的随机波动，都这样逐步推
- 贝叶斯约 1755 致坎顿的信：仪器有偏差，多测几次也消不掉→系统误差与随机误差分开处理→测量平差与质量控制里先校仪器、再取平均
- 李善兰《代微积拾级》：函数、微分、积分，天地作变数→同文馆与后来的新式学堂一路沿用这些译名→今天中文的数学课本与工程教材里的每一个「函数」
- 达朗贝尔1743：失去的运动在约束上相互抵消→拉格朗日 1788 年的分析力学以它与虚速度原理为出发点→机器人与物理引擎里的多体动力学，每一步都在解这样的约束方程
- 达朗贝尔1752 / 1768：无粘流体里阻力为零的悖论→粘性方程（纳维、斯托克斯）与普朗特的边界层把阻力找了回来→船舶与飞机的外形设计：阻力要从贴着表面那一薄层里算
- 斯托克斯1851：小球在黏性流体里的阻力 6πμaV→1909–1913 年密立根的油滴实验，靠它量出油滴大小、算出电子电荷→沉降分析与气溶胶测量，材料科学里给颗粒量大小
- 斯托克斯1847：有限振幅的深水波，1880 年补上最高波的 120° 尖角→海浪的非线性理论与波浪统计→船舶与海上平台按「设计波」校核结构
物理与宇宙
物理学家用的语言几乎全是数学家先造好的：广义相对论要黎曼几何，量子场论要格林函数，守恒定律要诺特定理。
- 欧几里得第五公设的两千年→非欧几何→黎曼几何与广义相对论
- 波西多尼乌斯平行线是处处等距的线→辛普利丘与阿加尼斯拿它去证第五公设→萨凯里与兰伯特的四边形→罗巴切夫斯基：等距线不是直线→曲率可以不为零，于是有了广义相对论
- 海伦反射走最短的路→费马：光走最省时间的路→变分原理与整个分析力学
- 托勒密均衡点：绕一个空点匀速→开普勒第二定律的极好近似，火星上只差八九角分→面积定律与角动量守恒
- 卡尔达诺5±√−15→邦贝利的运算法则与欧拉的记号 i→量子力学与信号处理里的复数
- 开普勒第三定律里的那个常数→常数装着中心天体的质量→称量恒星、行星与黑洞的标准办法
- 费马最短时间原理→欧拉与拉格朗日的变分法→最小作用量原理与费曼路径积分
- 惠更斯罗默的二十二分钟→他算出第一个光速数字→光速成为可测的物理常数，最终成为米的定义
- 丹尼尔·伯努利1738：气压是无数小球撞出来的，热是它们跑得更快→克劳修斯、麦克斯韦与玻尔兹曼的气体分子运动论→统计力学：温度就是分子运动的平均能量
- 欧拉多面体公式→拓扑学→从数据分析到宇宙形状的研究
- 拉格朗日δ 演算：在所有函数里挑一个→最小作用量原理→广义相对论与费曼路径积分都写成这个样子
- 勒让德他用量纲的道理证明三角形内角和是两直角，又三十年证不出另一半→罗巴切夫斯基与波尔约干脆把那一半当成新几何的入口→空间是不是平的成了一个要靠测量回答的问题，今天的答案写在宇宙形状的观测里
- 高斯曲面论→黎曼几何→广义相对论与 GPS 时空修正
- 泊松泊松括号→哈密顿力学的代数结构→狄拉克的对易子与量子力学
- 柯西柯西分布→重尾与鲁棒统计→谱线的洛伦兹线型、金融里的厚尾
- 罗巴切夫斯基关掉第五公设，剩下的仍是一个说得通的世界→空间的几何成了一件要靠测量决定的事→广义相对论：弯曲时空是今天物理的语言，GPS 的时间修正每天都在用它
- 罗巴切夫斯基平行角把角度与长度绑在一起→双曲几何里有一个绝对的长度单位→宇宙形状：今天拿微波背景与重子声学振荡去量空间的曲率，问的还是他那个问题
- 格林格林函数→偏微分方程的通用解法→量子场论的传播子与费曼图
- 格林势函数与「potential」这个名字→位势论与调和分析→静电、引力、流体、量子力学的共同语言
- 雅可比哈密顿–雅可比方程（1837）→作用–角变量与摄动论→薛定谔方程的写法；最优控制里的 HJB 方程
- 哈密顿哈密顿量 H 与正则方程→算符与本征值→量子力学
- 刘维尔1837：不均匀的弦也有一串泛音，任意形状都能按它们展开→斯图姆–刘维尔理论成了一切「本征值问题」的原型→薛定谔方程的能级、原子的谱线，都是这类问题的本征值——量子力学用的正是这一套
- 刘维尔1838：跟着方程走的一团状态，面积只随 ∂P/∂x′ 变→推广到一般的力学系统，成了统计力学里的刘维尔定理：相空间的体积守恒→游戏物理引擎与长期轨道计算用辛积分器，就是为了在离散的步子里也守住这一条
- 黎曼黎曼几何→广义相对论→GPS 定位与引力波天文学
- 黎曼黎曼面→复几何→从弦论到密码学的复杂分析
- 戴德金模的和与交满足模律不满足分配律→格论由此起步，三十年后被伯克霍夫与奥雷重新发现→伯克霍夫与冯·诺依曼的量子逻辑：可观测量的格与量子力学的公理
- 贝尔特拉米1864 年的微分参数：把「拉普拉斯算子」改写成只依赖第一基本形式的样子，于是它跟着曲面走、不跟着坐标走→1868 年的专论把它推到任意维，成为流形上的标准算子（今天写作 Δ，冠着拉普拉斯与他两个人的名字）→弯曲空间里的热传导与波动、广义相对论里的场方程计算、以及三维网格上的谱分析与形状匹配，用的都是它
- 贝尔特拉米1868 年伪球面：常负曲率的曲面上，几何恰好是罗巴切夫斯基那一套——非欧几何有了一块摸得着的基底→相容性由此了结：非欧几何若有矛盾，欧氏几何也必有矛盾；而他自己写明，能卷成旋转面的只是其中一条带→弯曲空间从此是可以当真的东西：广义相对论把引力写成时空的曲率，宇宙形状问的也是同一个问题——它是平的、还是负曲率的
- 庞加莱位相分析→代数拓扑→大数据、材料科学与宇宙形状研究
- 庞加莱回归定理→遍历理论→统计力学与随机过程的数学基础
- 龙格1887 起的十四年：与凯泽、帕邢逐条量元素的谱线波长，把它们排成有规律的线系→这批数据成了原子结构的第一批约束条件→光谱学此后一直是天文与材料科学认物质的主要办法——望远镜看见的一切成分，都是从谱线读出来的
- 希尔伯特希尔伯特空间→冯·诺依曼的量子力学公理化→信号处理与机器学习
- 阿达马1893：整函数的阶与亏格，以及 ξ 是零亏格的→黎曼那个乘积第一次站住，显式公式随之成为定理→零点与素数一一对应的这套记账法长成了解析数论的骨架，而零点的间距统计后来与随机矩阵、量子系统的能级对上了号
- 波莱尔1899：发散级数先除以 n!、再积一遍，就有了和→量子场论与量子力学的微扰级数多半是发散的，物理学家用波莱尔求和给它们赋值→今天计算量子电动力学与原子结构的高阶修正，仍要先问一句这条级数波莱尔可和不可和
- 勒贝格1902：可数个区间的覆盖定出外测度，测度为零的集合从此可以放心地忽略→里斯与费舍尔 1907 年证明平方可积函数的空间是完备的——这一步离不开他的积分→量子力学的波函数就住在这个空间里：薛定谔方程的解要在「差一个零测集就算相等」的意义下才说得清
- 哈代1914 年证明 ζ 在临界线上有无穷多个零点，此后一百一十年一路加到十二分之五→零点之间的间距统计，被发现与随机矩阵的本征值间距是同一条分布→今天核能级、量子混沌与素数被同一套统计描述——一条从数论长到物理的通道
- 诺特诺特定理→规范对称与守恒流→标准模型与现代物理
- 拉马努金模仿 θ 函数→调和马斯形式→黑洞熵的计算
- 冯·诺依曼1932 年《量子力学的数学基础》：态是希尔伯特空间里的向量，可观测量是自伴算子，两套量子力学由此合成一套→为处理无穷多自由度，他与默里建立算子代数（今天叫冯·诺依曼代数），并与伯克霍夫提出量子逻辑→今天的量子信息与量子计算就建在这套语言上，密度矩阵仍是描述量子态最基本的工具
- 哥德尔哥德尔宇宙解→闭合类时曲线→广义相对论中的因果结构研究
- 库默尔1846：分圆整数里分解不唯一，他给不在场的素因子一道同余检验→戴德金 1871 年把它改写成理想，整个二十世纪的代数从此以「集合本身就是对象」为写法→今天的后量子密码在分圆环上做加密，快速乘法就是把环按模 q 的单位根拆开再乘
- 库默尔1836：超几何方程的 24 个解，自变量在六种之间换→黎曼 1857 年改看解绕奇点转一圈怎么变，特殊函数有了统一的骨架→量子力学里氢原子的径向波函数是合流超几何函数，今天通称库默尔函数
- 凯莱1858：一方块数被当成一个量，可以相加、相乘，只是乘法不能随便交换→1925 年玻恩认出海森伯那套乘法不交换的数表正是矩阵，量子力学的矩阵力学从此成形→今天计算机图形里每个顶点乘一个 4×4 矩阵，机器学习里神经网络的每一层也是一次矩阵乘法
- 凯莱1854：群的定义不再依赖置换，只看一张乘法表→十九世纪末群论在晶体学里数出 230 种空间群，二十世纪用群给粒子分类→粒子物理的标准模型整个写成一个对称群，量子力学里的守恒量与群的表示一一对应
- 维纳1932：处处不为零的函数，倒数的傅里叶级数也绝对收敛→陶伯定理由此归成一条，素数定理多了一条证法；1941 年盖尔范德把它缩成赋范环里的几行→巴拿赫代数与 C* 代数成了量子力学与量子场论里讲算符与谱的一种标准语言
- 闵可夫斯基1896：对称的凸形体积够大，就一定罩住一个格点→格里最短的向量有多短，有了一个只看体积的上界；1982 年的 LLL 算法去真的把它找出来→抗量子密码学里的格密码（2024 年定为标准的 ML-KEM）押的就是：维数一高，这个最短向量难找
- 闵可夫斯基1908：空间与时间合成一个四维时空，钟走过的是自己那条世界线的固有时→爱因斯坦 1915 年的广义相对论写在这张四维时空上，只是让它弯了→GPS 卫星的钟每天要修正几十微秒，其中约 7 微秒来自卫星跑得快
- 索菲斯·李1870 年代：连续的变换群→诺特 1918：作用量的每一条连续对称，换来一个守恒量→粒子物理的标准模型整个写成一个李群下的规范理论
- 埃尔米特1855：共轭对称的矩阵，特征值全是实数→冯·诺依曼 1932 年把可观测量写成希尔伯特空间上的自伴算子→量子力学里测得出的每一个量都是这样一个算子的本征值，所以一定是实数
- 埃尔米特1864：e 的负 x 平方次方的逐阶导数给出一族正交多项式→薛定谔 1926 年解量子谐振子，本征函数正是这一族→高斯–埃尔米特求积：概率密度是钟形时，用它的零点做数值积分最省点
- 洛朗·施瓦茨1945：Δ(1/r) = −4πδ，任何电荷的势都是它与基本解的卷积→格林函数与基本解成了物理的通用语言：点源的响应一旦求出，任何源都只是一次卷积→量子场论与电磁学里的传播子：物理学家把 δ 与它的导数当日常工具
- 洛朗·施瓦茨1950：速降函数空间 S，傅里叶变换在 S 与 S′ 上是自己到自己→缓增广义函数让 δ、常数、梳子都有傅里叶变换，量子力学里的位置与动量本征态有了着落→量子力学的数学表述与信号处理教科书里的傅里叶变换表
- 陈省身1944：高斯–博内公式推到任意偶数维，曲率的积分等于欧拉示性数→示性类把局部的曲率与整体的拓扑接起来，成了几何与拓扑的共同语言→弦论与量子场论里的拓扑荷、反常，都用这类曲率积分来算
- 陈省身1946：陈类——联络的曲率积出来是整数→1982 年量子霍尔效应里电导的那个整数，一年后被认出就是一个陈数→拓扑绝缘体等拓扑材料的分类，与量子计算里设想的拓扑量子比特
- 陈省身纤维丛上的联络与曲率→1975 年吴大峻与杨振宁把规范场逐条对应到纤维丛的语言→标准模型里的每一种相互作用都是某个丛上的一个联络
- 陈省身1974：陈–西蒙斯形式→1989 年威滕用它写出一个拓扑量子场论，从中读出纽结的琼斯多项式→分数量子霍尔效应的有效理论与拓扑量子计算的方案
- 达朗贝尔1743：失去的运动在约束上相互抵消→拉格朗日 1788 年的分析力学以它与虚速度原理为出发点→机器人与物理引擎里的多体动力学，每一步都在解这样的约束方程
- 斯托克斯1850–1857：拿发散级数做数值计算，以及常数的间断（斯托克斯现象）→渐近分析与 WKB 近似→量子力学里的隧穿与光学里焦散附近的光强
医学与生命
CT 把一圈投影重建成一张断层图，靠的是积分；盖革计数器上跳动的数字，服从的是泊松分布。
- 阿基米德曲线下的面积→积分学→从火箭轨道到医学影像重建
- 斐波那契相邻两项之比趋于黄金分割→连分数与最难逼近的无理数→叶序：发育生物学里的另一种图案
- 纳皮尔1614：一个点的速度与它剩下的路成正比→这就是指数衰减：剩下的量每过相同的时间，按同一个比例缩短→放射性衰变的半衰期、电容放电、药物在血液里的代谢，都是这条运动
- 丹尼尔·伯努利1760：给天花写下一个显式的传染病模型→二十世纪罗斯、克马克与麦肯德里克的传染病动力学→今天比较疫苗与防疫办法的人口模型，都是这一路
- 泊松泊松分布→排队论与随机过程→保险精算、放射性计数、网络流量
- 贝尔特拉米1867 年那个方程：∂f/∂z̄ = μ ∂f/∂z，保角坐标存不存在全看它解不解得出来→|μ| 一致小于 1 时它总有解（莫雷 1938、阿尔福斯与伯斯 1960），拟共形映射与泰希米勒理论由此成立→今天把一片大脑皮层或一张曲面网格摊到平面上而尽量不失真，医学影像里的皮层配准与图形学里的纹理展开，解的还是这个方程
- 若尔当1881：把函数上上下下的摆动加成一个数，有上界就叫有界变差→傅里叶级数的收敛判据从此写成狄利克雷-若尔当判别法；全变差成了度量「一个信号有多毛糙」的标准量→今天的图像去噪与压缩感知里，「全变差最小」是最常用的一条正则化——医学影像与手机拍照的降噪都在用
- 柯瓦列夫斯卡娅她造的那个处处发散的级数→特征方向上的初值问题不适定，解不连续依赖于数据→不适定反问题的正则化：医学影像的重建与去模糊都建在这上面
- 庞加莱三体问题→混沌理论→天气预报、人口模型与非线性科学
- 阿达马1902 与 1923：一个问题要适定，除了存在与唯一，还得解连续地依赖于数据→不适定问题与正则化：数据里一点噪声不许被放大成天上地下→CT 与核磁的图像重建、去模糊、地震反演——每一次医学影像的重建都先要过这一关
- 关孝和1712：把球切成薄片，一片片算面积再加起来→切片求体积成了积分最直观的讲法→今天的 CT 医学影像把人体一层层扫描再叠起来，算器官体积也是逐片相加
- 哈代1908 年那封读者来信：随机交配下，基因型的比例一代之后就不再变→它成了群体遗传学的零假设——真实数据偏离它多少，才是要解释的东西→今天每一份全基因组关联研究开跑前的第一道质量控制，就是逐个位点检验它偏没偏离这个比例；人口模型里的等位基因频率也从这里起算
- 图灵反应扩散与图灵斑图→形态发生的数学模型→发育生物学里的图案形成
- 图基1965：N 个点的傅里叶变换，从 N² 次乘加降到 2N·log₂N 次→频谱分析、数字滤波第一次在机器上算得起，模拟的滤波器组一件件换成了程序→手机里的 4G/5G 解调、MP3 与 JPEG 的编码、医学影像的重建，底下都是这一步信号处理
- 豪斯多夫1918：维数可以是 log 2 / log 3 这样的数→曼德博 1975 年造了「分形」一词，拿它量海岸线、云与血管分叉的粗糙程度→图像处理里用分形维数量纹理，医学影像里用它描述肺与骨组织的复杂程度
- 豪斯多夫1914：两个集合之间的距离，取两个方向上最远的那一点→形状比对与点云配准都拿它当误差的度量→医学影像分割与计算机图形里，衡量两条轮廓、两个网格差多少的标准指标之一
- 拉东1917：平面上所有直线上的积分，定得出函数本身→1963 年科马克重新解出并做了模型实验，1971 年起豪恩斯菲尔德在 EMI 造出了扫描机→CT 扫描：医学影像里每天做的断层重建，1979 年诺贝尔生理学或医学奖
- 拉东1917：空间里用平面积分的那一版，式子只看附近→科马克在诺贝尔演讲里指出，它在核磁共振里用得上→三维成像与医学影像里的重建算法，同一套投影反演换一种几何
- 洛伦茨1963：每一圈的极大值定下一圈的，理想化成帐篷映射→一维映射成了研究混沌最省事的模型：逻辑斯谛映射、倍周期分岔、费根鲍姆常数→用一张简单的图读懂复杂的非线性系统——从电路振荡到人口模型，都这样做第一步
- 伊藤清欧拉–丸山折线：随机微分方程的数值解→蒙特卡洛模拟成了金融、物理与工程里计算随机系统的标准办法→期权的风险模拟、分子动力学里的朗之万方程、人口模型里的随机波动，都这样逐步推
- 达朗贝尔1747：弦的运动方程，通解是一左一右两个行波之和→波动方程成了声、光与电磁波的共同语言→声呐、地震勘探与医学影像：成像算法解的都是它的反问题
天气与复杂系统
天气预报报不准，不是算力不够，而是庞加莱在三体问题里就已经看见的那件事：初值差一点，结果差很远。
- 波西多尼乌斯炎热带不是两回归线之间那一整片→焦干的是回归线下那两条窄带→太阳在回归线上停十七天→日照随纬度与季节的分布→今天天气预报模型里那一项太阳辐射
- 秦九韶天池测雨、圆罂测雨→把量器的形状折算成平地雨深→今天的雨量计：承水口面积一定，水位再折算成毫米
- 勒让德为算椭球的引力引进勒让德多项式→球谐函数成为分离变量法的标准零件，高斯又拿它的零点做出数值积分的求积公式→氢原子的轨道形状、地球重力场模型与全球气候的数值模拟，用的都是这一族函数
- 傅里叶热方程→偏微分方程的一般方法→数学物理与今天的一切数值模拟
- 狄利克雷狄利克雷原理：取能量最小的那个→魏尔斯特拉斯挑出漏洞，希尔伯特用直接方法救回→变分法与有限元：今天桥梁、机翼与芯片散热的数值模拟
- 雅可比椭圆函数 sn、cn、dn（1829）→摆的精确解与椭圆积分 K→今天的数字滤波器设计与非线性振动
- 柯瓦列夫斯卡娅1875 年的法向形式与优级数法→偏微分方程的初值问题头一回有了存在唯一性的地基→数值模拟与天气预报：初值化之前先问「这个面是不是特征面」
- 庞加莱三体问题→混沌理论→天气预报、人口模型与非线性科学
- 龙格1895：拿大步长与小步长的结果是否相符，来定这一步该信到第几位→把这件事自动化，就是嵌入式的误差估计与自适应步长→从天气预报的数值模拟到非线性电路的求解器，能不能在允许的时间里算完，全看这一步走得多大
- 李雅普诺夫第 24 节：第一近似什么时候算数，什么时候不算数→非线性系统在工作点附近线性化，再核一遍临界情形→火箭的姿态控制、卫星的轨道保持与深空探测的制导，落地的第一步都是这一条判据
- 李雅普诺夫第 6 节的特征数：一个解到底涨得多快→今天叫李雅普诺夫指数，符号与他相反→它是判断一个系统混沌不混沌的尺子，天气预报能报多少天、非线性系统的数值模拟能信多久，量的都是这个数
- 阿达马1898：负曲率曲面上的测地线，初始方向差一点就走到完全不同的地方→把轨道编成一串符号：符号动力学最早的例子之一→天气预报能报多少天、非线性系统的数值模拟能信多久——混沌这一支最早的样本就在这里
- 哈代1914 年证明 ζ 在临界线上有无穷多个零点，此后一百一十年一路加到十二分之五→零点之间的间距统计，被发现与随机矩阵的本征值间距是同一条分布→今天核能级、量子混沌与素数被同一套统计描述——一条从数论长到物理的通道
- 布劳威尔1912：偶数维的球梳不平→庞加莱–霍普夫定理：奇点的指数加起来等于欧拉示性数→天气预报里的风场总有一处静风，计算机图形在球面上铺方向场时奇点也只能挪、不能消
- 布劳威尔1912：映射的度——盖住一点的像，正的减去负的→莱夫谢茨不动点公式与非线性分析里的度理论→同伦延拓法：数值求根时从一个解得出的方程连续地走到要解的方程
- 柯尔莫哥洛夫1941：湍流里能量怎样从大涡一级级传到小涡，他用两条相似性假设定下了小尺度那一段的标度→此后每一个湍流模型与大涡模拟都拿它当标尺→天气预报、发动机与飞行器的气动、风洞与数值模拟里，它是最先要对上的那条线
- 冯·诺依曼把一个纯波代进差分格式，看放大因子的模超不超过 1——差分格式稳不稳有了可算的判据→1950 年与查尼、夫约托夫特在 ENIAC 上做出第一批数值天气预报，四次 24 小时预报→今天全世界的天气预报、气候模式与一切计算流体力学的数值模拟，每一个格式上线前都要过这一关
- 巴拿赫1922–1932：完备的赋范空间→偏微分方程的弱解与有限元的收敛理论都立在这块地上→工程上的结构仿真与数值模拟：网格越细，解越靠得住
- 卡尔曼1960：增益的差分方程从零起算，令 t 趋于无穷就是维纳的平稳滤波器→非平稳、多变量、间隔不齐的读数从此都能照同一套处理→天气预报的资料同化用的集合卡尔曼滤波，每天把全球观测揉进数值模式里
- 维纳1924：边界上一点正不正则，看一串容量的级数发散还是收敛→位势论从此有了容量这把尺子；布朗粒子从那一点出发会不会立刻碰上边界，是同一个问题→随机过程里的击中概率、用随机游走数值模拟偏微分方程的办法，都要先照它判边界
- 皮亚诺1886、1890：右边只要连续，解就存在；可解不必唯一→存在与唯一从此分成两件事，唯一要另靠利普希茨那一类条件→数值模拟与求解器在动手之前先要问方程的解是否唯一，否则算出来的只是其中一条
- 洛伦茨1963：三个方程在有界的相空间里不重复地走下去→奇怪吸引子与混沌成为一门学问：从对流槽、激光到心律→天气预报、气候模式与一切非线性系统的数值模拟，都要先问这个系统混沌不混沌
- 洛伦茨1963：印在论文里的两张表，同一个格式重跑，几十圈后分岔→舍入误差不只是误差：同一个程序换一台机器、换一种编译，长时间的结果就不一样→数值模拟的可复现性从此成了专门的问题：同一个模式换一台机器重跑，长时间的结果只能在统计上比
- 洛伦茨1963：每一圈的极大值定下一圈的，理想化成帐篷映射→一维映射成了研究混沌最省事的模型：逻辑斯谛映射、倍周期分岔、费根鲍姆常数→用一张简单的图读懂复杂的非线性系统——从电路振荡到人口模型，都这样做第一步
- 洛伦茨1969 与 1972：小尺度的误差先长大，再带动大尺度→单一的预报换成一组略有不同的初值一起算：集合预报→今天各大预报中心每天都跑几十个成员的集合天气预报，用它们散开的程度估计这一份预报能信几天
- 洛伦茨1995：36 个格点围成一圈的洛伦茨-96 模型→资料同化与集合卡尔曼滤波的新方法，常常先在这个模型上试→天气预报的业务模式把全球观测揉进初值之前，那套算法多半先在它身上做过数值模拟
- 丹齐格1947：对偶，每一条约束都有一个影子价格→库恩与塔克 1950 年那篇推广到非线性的情形，凸优化的对偶由此而来→支持向量机在对偶问题上训练，机器学习里的核方法由此而来
- 洛朗·施瓦茨1945 与 1950：每一个函数都能在广义函数里求导，偏微分方程可以先求「广义解」→索伯列夫 1930 年代的弱导数被收进同一套语言；有限元法先求一个只满足积分形式的弱解，再证明它其实足够光滑→工程仿真与结构分析里的有限元软件，数值模拟的数学底座
- 斯托克斯1845：黏性流体的运动方程，今天叫纳维–斯托克斯方程→边界层、湍流与雷诺数都从这组方程出发→飞机与火箭的气动设计、天气预报的数值模拟
- 斯托克斯1847：有限振幅的深水波，1880 年补上最高波的 120° 尖角→海浪的非线性理论与波浪统计→船舶与海上平台按「设计波」校核结构
还有一类：它们没有走出数学
这 86 条链的终点不在任何一台机器里，而是变成了数学自己的说法—— 论文的写法、抽象代数的语言、范畴论的框架。它们不出现在你的手机上， 却是上面那些东西得以被想出来的前提。
- 欧多克索斯边与对角线量不到头→第五卷定义五：同比不必公度→实数与戴德金分割
- 欧多克索斯第五卷的比例论→伽利略的运动学与牛顿《原理》都用它写→今天任何一类量都能谈比例
- 欧多克索斯差额压到任意小→阿基米德的球与抛物弓形→刘徽割圆、卡瓦列里、黎曼和与极限
- 欧多克索斯锥体是柱体三分之一→希尔伯特第三问题：拼不出来→微积分第一堂课的上和与下和
- 欧多克索斯《现象》→阿拉托斯的长诗与喜帕恰斯的注→他仅存的原话
- 欧几里得公理化方法→现代数学的写法→每一篇论文的定义—定理—证明
- 阿基米德穷竭法→微积分→一切关于变化与累积的现代科学
- 阿波罗尼奥斯一个双锥切出三条曲线→笛卡尔：三条曲线是同一个二次方程→判别式 B²−4AC 过零点
- 阿波罗尼奥斯「症候」y² = px ∓ (p/d)x²→圆锥曲线的标准方程→今天每一本解析几何教材的第一章
- 阿波罗尼奥斯第五卷的法线与包络→惠更斯的渐屈线与曲率中心→微分几何与曲率
- 阿波罗尼奥斯失传的《相切》→韦达 1600 年用尺规重解→反演几何与笛卡尔圆定理
- 喜帕恰斯弦表：半径 3438 分，每 7½° 一行→托勒密的弦表与阿耶波多的正弦表→三角函数
- 喜帕恰斯103049→施罗德数与加括号的方式→今天的组合计数与树的枚举
- 托勒密托勒密定理→弦的和差公式→三角恒等式与球面三角
- 托勒密本轮叠本轮→圆周运动的叠加＝傅里叶级数→任何闭合曲线都能被画出来——以及「能拟合一切」的警告
- 丢番图《算术》：方程第一次被单独当成对象→阿拉伯代数与花拉子米→韦达用字母写方程：从解一道题到谈一类题
- 丢番图缩略记号 ς、Δ、Κ→韦达的字母代数→今天每一行公式
- 丢番图第二卷第八题→费马写在页边的那行字→1995 年怀尔斯补上证明
- 刘徽牟合方盖→祖暅原理：幂势既同，则积不容异→卡瓦列里原理与用积分求体积
- 帕普斯四线轨迹→笛卡尔《几何学》：把曲线写成方程→解析几何与按方程次数给曲线分类
- 帕普斯两条直线上的六点共线→帕斯卡的神秘六边形与射影几何→希尔伯特：这条定理对应乘法交换律
- 帕普斯蜜蜂与等周问题→等周不等式→1999 年黑尔斯证明蜂巢猜想
- 帕普斯旋转体体积与重心→古尔丁《重心论》→微积分课本里的旋转体一节
- 帕普斯「分析宝库」的书目与提要→韦达、费马、哈雷复原失传的希腊著作→费马的解析几何
- 帕普斯假定要作的已经作成→波利亚《怎样解题》→今天讲解题策略的启发法
- 祖冲之刘徽割圆术→盈朒二限与密率 355/113→九百年后才被马德哈瓦与阿尔·卡西超越
- 祖冲之刘徽的牟合方盖→祖暅原理：幂势既同，则积不容异→卡瓦列里原理与用积分求体积
- 婆罗摩笈多零成为一个可以运算的数→经巴格达与花拉子米西传→今天每一处写下 0 的地方
- 婆罗摩笈多两平方和之积仍是两平方和→婆罗摩笈多—斐波那契恒等式→复数的模可乘与费马两平方和定理
- 婆罗摩笈多x² − 92y² = 1 与合成法→婆什迦罗二世的循环法→连分数与佩尔方程的现代解法
- 花拉子米《还原与对消》与配方法→求根公式与符号代数→今天每一本代数课本
- 花拉子米把印度数字带进阿拉伯世界→斐波那契《计算之书》带进欧洲→全世界通用的 0–9
- 海什木圆镜上的反射点→惠更斯重解：圆与双曲线相交→四次方程；1965 年证明尺规作不出
- 海什木四次方之和与抛物体的 8/15→雅各布·伯努利：任意次方之和与伯努利数→积分 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)
- 海什木(p − 1)! + 1 被 p 整除→华林 1770 年发表、拉格朗日 1771 年证明→威尔逊定理：素数的一条充要条件
- 海什木《光学》的拉丁译本《论视觉》→培根、维特洛、佩卡姆的中世纪光学→开普勒、斯涅尔、费马都直接引过他
- 奥马尔·海亚姆十四类三次方程与圆锥曲线作图→德尔·费罗与《大术》的根式解→伽罗瓦：五次方程为什么不行
- 奥马尔·海亚姆方程的根＝两条曲线的交点→笛卡尔把这句话反过来说：曲线可以写成方程→今天屏幕上的每一条曲线
- 奥马尔·海亚姆海亚姆四边形的三种假设→萨凯里与兰伯特→罗巴切夫斯基、黎曼与非欧几何
- 奥马尔·海亚姆任意次开方要用的那一行系数→海亚姆三角／帕斯卡三角→牛顿的广义二项式定理
- 婆什迦罗二世四个三角形一个小方块→面积可以搬动：剪拼式的证明→无字证明与今天的可视化教学
- 斐波那契《平方数之书》→同余数问题与费马的无穷递降→椭圆曲线上的有理点
- 奥雷姆构形图：时间为底，强度为高→伽利略用同一个三角形证落体定律→笛卡尔的坐标与今天的每一张函数图
- 奥雷姆面积＝路程→牛顿与莱布尼茨：积分是面积，导数是斜率→微积分基本定理
- 奥雷姆调和级数按 2 的幂分组→门戈利与伯努利兄弟的重证→级数收敛的比较判别法
- 奥雷姆不可公度的天体运动→「几乎所有比值都是无理数」→遍历理论与圆周旋转
- 马德哈瓦《尤克提巴沙》逐条给出推导→数学书从口诀变成讲道理→今天每一本教科书里的「证明」二字
- 卡尔达诺三次方程的一般解法→费拉里的四次方程→伽罗瓦：五次方程没有这样的公式
- 韦达根与系数的关系→对称函数与根的置换→拉格朗日与伽罗瓦：方程为什么解不开
- 韦达2/π 的无穷乘积→无穷乘积与无穷级数成为常规工具→沃利斯、欧拉与近代解析学
- 笛卡尔坐标与方程→曲线可以计算→牛顿、莱布尼茨的微积分
- 笛卡尔线段的乘法→任意次多项式合法→脱离图形的抽象代数
- 费马大定理与无穷递降→库默尔的理想数与代数数论→椭圆曲线、模形式与怀尔斯 1995 年的证明
- 帕斯卡算术三角形→组合数与二项式系数→从高尔顿板到正态分布
- 惠更斯摆线是等时曲线（1659）→渐屈线与摆钟的「腮」→微分几何里的渐屈线与渐伸线
- 莱布尼茨d 与 ∫ 的记号→伯努利兄弟与欧拉的分析学→今天每一本微积分教科书
- 雅各布·伯努利对数螺线：转一个角、放大一点，还是它自己→自相似与尺度不变→分形几何与幂律
- 拉格朗日预解式与根的置换→鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦→群论：现代代数的通用语言
- 傅里叶「任何函数都能展开」→狄利克雷条件与现代函数概念→黎曼积分与康托尔的集合论
- 柯西《分析教程》里的极限定义→魏尔斯特拉斯的 ε–δ 与实数的构造→今天每一本数学分析的第一章
- 格林格林定理→斯托克斯定理→微分形式与现代微分几何
- 阿贝尔五次方程不可根式解→伽罗瓦：可解性就是群的结构→抽象代数与现代数学的通用语言
- 阿贝尔阿贝尔引理：根式都是根的有理函数→补上鲁菲尼证明里的缺口→「不可能性证明」成为一类正当的数学结果
- 阿贝尔阿贝尔定理：边界上那一点→幂级数在端点的连续性→阿贝尔求和：发散级数的一种正当赋值
- 阿贝尔可交换就可解→阿贝尔群这个名字→今天每一本代数教材的第一章
- 狄利克雷有理点取 1、无理点取 0→函数与它的表达式分家→今天每一本教材第一章里的函数定义
- 雅可比theta 函数与三重积恒等式→θ₃⁴ 的系数就是四平方和的表法数→解析数论：用分析的恒等式数离散的东西
- 哈密顿三元数乘不出来→放弃交换律→非交换代数：环、除环与矩阵代数
- 伽罗瓦根的置换群→群论→抽象代数与现代数学的通用语言
- 伽罗瓦可解性判据→伽罗瓦对应：域与群一一对应→代数数论与算术几何
- 魏尔斯特拉斯把「无限接近」逐句换成不等式→ε–δ 与实数的构造→今天每一本数学分析的第一章
- 魏尔斯特拉斯按零点造整函数的初等因子→阿达马 1893 年的有限阶因子分解→1896 年素数定理的两份证明
- 切比雪夫π(x) 被夹进两个常数→极限若存在则必为 1→1896 年素数定理
- 切比雪夫4k+3 数起来总比 4k+1 多→利特尔伍德：差值变号无穷多次→素数赛跑与广义黎曼猜想下的密度
- 切比雪夫《论衣服的裁剪》与切比雪夫网→哪些曲面铺得平→碳纤维铺层与三维模型的 UV 展开
- 切比雪夫圣彼得堡的课堂→马尔可夫与李雅普诺夫→马尔可夫链与中心极限定理的严格证明
- 康托尔集合论→数学基础→现代数学通用的语言
- 康托尔超限基数→连续统假设→哥德尔与科恩的独立性证明
- 庞加莱庞加莱猜想→三维流形→佩雷尔曼的世纪证明
- 希尔伯特二十三个问题→二十世纪的研究纲领→至今仍有数题未解
- 希尔伯特不变量基定理→诺特的抽象代数→现代代数几何
- 诺特理想的升链条件→诺特环与交换代数→现代代数几何
- 诺特同调群→代数拓扑→同调代数与范畴论
- 拉马努金分拆数渐近公式→圆法→解析数论与堆垒问题
- 拉马努金τ 函数与同余→模形式→费马大定理的证明路径
- 哥德尔可构造宇宙 L→科恩的力迫法→独立性从一桩意外变成一门技术