Atlas of Mathematics

数学版图

把数学摊开成一张地图，看120位数学家各自把旗帜插在了哪里。从古代的杠杆与穷竭法，到诺特定理与混沌——他们几乎覆盖了数学的全部疆域。

欧多克索斯欧几里得阿基米德埃拉托色尼阿波罗尼奥斯喜帕恰斯波西多尼乌斯海伦托勒密丢番图刘徽帕普斯祖冲之阿耶波多婆罗摩笈多一行花拉子米塔比·伊本·库拉卡拉吉海什木贾宪沈括奥马尔·海亚姆婆什迦罗二世斐波那契李冶纳西尔丁·图西秦九韶杨辉朱世杰奥雷姆马德哈瓦阿尔·卡西兀鲁伯塔尔塔利亚卡尔达诺韦达纳皮尔开普勒笛卡尔费马帕斯卡惠更斯牛顿莱布尼茨雅各布·伯努利棣莫弗丹尼尔·伯努利欧拉兰伯特拉格朗日蒙日拉普拉斯勒让德傅里叶高斯泊松柯西罗巴切夫斯基格林阿贝尔狄利克雷雅可比哈密顿伽罗瓦刘维尔魏尔斯特拉斯布尔切比雪夫黎曼戴德金贝尔特拉米若尔当康托尔克莱因柯瓦列夫斯卡娅庞加莱马尔可夫龙格李雅普诺夫希尔伯特阿达马波莱尔关孝和勒贝格哈代布劳威尔诺特拉马努金柯尔莫哥洛夫冯·诺依曼巴拿赫哥德尔庞特里亚金图灵汉明香农卡尔曼库默尔西尔维斯特凯莱维纳图基费希尔格拉斯曼闵可夫斯基皮亚诺豪斯多夫索菲斯·李拉东埃尔米特洛伦茨丹齐格洛朗·施瓦茨伊藤清贝叶斯陈省身李善兰达朗贝尔斯托克斯

分析

变化、极限与无穷的数学

达朗贝尔弦振动方程与通解（1747，柏林科学院《论文集》）：y = Ψ(t + s) + Γ(t − s)，一左一右两个行波；一般认为是最早写下并解出的偏微分方程之一
达朗贝尔比值判别（1768《数学短论集》第五卷第三十五篇）：二项级数后项与前项之比 μ(m − n + 1)/n，不计正负号须小于 1；√(1 + 200/199) 的级数到第 300 项之后才开始发散
斯托克斯发散级数的数值用法（1850）与斯托克斯现象（1857）：按降幂展开的级数起初收敛、终于发散，只取开头几项，变量越大越准；而级数前面的常数在复平面上越过某几条线时会突然改变
斯托克斯斯托克斯定理（1854 年史密斯奖考卷第 8 题；开尔文 1850 年 7 月 2 日的信里先写下）：旋度穿过曲面的通量等于沿边界的环量
索菲斯·李积分因子（1874《论积分因子》；1891 年讲义定理 8）：X dy − Y dx = 0 允许无穷小变换 ξ、η，则 1/(Xη − Yξ) 是积分因子，一次求积解出方程；齐次方程一类老办法都是特例
拉东由直线上的积分定出函数（1917，萨克森科学院《报告》第 69 卷）：f(P) 由与以 P 为心的一圈圈圆相切的直线上积分的平均 F_P(q) 算出，f(P) = −(1/π)∫ dF_P(q)/q；空间里用平面积分的那一版只用到一点附近
拉东对任意可加集函数的积分（1913 授课资格论文）：把斯蒂尔杰斯积分与勒贝格积分合在一起推广到 n 维，今称拉东测度
洛朗·施瓦茨广义函数（1945 年《格勒诺布尔大学年鉴》第 21 卷，据 1950 年的颁奖词实际印出于 1948；1950–51《广义函数论》）：函数换成「作用在光滑、有界支撑的试验函数上的连续线性泛函」，δ 是原点上的单位质量，每一个都无穷次可导；前有亥维赛、狄拉克的用法与索伯列夫 1935 年的广义解
洛朗·施瓦茨速降函数空间 S（1950 年国际数学家大会《核的理论》等）：傅里叶变换在 S 与它的对偶 S′ 上都是自己到自己，δ 的变换是常数 1，一把狄拉克梳子的变换还是一把梳子
埃尔米特e 是超越数（1873《论指数函数》）：用同一个分母同时逼近 e、e²……的有理式，逼得太紧，e 就不可能满足任何整系数方程；九年后林德曼照此证出 π
埃尔米特带导数的插值（1878 致博尔夏特）：在各点对上函数值与前几阶导数，余项写成一条围道积分；泰勒与拉格朗日是它的两个端点
埃尔米特埃尔米特多项式（1864）：e 的负 x 平方次方的逐阶导数，在整条实轴上正交；一元的那一族拉普拉斯 1810、切比雪夫 1859 已有，多元的两族 U、V 是他的
闵可夫斯基闵可夫斯基不等式（1896《数的几何》第 40 节）：p 次方和开 p 次方满足三角不等式，p > 1 时只在成比例时取等号
巴拿赫压缩映射原理（1920 交、1922 刊）：完备的赋范空间里，把任意两点距离都缩到 M < 1 倍的运算必有不动点，反复代入即得；逐次代入之法前有刘维尔、皮卡
巴拿赫(B) 型空间（1922 / 1932）：向量空间 + 范数 + 完备性三组公理，今称巴拿赫空间；一般认为维纳 1922 年也独立写下过相近的公理
巴拿赫哈恩–巴拿赫延拓定理（1927 哈恩 / 1929 巴拿赫）：不超过一个次可加上界的线性泛函，能延拓到全空间而仍不超过它；每多一个方向可取的值是一个区间
皮亚诺存在定理（1886；1890 推广到方程组）：右边只要连续，解就存在；可解不必唯一——dx/dt = 3·x 的 2/3 次方从 0 出发有一整族解
皮亚诺逐次积分的级数（1887）：线性方程组写成 dx/dt = Rx，给矩阵取模 mod R，第 n 项不超过 mⁿ(t − t₀)ⁿ/n!；常系数时就是 e 的 Rt 次方
皮亚诺极值判据的反例（1884）：(y² − 2px)(y² − 2qx) 沿每条过原点的直线都是极小，原点却不是极小
刘维尔有限形式的积分（1833 宣读、1835 刊）：∫P dx 若是初等函数，只能长成「代数函数 + 常数乘对数」；∫e^(−x²) dx 由此写不成初等函数
丹尼尔·伯努利弦的振动是几种泰勒振动的叠加（1753）：拨在正中，偶数种全都不响；每一种占多少他没有给出，那要等傅里叶 1807 年
刘维尔斯图姆–刘维尔理论（1836–37）：不均匀的弦也有一串泛音，任意函数能按它们展开；换元 dz = √(g/k) dx 给出 √r 约等于 nπ/Z
波莱尔波莱尔求和（1899）：各项除以 n!、再乘 e 的负 t 次方积一遍，处处发散的 1 − 1!x + 2!x² − …… 也有了和；幂级数的和从收敛圆推到一块凸多边形
勒贝格勒贝格积分（1901）：不切定义域、切值域，问函数落在每一层里的那些点一共有多长；有理点取 1、无理点取 0 的函数积分为 0
勒贝格有界的导函数一律可积，积出来就是原函数（1901）：沃尔泰拉 1881 年那个导数有界却不黎曼可积的函数，由此积得回来
勒贝格控制收敛定理（1908）：一列函数被一个可积函数压住，极限就能搬进积分号；1904 年先有整体有界的那一档
若尔当有界变差（1881，原名「振荡有限」）：把函数上上下下的摆动加成一个数；它等价于「两个非减函数之差」，狄利克雷那条收敛条件从此只是它的特例
克莱因模群把上半平面铺成砖，模函数 j 是在这个群下不动的那个量
贝尔特拉米贝尔特拉米方程 ∂f/∂z̄ = μ ∂f/∂z（1867）：一张曲面上有没有保角坐标，全看它解不解得出来
欧多克索斯穷竭法：差额压到任意小，再用双重归谬收口——圆之比等于直径平方之比
切比雪夫最佳一致逼近与交错定理：误差等幅正负交替 n+2 次，就是最好的那一条
库默尔超几何方程的 24 个解（1836）：自变量在 x、1−x、1/x 等六个之间换，发散的级数换一个写法就收敛
库默尔慢级数的夹逼求和（1837）：只加前十项，其余无穷多项夹在两个界之间，1 + 1/2³ + 1/3³ + … 定到十四位
魏尔斯特拉斯处处连续、处处没有导数的函数（1872）：「连续就该可微」不再是常识
魏尔斯特拉斯一致收敛与 M 判别法：柯西那条「连续之和还连续」缺的正是这个词
魏尔斯特拉斯波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理与最大值定理：有界必有收敛子列，闭区间上取得到最值
魏尔斯特拉斯逼近定理（1885）：闭区间上的连续函数都能被多项式一致逼近
魏尔斯特拉斯初等因子与乘积定理（1876）：任给一串跑向无穷的点，总有整函数恰以它们为零点
兰伯特正切的连分数（1767）：弧与半径可通约时切线必不可通约，π 由此不是分数
兰伯特三项方程 x = q + x 的 m 次方的级数解（1758）：拉格朗日反演的先声，后来长成 Lambert W 函数
勒让德椭圆积分归成三类标准形 F、E、Π，再造出十二位的表——让它们像对数一样可以查
勒让德勒让德关系 E·K′ + E′·K − K·K′ = π/2：两个互补的模把四个完全积分锁在半个 π 上
阿基米德把穷竭法推到球、抛物弓形与螺线——微积分的古代先声
刘徽割圆术：「割之又割，以至于不可割」——最早明确说清的极限
海什木《论抛物体的测量》：先证四次方之和，再求绕底边旋转的抛物体，得外接圆柱的 8/15
奥雷姆调和级数发散：按 2 的幂分组，每组不小于 1/2——今天教科书里的证法
奥雷姆构形图：把量的变化画成图形，面积有意义——函数图像的先声
阿耶波多半弦表的差分规则：二阶差分正比于函数自身——正弦的二阶导数等于它的相反数，写成了一条造表口诀
祖冲之盈朒二限：3.1415926 < π < 3.1415927，第一次用上下界框住圆周率
马德哈瓦反正切、正弦、余弦的无穷级数：据转述所载，比欧洲写下同一批式子早两百六七十年
马德哈瓦在截断处补一个修正项：不止算部分和，还回头估计余下那一截有多大
阿尔·卡西先定误差再倒推边数：正 3×2²⁸ 边形把 2π 夹出十六位小数，此后一百七十二年无人超越
韦达2/π 的无穷嵌套根式乘积：数学史上第一个无穷乘积
费马求极大极小与切线的「拟等」法——牛顿说自己就是从这里起步的
牛顿微积分（流数法）与微积分基本定理
牛顿广义二项式定理与无穷级数
雅可比theta 函数与三重积恒等式：指数是平方数的那条级数，等于一串因子连乘
雅可比椭圆函数 sn、cn、dn 与《椭圆函数论新基础》（1829）
莱布尼茨微积分：d 与 ∫ 的记号，以及乘积法则与链式法则
莱布尼茨《新方法》1684：微积分的第一次公开发表
莱布尼茨π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯：漂亮，也慢得没法用
雅各布·伯努利《无穷级数论》：调和级数没有上限，而平方数倒数之和小于 2——分界线就在这两条之间
雅各布·伯努利公开求 1 + 1/4 + 1/9 + … 的准确值；四十六年后欧拉答出 π²/6
雅各布·伯努利复利里的那个极限：他证出它夹在 2.5 与 3 之间，字母 e 是欧拉后来给的
雅各布·伯努利对数螺线：转一个角、按比例放大，得到的还是它自己
雅各布·伯努利幂和公式与那串以他命名的常数：A = 1/6、B = −1/30、C = 1/42、D = −1/30
关孝和取数（1712 年刊）：《括要算法》卷一底行十二格，全、1/2、1/6、空、−1/30……5/66、空，就是伯努利数，一格由前面几格算出
关孝和求定周与求约积（1712 年刊）：三档近似两差相乘、除以两差之差，今称艾特肯 Δ² 加速；π 外推到第十八位，球积一分不差
李善兰尖锥术（1840 年代《方圆阐幽》）：x 的 n 次方叠成的尖锥，积 = 高 × 底 ÷ (n + 1)；方圆之较拆成再乘、四乘、六乘……尖锥，底依次 1/2、1/8、1/16、5/128，得圆周率的级数
李善兰对数探源（1840 年代）：二十层尖锥汎积从最下一层起「以二除之，加入上层」，得 ln 2 = 0.69314713；以五除之得 ln(5/4)，拼成 ln 10
李善兰《代微积拾级》（1859，与伟烈亚力）：中文第一部微积分；天地作变数、甲乙作常数、丄丅作加减、彳禾作微分积分；「凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数」
欧拉《无穷分析引论》——分析学的第一本教科书
欧拉欧拉恒等式与复指数函数
欧拉变分法（与拉格朗日共同奠基）
拉格朗日δ 演算：变分法从几何论证变成纯粹的符号运算——「变分法」这名字是欧拉给他取的
拉格朗日拉格朗日乘数法：带约束的极值——∇f = λ∇g
拉格朗日拉格朗日插值：n+1 个点定一条 n 次多项式，一步写出来，不用解方程组
拉格朗日《解析函数论》：想用幂级数绕开无穷小重建微积分；路没走通，记号 f′(x) 留了下来
开普勒酒桶的极值问题（1615）：极值附近一阶项消失，比费马早二十年
贝叶斯ln z! 那条级数发散（1763 致坎顿的信，1747 年已在稿中）：系数从第五项起变大，而且比 z 的幂增得快，不管 z 多大都不收敛——取到最小项附近就停，才是它的用法
棣莫弗n! 的近似式与那条级数（1730）：常数 √(2π) 由斯特林补上，名字却归了斯特林
柯西极限、连续与收敛的定义：「差可以任意小」，分析第一次站在可检验的地基上
柯西柯西列与完备性：判据里不出现极限本身
柯西收敛半径由最近的奇点定——实轴上的疑问，答案在复平面
柯西「一个发散级数没有和」：无穷级数从此要先问收不收敛
阿贝尔阿贝尔定理：幂级数在收敛半径端点处的连续性
阿贝尔阿贝尔求和：发散级数的一种有定义的赋值
阿贝尔把椭圆积分反过来看：椭圆函数与双周期
傅里叶傅里叶级数：把任何函数拆成正弦与余弦
维纳广义调和分析（1930）：没有傅里叶变换的函数，先求它与自己平移之后的时间平均，再变换这个平均，得到它的谱
维纳维纳引理与陶伯定理（1932）：绝对收敛的傅里叶级数处处不为零，倒数也绝对收敛；一个核的平移张得满 L¹，当且仅当它的傅里叶变换处处不为零
维纳佩利–维纳定理（1934）：模为 Φ、在半直线上为零的函数存在，当且仅当 ∫ |log Φ| / (1 + x²) 有限——因果滤波器的增益不许在一段上为零
维纳狄利克雷问题的正则点判据（1924）：看一圈圈球壳里边界的容量 γ_n，Σ γ_n / λⁿ 发散就正则
傅里叶热方程与偏微分方程的一般解法
傅里叶「任何函数都能拆开」逼出了函数、极限与积分的严格定义
狄利克雷狄利克雷条件：傅里叶级数收敛的第一个严格判据；跳跃处收到左右极限的中点
狄利克雷函数就是那个对应关系，不必是一条式子——反例是他自己举的那个
狄利克雷狄利克雷原理：边界值相同的函数里，能量最小的那个就是解
格林格林函数：先解点源，再叠加
格林势函数与位势论——「势」这个词就是他起的
格林格林定理：边界上的一圈等于内部的一片，斯托克斯定理的前身
拉普拉斯拉普拉斯方程与调和函数：位势论的底座
拉普拉斯拉普拉斯变换：微分方程变成代数方程
泊松泊松方程：把源项加进拉普拉斯方程
泊松泊松括号与哈密顿力学的代数结构
黎曼黎曼面与复分析
戴德金分割：拿全体有理数切一刀来定义实数（1872，与梅雷、海涅、康托尔同时）
柯瓦列夫斯卡娅柯西–柯瓦列夫斯卡娅定理：法向形式的初值问题，解析解存在且唯一（1875）
柯瓦列夫斯卡娅热方程上那个处处发散的级数：「法向」这个前提去不掉（1875）
康托尔三角级数唯一性与导集：集合论的起点
希尔伯特希尔伯特空间：把函数看成无穷维空间里的向量，勾股定理照搬
哈代哈代不等式：取一遍前 n 项平均，p 次方和最多涨 (p/(p−1))^p 倍，而这个常数最好
哈代哈代空间 H^p：解析函数在圆周上模的 p 次平均有界的那一族（1915，名字是 F. 里斯 1923 年起的）
哈代无穷的阶：任意两个对数–指数函数最终一定分得出快慢，不会永远摆荡
庞加莱自守函数理论
李雅普诺夫第二方法（1892 年第 16 节）：找得到一个定的 V、沿轨道的导数与它反号，就不必解方程
李雅普诺夫第一方法与「奇异情形」：行列式方程没有正实部的根、却有实部为零的根时，线性化说不了话
李雅普诺夫特征数（1892 年第 6 节）：x·e^(λt) 由消失转为无界的那个 λ——今天叫李雅普诺夫指数，符号相反
李雅普诺夫正规与不正规的线性方程组：特征数之和等于朗斯基行列式那一条，才算正规
李雅普诺夫周期系数二阶方程的判据（1896）：p ≥ 0 且周期乘积分不超过 4，则一切解有界——那个 4 是紧的
拉马努金嵌套根式与连分数的一批惊人恒等式
拉马努金收敛快到荒谬的圆周率级数（1914）
香农采样定理：带宽有限的波形，每秒两倍于带宽的样本就把它定死了
马尔可夫马尔可夫不等式（1890）：被上下界压住的 n 次多项式，导数最大是 2n²L/(b−a)，取到它的是切比雪夫多项式
马尔可夫矩问题与代数连分数（1884 年博士论文）：由前几个矩把分布函数夹在两条阶梯之间
汉明汉明窗（1958 年见于布莱克曼与图基那部书）：0.54 与 0.46 是 25/46 与 21/46 取两位小数，取它正是为了把第一个旁瓣摁到零
阿达马整函数的阶与亏格（1893）：泰勒系数掉得多快，定住了函数长得多大与零点有多密
阿达马三圆定理（1896）：log M(r) 是 log r 的凸函数——三个同心圆里，中间那个被两边夹住
阿达马阿达马乘积公式：有限阶的整函数按零点分解，只配得上一个次数有界的指数因子
阿达马适定问题（1902）：存在、唯一之外还得连续依赖于数据；位势方程的柯西问题三条里差最后一条
龙格龙格逼近定理（1885）：单值解析函数在整个有效域上写得成一列有理函数之和；补集连通时多项式就够用
龙格龙格现象（1901）：等距节点插值收不收敛，由奇点落不落在一条等位线里定——那条曲线的短轴是长轴的 0.5255 倍
庞特里亚金最大值原理（1956 年先作为假设发表）：控制受 |u| ≤ 1 这类不等式约束时，最优控制每一刻都让 H 取最大——魏尔斯特拉斯的老判据在这里不成立
庞特里亚金拟多项式的零点（1942）：没有主项就必有无穷多个右半平面的根；有主项时，看虚轴上 F、G 的零点是否交替

数论

整数世界的深层规律

闵可夫斯基凸体定理（1896《数的几何》第 30 节）：以格点为中心、处处不凹的物体体积大于 2 的 n 次方，里面就还有别的格点；平面上是「面积超过 4」。1904 年他称之为数的几何的基本定理
闵可夫斯基问号函数 ?(x)（1904 海德堡大会）：底边插中位分数、左边对半分，二次无理数恰好被送到分母不是 2 的幂的有理数上——拉格朗日循环连分数判据的「新的一面」
闵可夫斯基五个平方数之和与整系数二次型（1882 年交巴黎科学院，1883 年得大奖）
西尔维斯特分数的连锁（1880）：真分数每步取最大的单位分数，一定拆得完；贴着下限拆 1 得 2、3、7、43、1807……今称西尔维斯特数列
西尔维斯特两种面值（1882 / 1884）：p、q 互素，凑不出的数恰有 (p − 1)(q − 1)/2 个——k 与 pq − k 配成一对，每对恰有一个凑得出；4 与 7 凑不出 9 个
刘维尔刘维尔数（1844 / 1851）：代数数不能被分数逼得太近，0.110001000…（第 n! 位是 1）逼得比任何次方都近，所以是超越数——已知最早被证明超越的具体的数
埃拉托色尼筛（据尼科马库斯）：奇数排成一行，每个数隔着固定的步子往后点名，从没被点到的是素数——3 到 201 照字面点 144 下，只用素数、从平方起只要 68 下
卡拉吉1³+2³+⋯+n³ =（1+2+⋯+n）²：已知最早带归纳骨架的证明，从 n 退回 n−1
欧几里得素数无穷的构造式证明
勒让德x/(log x − 1.08366)：素数计数的第一条公式，常数是他从四十万以内的素数表里配出来的
勒让德二次互反律：名字是他起的，八个情形里只有三个证得干脆，其余要借一个等差数列里的素数
勒让德三元二次型 ax² + by² + cz² = 0 有没有非零整数解：一条只查同余的判据
切比雪夫π(x) 被夹进 0.92129 与 1.10555 之间——极限若存在，就只能是 1
切比雪夫伯特兰假设：n 与 2n 之间总有素数（伯特兰 1845 年猜，他 1852 年证）
切比雪夫切比雪夫偏差：4k+3 形的素数数起来总比 4k+1 形的多
阿达马ζ 在 σ = 1 上没有零点（1896）：素数定理就卡在这一句上，与德拉瓦莱普桑同年独立证出
阿达马ξ 是零亏格的（1893）：黎曼那个乘积公式第一次站住，显式公式随之成为定理
欧几里得辗转相除法——仍在运行的最古老算法
丢番图丢番图方程：只求整数或有理数解，这条限制自成一门学问
丢番图弦法：从曲线上一个有理点造出更多——椭圆曲线弦切加法的祖宗
海什木余一问题：(p−1)! + 1 被素数 p 整除——七百多年后的威尔逊定理
塔比·伊本·库拉亲和数造数法：3·2ⁿ⁻¹−1、3·2ⁿ−1、9·2²ⁿ⁻¹−1 三个都是素数时，2ⁿpq 与 2ⁿr 互为对方的真约数之和
海什木反过来断言完全数都是欧几里得那种形式，试证未全，欧拉补完偶数的情形
拉格朗日四平方和定理：每个自然数都是四个平方数之和——费马宣称有证明，他补上了
雅可比四平方和的表法数 r₄(n) = 8×(n 的不被 4 整除的因数之和)：拉格朗日证「有」，他数出「有几种」
婆罗摩笈多两平方和之积仍是两平方和——今称婆罗摩笈多—斐波那契恒等式
婆罗摩笈多x² − Ny² = 1 的合成法：佩尔方程在印度早已被系统处理
婆什迦罗二世循环法：把合成法补成一套转到底的程序，解出 x² − 61y² = 1
祖冲之密率 355/113：分母小于 16604 的分数里，与 π 最接近的那一个
沈括隙积术：有空隙的堆垛在刍童体积后补一项 n(d−b)/6，上二下十二共十一层的酒坛是 649 个——垛积术的起点
杨辉三角垛与四隅垛：高阶等差级数求和，n(n+1)(n+2)/6 正是贾宪三角的第四条斜线
朱世杰垛积（1303）：茭草、三角、三角落一、三角撒星、撒星更落一——下一种的第 k 层是上一种前 k 层之和，积依次是 n 取二至取六；术文的开方式即 n(n+1)…(n+p) 的展开
阿耶波多粉碎法：一次不定方程的整数解通法，比秦九韶的大衍求一术早七百四十八年
秦九韶中国剩余定理的完整算法：连环求等把不互素的模化成两两互素
斐波那契《平方数之书》：三个成等差的平方数，公差必被 24 整除
斐波那契斐波那契数列：欧洲最早写下来的递推数列
斐波那契相邻两项之比趋于黄金分割——φ 的连分数全是 1
费马费马小定理：a^(p−1) ≡ 1 (mod p)，今天生成密钥仍在用
李善兰1869 年的「中国定理」：2 的 n 次方减 2 被 n 除尽即判为素数——反过来的费马小定理，错在 341 = 11 × 31；而当年驳它的那张表把 49 印成了例外
费马无穷递降法；大定理与它的 n=4 情形
帕斯卡归纳的两步头一回被说成一种方法本身（《论算术三角形》结论十二）——这样推理的人在他之前已经有了
费马两平方和定理：4k+1 型素数必是两个平方数之和
欧拉证明并推广费马小定理，引入 φ 函数
欧拉巴塞尔问题与 ζ 函数的先声
高斯《算术研究》：同余语言，数论成为系统科学
狄利克雷算术级数里的素数：首项与公差互素，就有无穷多个（1837）
狄利克雷狄利克雷特征与 L 函数——解析数论的第一套工具
狄利克雷抽屉原理与丢番图逼近：|α − p/q| < 1/q² 有无穷多组解
狄利克雷单位定理：代数数域里单位群的秩是 r₁ + r₂ − 1
高斯二次互反律——他自称的「黄金定理」
黎曼ζ 函数、素数定理与黎曼猜想
库默尔理想数（1846）：分圆整数里分解不唯一时，给那个不在场的素因子一道同余检验——把 α 换成模 p 的单位根，余 0 就算它含这个因子
库默尔正则素数（1850）：λ 不整除前 ½(λ−3) 个伯努利数的分子，λ 次的费马方程就没有整数解；100 以内只有 37、59、67 不正则
库默尔进位定理（1852）：C(A+B, A) 里素数 q 的次数，等于 q 进制里做 A + B 时进位的次数
戴德金理想：唯一分解在代数数系里的替身（1871）
戴德金素数的分解型＝极小多项式模 p 的分解型，以及这条定理的反例（1878）
哈代ζ 在临界线上有无穷多个零点（1914）——黎曼提出猜想五十五年后关于那条线的第一个无条件结论
哈代圆法：把「有几种写法」写成单位圆上的积分，按分母把圆切成主弧与次弧（与李特尔伍德）
哈代每个充分大的数都是二十一个四次方之和：G(4) ≤ 21
拉马努金分拆数的渐近公式与圆法（与哈代合作）
拉马努金高度合成数与约数函数的极值
拉马努金τ 函数与拉马努金猜想（德利涅 1974 证明）
拉马努金罗杰斯–拉马努金恒等式
马尔可夫不定二元二次形式的极小（1879–1880）：√(4D/5)、√(D/2)、√(100D/221)……一整条阶梯
马尔可夫马尔可夫数：x² + y² + z² = 3xyz 的正整数解，一棵二叉树上全在这里
马尔可夫马尔可夫谱：最难用分数逼近的那些无理数，连分数展开里只出现 1 和 2

集合论与无穷

把「多少」这件事一直问到底

巴拿赫巴拿赫–塔斯基分球（1924，与塔斯基）：三维里任何两个有界、含内点的集合都有限分解等价，一个球拼得出两个；要用选择公理，块不可测；平面上不成立
皮亚诺ε（今天的 ∈）：1889 年起用，取希腊文「是」的首字母；1890 年那篇写明不能无穷多次套用一条任意的挑选规则
豪斯多夫球面悖论（1914）：球面去掉可数个点后分成 A、B、C，A 与 B、C、B ∪ C 都全等——三维以上无法给所有有界集定出有限可加的体积；要用选择公理
波莱尔有限覆盖定理（1895）：可数个开区间盖住一条闭线段，就挑得出有限个也盖住它——博士论文末尾的一条附注，今称海涅–波莱尔定理
勒贝格外测度与内测度（1902）：可数个区间盖住，取总长的下确界；两者相等才叫可测。全体有理数的测度为 0
勒贝格解析集的起点（1905 / 1917）：他断言波莱尔集的投影仍是波莱尔集，苏斯林指出不对
若尔当若尔当测度（1892）：用边长 r 的方格从内外两头夹，夹得拢才算它有面积；可加性只到有限个，勒贝格 1902 年把它换成可数个
戴德金无穷的正面定义：能与自己的真部分一一对应（1888）
冯·诺依曼序数就是比它小的那些序数所成的集合（1923）——今天 ZF 里序数的标准定义
康托尔实数不可数：第一次证明无穷分大小
希尔伯特希尔伯特旅馆：客满，却还住得下无穷多位新客
康托尔对角线法——一个论证，后来到处都是它的影子
康托尔基数与序数，超限算术
康托尔连续统假设：他没能证明，后来证明了它证不了
哥德尔可构造宇宙 L：连续统假设驳不倒——另一半由科恩补上
布劳威尔直觉主义（1907–1925）：存在要造得出来，排中律不能搬到无穷上；π 里第一次出现 0123456789 的位置定义出一个说不出正负的实数

代数

结构、对称与运算规律本身

达朗贝尔代数基本定理的一个证明（1746《积分学研究》命题二）：只动常数项，从一个实根出发沿途跟着它，走不下去处根取 p + q√−1；高斯 1799 年检讨过它的漏洞，法国至今称这条定理为达朗贝尔定理
索菲斯·李连续变换群（1874《论变换群》）：一个群由它的无穷小变换决定；r 个无穷小变换生成 r 参数群，要两两的括号仍是它们的线性组合——今称李代数（这个名字一般认为是外尔起的，李自己叫无穷小群）
索菲斯·李直线上的变换群（1874）：只含有限个参数的，参数不超过三个，换坐标后就是 (αx + β)/(γx + δ) 这一族或它的子群；平面上的射影群八个参数，其中没有七参数的子群
埃尔米特埃尔米特矩阵（1855 注记）：对称位置上的元素互为共轭时，行列式是实数，特征方程的根全是实数——推广柯西对实对称行列式的定理
埃尔米特置换多项式（1863《论七个字母的函数》）：模 p 的换位写成次数不超过 p − 2 的多项式，各次幂和全 ≡ 0 就是换位；迪克森 1896 推广到有限域
格拉斯曼外积（1844《线性扩张论》§37）：平行四边形是两条带方向的边的乘积，a.b = −b.a，a.a = 0；三条线段的外积是平行六面体
格拉斯曼维数公式（1844 §126）：u + c = a + b——两个系统的级数之和，等于共同系统与最近包容系统的级数之和；平面上两条直线共有「一个点或一个方向」
格拉斯曼线性无关、基与交换定理（1862 年重写本第 20–24 条）：今称斯坦尼茨交换定理的那一条早了五十一年
格拉斯曼用外积解方程组（1844 §45）：两边乘上其余系数的外积，未知数逐个掉出来，x = [c b] / [a b]
格拉斯曼递归定义的算术（1861，与弟弟罗伯特合写）：a + (b + e) = a + b + e，交换律与结合律用归纳法证；皮亚诺 1889 年的证明照它写
若尔当合成因子（1870）：一个群拆到底，拆法不止一条，而那串因子至多差一个次序——商群彼此同构是赫尔德 1889 年补上的
阿达马行列式上界（1893）：|det| 不超过各行长度之积，等号只在行两两正交时成立
阿达马阿达马矩阵：±1 的方阵而行两两正交。阶数必是 4 的倍数（他自己证的），12 阶与 20 阶也是他自己造的；哪些阶存在，至今未知
罗巴切夫斯基根的平方法（1834）：把根一遍遍平方，一次读出全部根，不用初值
冯·诺依曼极小极大定理（1928）：允许混合策略之后，两人零和博弈的两头合在同一个数上
贝尔特拉米奇异值分解（1873）：任何矩阵都是「转一下、拉一下、再转一下」；为什么办得到？数自由度——两个正交代换的自由参数与要抹掉的非对角元恰好一样多
克莱因二十面体的 60 个旋转就是 A₅；1884 年他反过来用它去解五次方程
戴德金「域」这个词与这个概念（1871）；模的和与交满足的模律（1900）
丢番图《算术》：方程第一次被单独当成研究对象
奥雷姆《比例算法》：分数次的比例第一次有了写法与运算规则
拉格朗日预解式与根的置换：不问怎么解方程，问已有的解法为什么行得通
拉格朗日拉格朗日定理：子群的阶整除群的阶——群论最早的一条定理
婆罗摩笈多零的运算法则：零第一次成为一个可以参与加减乘除的数
婆罗摩笈多财产与债：负负得正，负数被接受为方程的根
婆什迦罗二世以零为分母的分数是「无穷量」——婆罗摩笈多那条错处的下一步
丢番图缩略记号 ς、Δ、Κ：在「全用话说」与「用字母写」之间的那一步
花拉子米《还原与对消》：代数成为一门独立学科，algebra 一词的来源
花拉子米配方法与二次方程的几何证明
卡拉吉幂的阶梯两头都不到头：x、x²、x³⋯ 与 1/x、1/x²⋯，代数第一次不必再靠图形立足
卡拉吉多项式像数一样加减乘除，还能开平方——《原本》第十卷由此被改写成算术
贾宪开方作法本源图：七行圈码，逐行标着商除、平方、立方以至五乘方——一张开方的系数表
奥马尔·海亚姆十四类三次方程：逐类用圆锥曲线求根，第一次把三次方程当成一件整事
奥马尔·海亚姆十九种分法只因系数不许为负——那时还没有「移项」这回事
刘徽方程术与直除法：线性方程组的消元法，早高斯一千五百年
杨辉同一块八百六十四步的田换八种问法，列出八个方程——益积、减从、益隅、翻积各配一档
刘徽正负术：世界上最早的负数运算法则
李冶天元术（1248）：立天元一为未知数，列式、寄左、相消得开方式；一竖列算筹就是一条方程，元字注在一次项旁，负数末位斜画一道
李冶《益古演段》（1259）：六十四问先用天元术列式，再用条段图说明式中每一项是图上哪一块面积
朱世杰四元术（1303）：天地人物四元摆进一张十字筹式，互隐通分逐元消去；四象会元消到 4u² − 7u − 686 = 0
塔尔塔利亚三次方程的解法编成一首二十五行的诗（1539）：三段对应三种情形，第三种要借第二种来解
卡尔达诺《大术》：三次方程的一般解法，代数越过了希腊人的二次边界
卡尔达诺四次方程的解法（费拉里做出，收在《大术》里）
卡尔达诺5±√−15：负数的平方根第一次被写在纸上
韦达《分析术引论》：元音表未知量、辅音表已知量——符号代数的开端
韦达韦达定理：根与系数的关系（他只承认正根）
韦达三角解法：不碰虚数解开三次方程的不可约情形
韦达齐次律：同类才能相加——这笔维数的账由笛卡尔勾销
阿贝尔五次以上的一般方程不能用根式解（阿贝尔–鲁菲尼定理）
阿贝尔阿贝尔引理：根式必是根的有理函数——补上鲁菲尼证明里的缺口
阿贝尔可交换就可解；交换群从此叫阿贝尔群
伽罗瓦伽罗瓦理论：方程可解性归结为群的结构
伽罗瓦群与正规子群——抽象代数的起点
伽罗瓦有限域 GF(pⁿ)：纠错码与密码学的地基
笛卡尔线段的乘法：拆掉维数束缚，任意次多项式才合法
笛卡尔符号法则：不解方程就限住正根的个数
莱布尼茨行列式：1693 年致洛必达的信，在欧洲比克拉默早五十七年
关孝和交式斜乘（1683）：为消元把系数排成方阵、左右斜乘分生剋，二三四阶即行列式；五阶那张表照原样展开恒为零
雅可比函数行列式（1841）：一小块面积被放大的倍数，今天叫雅可比行列式
莱布尼茨二进制：只用 0 和 1，1703 年发表时附了六十四卦
棣莫弗棣莫弗公式：乘方是转角相加，开 n 次方就是把圆周等分成 n 份
高斯代数基本定理：每个复系数多项式都有根
诺特《环中的理想论》：升链条件与诺特环
诺特以公理与结构重写代数，抽象代数由此成形
希尔伯特不变量基定理：只证存在、不给构造——「这不是数学，这是神学」
诺特群、环、模的统一语言
哈密顿四元数：第一个放弃交换律的数系
哈密顿把复数定义成一对实数，虚数不再需要解释
布尔逻辑代数：与是乘、非是 1 减，而 x·x = x 只有 0 和 1 两个解
布尔布尔代数即集合代数：交并补与德摩根律是同一套式子的两种读法
卡尔曼能控性判据（1959 年墨西哥城）：rank(G, FG, …, F^(n−1)G) = n，就能在 n 步之内从任何一点开回原点——他自己说「能控性本质上是一个代数概念」
卡尔曼典范分解（1962）：线性系统拆成四块，输入输出只看得见既能控又能观的那一块
卡尔曼最小实现（1963；B. L. Ho 1965 年的算法）：脉冲响应排成的汉克尔矩阵，它的秩就是最少要几个状态，而且那个最小的系统在换基意义下唯一
西尔维斯特消元的方阵（1840）：两条方程的系数错开排成一个方块，它的值为零就有公共根——今称西尔维斯特矩阵，结式本身欧拉、贝祖已在算
西尔维斯特惯性定律（1852）：二次型化成平方和，正项、负项的个数与怎样换变量无关；名字是他起的
凯莱矩阵论（1858）：一方块数当成一个可以相乘的量；任何方阵满足它自己的那条方程（二阶展开、三阶验过，一般情形弗罗贝尼乌斯 1878 年证），二阶方阵因此有四个平方根
凯莱群的抽象定义（1854）：不再依赖置换，一个群就是一张乘法表；六阶的群「有两种，而且只有两种」
凯莱七个虚数单位（1845）：积的模等于模的积，结合律却丢了——格雷夫斯 1843 年圣诞已先找到，他先发表

计算与算法

把「怎么算」本身当成对象

丹齐格单纯形法（1947 年夏）：在线性不等式围成的多面体上，从一个顶点沿棱走到目标更好的相邻顶点，走不动了就是最优；沿棱走的念头傅里叶 1826 年已提过
丹齐格运输问题上的单纯形（1951）：西北角起步、由 u + v = c 算间接运价、挑最贵出最多的那一格进基、沿闭路调运；他自己说准则「凑得出」变弱的例子，1972 年克利与明蒂真凑出来了
丹齐格线性规划的模型（1947 年 7 月）：为美国空军的计划工作，把「按规矩排计划」改成写出一个要最大或最小的线性目标——斯蒂格勒的营养问题 1947 年秋成了第一次大规模试算
洛伦茨逐次极大值映射（1963 第 7 节）：每一圈 Z 的极大值定下一圈的，理想化成帐篷映射 M → 2M 或 2 − 2M；周期序列只有可数多个，而且全都不稳
洛伦茨洛伦茨-96 模型（1995 年欧洲中期天气预报中心讲习班）：36 个格点围成一圈，F = 8 时误差约 2.1 天翻一倍；此后常用来先试资料同化与集合预报的新方法
纳皮尔对数（1614）：一个点匀速走、另一个点速度与剩下的路成正比，前者走过的路是后者剩下那段的对数；成比例的数对数等差，乘除换成加减
纳皮尔造对数表只用减法与移位（1619 年身后刊）：三张表每步减去自己的 1/10⁷、1/10⁵、1/2000 与 1/100；第二张表末项他算作 9995001.222927，该是 .224804，整张表因此小了千万分之 3.7 上下
纳皮尔筹（1617）：十根方柱恰是 0 到 4 里取两个的十种搭配，小于 11111 的数都摆得出；1615 × 365 顺着对角线读 4845、9690、8075，错位相加 589475
纳皮尔位置算术（1617）：棋盘上竖走一格值翻倍、斜走值不变，两边摆上因数、交点落子、两子并一子，19 × 13 与 1206 × 604 = 728424 都这么算
关孝和零约术（1712 年刊）：周率三、径率一起步，小于定周加四、大于加三，径率一行加一，一百一十三行走到 355/113
塔尔塔利亚地的方阵（1546）：每兵左右 3 尺、前后 7 尺，每排人数 = 人数 × 49 ÷ 21 再开方；3600 人得 8400，每排 91 人
若尔当射线奇偶法（1893 年第二版第 99 号写下的那句话）：从负无穷沿一条直线上来，第一个交点进去、第二个出来——今天 point-in-polygon 的标准写法
喜帕恰斯第一张弦表：据复原每 7½° 一行、半径 3438 分，托勒密的表建在它上面
图基快速傅里叶变换（与库利，1965）：N 拆成因子、下标写成几位数，变换从 N² 次乘加降到 2N·log₂N 次；高斯约 1805 年的遗稿里已有同一招
冯·诺依曼存储程序体系结构（1945《EDVAC 报告初稿》）：指令与数值住在同一块存储器里，所以一条指令也改得动
冯·诺依曼中方取中法：平方取中间四位——四位十进制下最好的种子也只走得出 111 个数
柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫复杂度（1965）：一个串的信息量是能印出它的最短程序的长度，换一种编程方法只差一个与对象无关的常数——而这个长度本身算不出来
贝尔特拉米奇异值分解的第一份算法（1873）：解特征方程、定一个正交代换、再定另一个。这条路在机器上会把小的那个奇异值算没，今天走的是另一条
冯·诺依曼冯·诺依曼稳定性分析：代进一个傅里叶模，看放大因子的模超不超过 1（1950 年公开发表的是奥布莱恩等人那一篇）
托勒密弦表：半度一行的三角函数表，三角学从这里开始
兀鲁伯正弦表每一角分一行、给到六十进制第五位：只有 5′ 的倍数是独立算的，中间 4176 行用二次内插补出来
兀鲁伯行星表的逐日内插：把一段的总行度摊成公差 2Δ/(n+1) 的等差，还附一条能当场验算的判据
喜帕恰斯103049：十个命题的组合数，两千一百年后才认出是施罗德数
海伦开平方：x 换成 x 与 a/x 的平均，每一步对的位数翻一倍——牛顿法的特例
海伦《自动装置》：绳子绕在车轴上，动作顺序写在可更换的介质里
雅可比雅可比迭代（1845）：解方程组不必消元，一轮一轮重算就行，各分量互不依赖
雅可比雅可比旋转法（1846）：一对一对地转，把对称矩阵转成对角
龙格把求积公式搬到微分方程上（1895）：中点的 y 还不知道，就先用欧拉走半步猜出来——龙格-库塔由此开始
龙格拿大小两种步长的结果是否相符来定精度（1895 末页）：今天自适应步长的积分器做的仍是这件事
龙格微商变大时就换自变量（1895）：算一滴水的轮廓时，他在 tanφ 快过 1 的地方把 r 换成 z，再换成 cosφ
龙格调和分析的倍长格式（1903、1905）：两段 N 点的变换拼成一段 2N 点的，快速傅里叶变换在二十世纪的那条暗线
花拉子米位值制与逐位照做的算术：algorism，今天的 algorithm
塔比·伊本·库拉抛物线求积把区间切成不相等的份（宽比 1:3:5:…），已知最早一次——今天数值积分选分点的先声
花拉子米《印度数字算术》：印度数字与零经他传入阿拉伯世界，再传入欧洲
斐波那契《计算之书》：位值制与印度—阿拉伯数字进入欧洲的商业实务
斐波那契《花》：三次方程根的逐位逼近，精确到小数点后十位
贾宪增乘开方法：商一位、自下而上扫一遍「乘下法入廉、乘廉入方」，只有乘和加，开几次方都是这一套
贾宪增乘方求廉法：只用加法造出开方要用的那一行系数，n 乘方加 n(n+1)/2 次，一次乘法都没有
贾宪立成释锁：先备一张现成的表，照表开方——近路，可这张表只到五乘方
奥马尔·海亚姆逐位开任意次方：每添一位要扣掉的量，由二项式系数那一行给出
棣莫弗递归级数（1730）：给数列配一个分式，线性递推就有了闭式解——今天叫生成函数
马德哈瓦取 x = 1/√3 而不取 x = 1：同一条级数，二十二项顶得上两千亿项
阿尔·卡西不动点迭代：三等分角的三次方程改写成 x = f(x)，每轮误差乘 1/821，六轮解出 sin 1°
卡拉吉多项式逐项开平方：每一步拿余式的头一项除以已定部分的两倍，与逐位开方同形
阿尔·卡西任意次方根的逐位算法，余下那一截配一条估值公式 a + r/((a+1)ⁿ − aⁿ)
阿尔·卡西十进小数与六十进制并用：一位六十进制抵 1.778 位十进制，九位正好十六位
马德哈瓦二十四项正弦表，每值报到「三」：最大偏差 0.61 三，合一亿分之五
阿耶波多字母记数法：辅音管数值、元音管位数，一个词装得下十位数——位值制在五世纪已在用的硬证据
秦九韶大衍求一术：一次同余方程组的通法，除数不互素也能做
秦九韶正负开方术：高次方程逐位求根，他解到十次
秦九韶增乘即嵌套乘法：n 次多项式求值只要 n 次乘法——今称秦九韶算法
一行不等间距的二次内插：两段不一样长也照补，积回去分毫不差地还原那一气的盈缩分
一行上元积年九千六百九十六万一千七百四十：一组一次同余式解出来的起点
杨辉求一与九归：把乘数折成 1 开头，乘法变成加法——珠算口诀的前身
朱世杰招差术（1303）：上差、二差、三差、下差各乘今招、茭草、三角、三角落一诸积，四位并之——前向差分公式；立方招兵十五日 23400 人
朱世杰明纵横诀与大数小数（1299）：一纵十横摆算筹；名表从净（10 的 −128 次方）到无量数（10 的 128 次方），亿以上沙以下万万进
杨辉损乘：乘 9 就是退一位再减去自己一遍，与今天芯片里的移位加法同一个主意
杨辉《法算取用本末》：一到三百的乘与除逐条列成现成的办法，六百题
婆什迦罗二世《莉拉沃蒂》：算题写成诗，印度此后几百年的算术课本
丢番图第十问题的题面：判定丢番图方程有无整数解——1970 年证明不可能
希尔伯特判定问题：这一问逼出了图灵机，也逼出了「可计算」的定义
哥德尔哥德尔编码：把符号串变成数，系统由此能在内部谈论自己
哥德尔不完备定理：够强的系统里，总有真而不可证的命题
哥德尔递归函数：「机械可算」的第一个精确定义，图灵机与它等价
图灵图灵机：一条纸带、一张规则表——「机械地算」的定义
图灵通用图灵机：机器的描述也是数据，存储程序式计算机的原型
布尔《逻辑的数学分析》（1847）：三段论第一次被写成方程
布尔布尔代数：七十三年后成了开关电路与每一块芯片的语言
图灵停机问题不可判定：希尔伯特判定问题的否定答案
香农信息熵：一条消息值多少位，第一次成了能算的量——比特这个词也出自这篇
香农信源编码定理：压缩的地板正好是熵，今天每一次压缩都在这条线以上
香农有噪信道编码定理：速率低于容量时，错误率可以压到任意接近零
马尔可夫遍历系数（1906）：任取两行算半个绝对差之和，取最大——它一旦小于 1，迭代就一定收敛
沈括棋局都数：十九路 3³⁶¹ 局，一个 173 位数；自乘一次再乘五次就到，19 次方的最短乘法链
沈括运粮：一夫饷一卒十八日、二夫二十六日、三夫三十一日——补给线的递减收益
汉明汉明距离（1950）：两个码字不同的坐标个数，也就是在 n 维立方体上从一个顶点走到另一个要跨几条棱
汉明球堆积界：半径 t 的球两两不交，所以码字个数乘球的大小不超过 2 的 n 次方——等号成立的叫完美码
汉明纠一位加检两位（1950 第 4 节）：添一位总校验位，最小距离从 3 变 4，今天内存里的 ECC 走的就是这一路
汉明浮点尾数的倒数分布（1970）：乘除法把任何分布都推向 1/(x ln b)，它是不动点也是吸引子
蒙日挖方与填方（1781 年卷，1784 年印）：总运费最省时任意两条路线不相交；只准过两座桥时，挖方与填方的分界是以两桥为焦点的同一条双曲线的两支

几何与拓扑

形状、空间与变形下的不变量

陈省身高斯–博内公式的内蕴证明（1944《数学年刊》第 45 卷）：搬到单位切向量组成的丛上，曲率式成了一个外微分；铺一个向量场，斯托克斯公式把积分挤到零点上，指数之和就是欧拉示性数
陈省身陈类（1946《埃尔米特流形的示性类》）：复向量丛上联络的曲率拼成的微分式，上同调类与联络无关、带整系数——曲率积出来是整数
陈省身运动公式推到任意维（与严志达；1966 年推到任意维的子流形）：平面上两块凸形随机相碰的测度是 2π(A₁ + A₂) + L₁L₂
陈省身三织的不变量（1936 年汉堡博士论文）：平面上三族曲线织成的网，沿它走的六边形闭不闭合由织的曲率决定；他推到 r 维叶子在 2r 维空间里的三织
索菲斯·李切触变换（1870–1872；1896 与舍费尔斯《切触变换的几何》）：变换的是线素——点连同过它的方向；伸展把点变成圆、相切仍相切。1870 年夏他那个把直线变成球面的变换，把曲率线变成渐近线
拉东拉东定理（1921《数学年刊》第 83 卷第 114 页）：n 维空间里 n + 2 个点总能分成两堆，两堆的凸包相交——那一点同时是两堆非负质量的重心
拉东赫利定理的第一个刊出的证明（1921）：一族凸体里每 n + 1 个有公共点，全体就有；定理是赫利告诉他的，赫利自己的证明 1923 年才发表
闵可夫斯基闵可夫斯基和与混合体积（1903《体积与表面积》）：两个凸体之和的支撑函数就是两者相加；面积的平方根超加，等周不等式是它的特例（布伦 1887 年先证了截面的那一条）
闵可夫斯基一把尺子就是一个凸形（1896《数的几何》第 1、16–17 节）：满足三角不等式的距离，单位面处处不凹；反之亦然
皮亚诺填满正方形的曲线（1890）：t 的三进制奇数位给 x、偶数位给 y，按规则取补；连续、满射而不是一一的
皮亚诺施瓦茨灯笼（1882 讲义，与施瓦茨各自发现）：内接多面体的面积可以不收敛到曲面面积，塞雷的定义不成立
豪斯多夫拓扑空间的邻域公理（1914《集合论基础》第 213 页）：四条之中的第四条——两个不同的点有不相交的邻域——今称豪斯多夫分离公理
豪斯多夫集合之间的距离（1914，第 293 页）：两个方向上最远的那一点取较大者；他自注定义参看庞培约 1905，今也称庞培约–豪斯多夫距离
豪斯多夫豪斯多夫维数（1918《维数与外测度》）：从卡拉泰奥多里 1914 年的外测度出发，把 p 放开到非整数；康托尔集是 log 2 : log 3 = 0.63093
布劳威尔不动点定理（1910 写成、1912 刊）：n 维单元连续地映到自己，一定有一点不动；一般认为 n = 3 的等价形式波尔 1904 年已有
布劳威尔毛球定理（1912）：偶数维球面上的连续切向量场至少有一个零点；奇数维不然，三维球面沿克利福德平行的大圆就梳得平
布劳威尔维数不变（1911）：m 维与 m+h 维的区域不能一一连续地互相映成；证法是数盖住一点的像单纯形，正的减负的恒为 1
布劳威尔映射的度与单纯逼近（1912）：没有不动点的 n 维球面变换，度必为 (−1) 的 n+1 次方
刘维尔三维里的保角映射只有相似与反演的复合（1850）：平面上每个解析函数都保角，空间里只剩十个参数的一族
埃拉托色尼比例规：几块长方板在轨道间滑动，推到四点共线，两条已知线段之间就夹出两个比例中项——倍立方的器具解；「要几个中项就多放一块板」
勒贝格铺砖定理（1911）：n 维区域用足够小的闭集去盖，总有一点落在 n+1 块里；砌砖的办法恰好做到 n+1
沈括会圆术：弧 ≈ 弦 + 2·矢²/径，由弦与矢求弧长；割到半圆时正好还原周三径一
若尔当若尔当曲线定理（1887）：一条自己不相交的闭曲线把平面分成内外两块。判内外只要数一条射线穿过几次
阿达马负曲率曲面上的测地线（1898）：初始方向差一点就走到别处，把轨道编成一串符号——符号动力学最早的例子之一
兰伯特把锐角假设推到底（1766）：亏量正比于面积，长度有了绝对单位，而矛盾始终没有出现
兰伯特七种地图投影（1772）：兰伯特正形圆锥、横轴墨卡托、等积方位——今天的航图与坐标网格都在用
勒让德角和不能大于两直角：把全等三角形排成一长列，直线终究短过折线（1800，今称萨凯里-勒让德定理）
勒让德《几何学原理》：把《原本》重排简化，十二版以上，当了一百年中学课本
罗巴切夫斯基非欧几何：关掉第五公设，剩下的仍是一个说得通的世界（1829 年第一次作为一门几何印出来）
罗巴切夫斯基平行角 Π(p)：角度与长度被绑在一起，于是这里有一个绝对的长度单位
罗巴切夫斯基亏量就是面积：三角形的面积有上限，而相似三角形不存在
克莱因爱尔兰根纲领：一门几何就是一个变换群，加上它动不了的那些量
克莱因圆盘模型：非欧几何被翻译成关于弦的欧氏陈述，相容性从此系在欧氏几何上
贝尔特拉米伪球面（1868）：常负曲率的曲面上，几何恰好是罗巴切夫斯基那一套——非欧几何第一块摸得着的基底
贝尔特拉米把测地线画成直线的地图，只有常曲率的曲面画得出来（1865）：他要的是一般解，得到的是一条否定的定理
贝尔特拉米微分参数：把拉普拉斯算子改写成只依赖第一基本形式，于是它跟着曲面走、不跟着坐标网走
克莱因克莱因瓶：没有边、也没有里外的闭曲面——「左」和「右」在它上面说不清
惠更斯摆线的等时性与渐屈线：一条曲线的「渐屈线」第一次派上用场
开普勒开普勒猜想：同样大的球，面心立方堆得最密（1611 提出，1998 证明）
欧多克索斯比例论：不提数、也不问能否公度，就定义了两个比相等（《原本》第五卷）
欧多克索斯锥体是同底等高柱体的三分之一——德谟克利特先说出，他第一个证明
欧几里得《几何原本》：公理化方法的范本
海伦海伦公式：只用三边求三角形面积
塔比·伊本·库拉勾股定理推广到任意三角形：AB² + BC² = AC·(AE + CD)，两次相似就证完
塔比·伊本·库拉斜着切圆柱总得到椭圆；半轴 a、b 的椭圆与半径 √(ab) 的圆一样大
秦九韶三斜求积术：与海伦公式等价，全程只有整数的乘与减
海伦《测量仪》：绕山走直角折线，定出从两头开挖的隧道方向
欧几里得第五公设——两千年的悬案，非欧几何的源头
波西多尼乌斯把平行线定义成处处等距的线——希思把这条列为第五公设的等价命题
阿基米德球与外接圆柱的体积比 2:3
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》八卷：一个双锥切出三条曲线，椭圆、抛物线、双曲线的名字都是他起的
阿波罗尼奥斯第五卷：法线、极值与渐屈线——曲率中心的轨迹，早惠更斯一千八百年
阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯圆：到两点距离之比固定的轨迹
刘徽牟合方盖：球体积的正确路径，两百年后由祖冲之父子走完
祖冲之祖暅原理：幂势既同，则积不容异——早卡瓦列里一千一百年
阿尔·卡西余弦定理写成能直接代数字的一条式子：法国课本至今叫它「卡西定理」
图西《论完全四边形》：平面与球面三角学从头到尾讲成一门，不再借天文学起步——球面直角三角形的六种情形一种一种列全
图西极三角形：三个角一给，球面三角形就定死了；换到极三角形上，三个角成了三条边
婆罗摩笈多圆内接四边形的面积公式：海伦公式的推广
婆什迦罗二世勾股定理的剪拼图证：边长 c 的正方形里四个直角三角形加一个小方块
托勒密托勒密定理：圆内接四边形里，两对角线之积等于两组对边之积的和
帕普斯帕普斯问题：到三线、四线的距离之积成定比，点在一条圆锥曲线上——笛卡尔拿它演示坐标
帕普斯两条直线上各取三点交叉连线，三个交点共线——帕斯卡定理的特例，射影几何的先声
帕普斯焦点—准线：到定点与到定直线的距离之比为定值，轨迹是圆锥曲线，已知最早的证明
帕普斯鞋匠刀里的一串圆：第 n 个圆的圆心离底边正好是它直径的 n 倍
帕普斯旋转体的体积等于面积乘重心走过的圆周——后来叫古尔丁定理
帕普斯等周：周长相同的正多边形边越多越大，表面积相同时球大于每一种正多面体
海什木新月：直角边上两弯新月之和等于三角形——把希波克拉底的特例推到一般
海什木海什木问题：圆镜上的反射点，借一条双曲线与圆的交点作出
海什木三个直角的四边形：用一条移动的垂线证平行公设，被海亚姆批评「几何与运动何干」
奥马尔·海亚姆海亚姆四边形：平行公设的三种可能逐一分开考察，早萨凯里六百年
奥马尔·海亚姆方程的根＝两条曲线的交点——解析几何的另一头
雅各布·伯努利双纽线：1694 年，从弹性曲线里掉出来的一条曲线，后来长成椭圆积分这门学问
刘徽重差术与《海岛算经》：两次测望，量不可达的高与远
笛卡尔解析几何：坐标把曲线变成方程
费马《平面与立体轨迹引论》：坐标几何，成稿早于《几何学》，却只在手抄本里流传
欧拉多面体公式 V − E + F = 2，拓扑学的第一缕光
高斯正十七边形与可作图性判据
高斯曲面论与绝妙定理：内在几何的诞生
高斯非欧几何的先行探索（生前未发表）
黎曼黎曼几何与 n 维流形
莱布尼茨「位置分析」：不量距离的几何，这个念头是他提的
帕斯卡帕斯卡定理：圆锥曲线内接六边形，三对对边的交点共线
庞加莱《位相分析》与庞加莱猜想
诺特同调群：把贝蒂数换成群
希尔伯特《几何基础》：把两千年来靠图形直觉溜进去的假设补成公理
庞特里亚金拓扑交换群的对偶（1934）：紧交换群与离散交换群互为特征标群——圆周的对偶是整数，整数的对偶又回到圆周
蒙日画法几何（1795 年在高等师范讲，1799 年成书）：一平一立两个投影，立面绕交线 LM 放倒画在同一张纸上；同一点的两个投影落在一条垂直于 LM 的线上
蒙日曲率线（1781 年卷第 689 页首次出现；1795 年椭球面）：两族处处正交，绕着四个脐点弯；半轴 3、2、1 的椭球，脐点在 x = ±2.3717、z = ±0.6124，曲率 3/8
蒙日三圆定理（《画法几何》第 44 节）：三个圆两两的外公切线交点共线——把圆看成球，这条线是切平面与三心平面的交线

图论

关系与网络的数学

欧拉七桥问题——一篇论文开创一门学科
哈密顿哈密顿回路：走遍每个点，至今没有判据
西尔维斯特共线点问题（1893 年《教育时报》征题）：有限个点不全共线，必有一条连线只过两点——当年的解答不完整，1941、1944 年才有证明
凯莱树的计数（1889）：n 个编号结点的树有 n 的 n − 2 次方棵——他在文末说博尔夏特 1860 年已有
凯莱数烷烃（1875）：碳骨架是每点至多四条枝的树，表推到 13 个碳；前十一个全对，12、13 两格应作 355 与 802

力学与天文

用数学描述天与地的运动

达朗贝尔达朗贝尔原理（1743《动力学论》）：印给的运动拆成实际取的与失去的两份，失去的那几份须相互平衡；问题一由此一步解出杆上几个体的运动与振动中心
达朗贝尔阻力悖论（1752《流体阻力新理论》；1768《数学短论集》第五卷第三十四篇）：前后对称的物体在无粘流体里前后压力相等而相反，阻力为零
洛伦茨确定性的非周期流（1963《大气科学杂志》第 20 卷）：三个常微分方程，σ = 10、b = 8/3、r = 28，解有界而永不重复；有界系统里不带过渡成分的非周期轨道必然不稳，精确的超长期天气预报因此不存在
洛伦茨相体积按 e 的 −(σ + b + 1)τ 次方收缩（1963 式 30、31）：轨道最终落在体积为零的一片「无穷的曲面复合体」上，绕一圈体积只剩十万分之七
纳皮尔一页七栏的正弦对数表（1614）：每一分一行，左读一个角、倒过来读余角；中栏「差」是正切的对数，正割的对数是余弦的对数取负——为三角计算而排
刘维尔相空间的面积守恒（1838）：x 的 n 阶导数 = P 时，解对初值的行列式恒为 1；P 含最高一阶导数时按 ∂P/∂x′ 指数变化
塔尔塔利亚45° 射程最远（1537 年《新科学》）：1532 年维罗纳的赌局 1972 竿对 1872 竿；他自己指出 30° 那一发「相对打得太远」——真空里该是 sin 60° = 0.866，差出来的是空气
塔尔塔利亚三段式弹道与一道二次方程（1537）：45° 的射程若是平射直线段的十倍，直线段就是 √200 − 10 ≈ 4 又 1/7 倍；1546 年他自己改口：炮弹连一步也不走直线
埃拉托色尼碗形日晷量地球（据克莱奥迈季斯）：夏至正午亚历山大里亚的影占碗壁大圆 1/50，两城五千斯塔德，一圈 250000
埃拉托色尼已知世界宽 38000、长 77800 斯塔德（据斯特拉波）：长比宽的两倍还多；过雅典的纬线一圈不到二十万，往西航就能到印度
欧多克索斯同心球：二十七个球套在一起，两个反转的球让行星画出八字形的马蹄线
柯瓦列夫斯卡娅重陀螺的第三个可积情形：三个主惯量满足 A = B = 2C，重心落在赤道面上（1888）
柯瓦列夫斯卡娅筛出这三种构形的判据来自复变：要求解在复时间里除极点外单值
柯瓦列夫斯卡娅土星环的截面不是椭圆：不假定形状，把边界摊成傅里叶级数逐阶算（1885）
兰伯特兰伯特定理（1761）：飞完一段弧的时间只认半长轴、弦长与两条半径之和
柯尔莫哥洛夫KAM（1954 年阿姆斯特丹的报告）：频率的雅可比不退化时，小扰动之后整个区域除去一块测度小于 ε 的集合仍由不变环面铺着
李雅普诺夫旋转液体的平衡形状（1884 年起）：把那个分叉点夹进 0.1419 与 0.1423 之间
李雅普诺夫梨形那一支稳不稳（1905）：他判不稳定，与达尔文 1902 年的结论相反，十年后金斯的高阶近似支持他
勒让德算椭球对外一点的引力时引进勒让德多项式（1784）：后来它成了球谐函数的骨架
勒让德球面三角的勒让德定理：小球面三角形把三个角各减去球面超的三分之一，就能当平面三角形解
阿基米德杠杆原理与静力学
塔比·伊本·库拉《秤之书》：杆秤上秤杆自己的重量怎么算——相等的几个重物可换成它们的和挂在中点
阿波罗尼奥斯本轮与偏心圆等价，以及行星逆行的判据——托勒密第十二卷引的就是他
喜帕恰斯岁差：春秋分点在群星间后退，回归年与恒星年从此分开
喜帕恰斯太阳的偏心圆：由四季长短反解出偏心 1/24；回归年比 365¼ 日短 1/300 日
喜帕恰斯日食视差：两地看同一次日食，量出月亮离地七八十个地球半径
波西多尼乌斯老人星量地球：48 乘 5000 得 240000 斯塔德，而他偏取的 180000 被托勒密取走
波西多尼乌斯太阳是地球的三十九倍、远在三亿八千万斯塔德外——古代离真值最近的一个答案
波西多尼乌斯潮有日、月、年三个周期，都跟着月亮：加的斯的守候
托勒密《天文学大成》：本轮、偏心圆与均衡点，一套能算的天空，用了一千四百年
托勒密均衡点：绕一个空点匀速——开普勒面积定律的极好近似
阿基米德浮力定律——阿基米德原理
阿耶波多转的是地不是天：由一劫的自转数折出的一日长 23 时 56 分 4.101 秒，与今测的星际日差 0.002 秒
阿耶波多月食是月亮走进地影：算出影锥在月轨处宽 2.535 个月径，今测 2.647——不再归给罗睺
一行开元十二年四站测影：北极高一度合地上三百五十一里八十步——距离是一段段量出来的，不是估的
一行「千里差一寸」被量废：实测二百五十七里差一寸，而且三段量出三个数，根本不是常数
一行黄道游仪：黄道环可以沿赤道环挪动，旧仪只有赤道，量不了黄道上的度数
祖冲之大明历：岁差第一次写进历法，闰周从十九年七闰改为三百九十一年一百四十四闰
阿尔·卡西撒马尔罕天文台第一任台长：《哈卡尼历表》、观测仪器与做线性内插的「合会盘」
兀鲁伯《苏丹历数表》的星表：一千零十八条，自托勒密以来一千三百年间第一份重新测过的；自序还点明哪 27 条不是他测的
兀鲁伯回归年 365 日 5 时 49 分 15 秒、黄赤交角 23°30′17″：与今算各差 27 秒与 27 角秒
海什木《对托勒密的质疑》：月亮与行星的有些圆周，当成真实的天球转不起来
图西图西双圆（1245 年首次发表）：小圆直径等于大圆半径，反向以两倍角速度转，边上一点只在一条直径上往返
图西不要均衡点：方向交给绕均衡点匀速的球、远近交给双圆，与托勒密只差 e 平方的量级
奥马尔·海亚姆贾拉利历：33 年 8 闰，比格里历早五百年，还准一点
婆什迦罗二世即时行度 tātkālika gati：与「平均行度」分开，并给出相当于 δ(sin θ) = cos θ·δθ 的关系
奥雷姆平均速度定理的图证：梯形翻一个三角形成矩形，伽利略沿用
奥雷姆天体运动多半不可公度：天空不会精确重演
奥雷姆《天与地之书》：地球自转的反驳一条条被驳倒
马德哈瓦喀拉拉学派的历算：级数算出的正弦，拿去推日月的位置
雅可比哈密顿–雅可比方程（1837）：解一个偏微分方程，绕圈的运动就变成直线
雅可比作用–角变量：摄动论的骨架，也是薛定谔写波动方程时照着的样子
惠更斯离心力 v²/r：牛顿据此算出平方反比
惠更斯摆钟与振荡中心：把「时间」做准的第一步
开普勒三条行星定律：椭圆、等面积、T² 比着 a³
开普勒开普勒方程 M = E − e sin E：从时间反推位置只能迭代
开普勒第三定律里的常数装着中心天体的质量——称量天体的办法
牛顿三大运动定律与万有引力：《原理》
欧拉刚体力学、流体方程与月球运动理论
拉格朗日《分析力学》：广义坐标与 L = T − V，力学被重写成分析，全书没有一张图
拉格朗日拉格朗日点 L4、L5：三体问题仅有的一批精确解之二
拉格朗日月球天平动：月亮为什么总以同一面对着我们
拉普拉斯《天体力学》五卷：太阳系不会自己散架
拉普拉斯拉普拉斯妖：决定论推到极端是什么样子
高斯谷神星轨道与《天体运动论》
泊松《力学教程》：一代人共用的力学教科书
哈密顿哈密顿力学：相空间、正则方程与后来的辛积分器
庞加莱三体问题与混沌的发现

概率与统计

驯服随机与误差

丹齐格黑板上的两道题（1939）：一道成了 1940 年那篇——检验「学生」假设，不存在功效与 σ 无关的检验；另一道是广义的奈曼–皮尔逊引理里那个最优检验总是存在，1951 年与瓦尔德联名发表
巴拿赫巴拿赫火柴盒问题（费勒 1950 年印出，「由施坦豪斯告知」）：两盒各 N 根，第一次掏到空盒时另一盒剩 r 根的概率 C(2N−r, N)/2 的 (2N−r) 次方，平均约 2√(N/π) − 1
豪斯多夫矩问题（1921）：[0,1] 上的数列是某个分布的各阶矩，当且仅当各阶差分全不为负（「全单调」，名出舒尔）；第 p 层在 m/p 处放 C(p,m) 乘差分的质量，逐层逼近那个分布
费希尔似然（1912 / 1922）：数据已经在手，把参数调到让这批数最说得通的那一点；1922 年给「似然」下了定义，1925 年又写明它「不是概率的同义词」
费希尔信息量与效率（1920–1925）：一个估计量的方差乘以 n，压不到 1/I 以下；平均偏差估 σ 只用上约 88% 的信息，中位数定位置只用上 2/π
费希尔方差分析与随机化（1925《研究工作者的统计方法》）：总平方和拆成处理、区组与误差几份；小区要随机排，误差的估计才是无偏的
费希尔零假设（1935《实验设计》第二章）：八杯茶各四杯，全猜对的机会是 1/70；零假设从不被证明，只可能被推翻
波莱尔混合策略（1921）：固定一种打法总会被人克，于是每一步先抽签；他猜打法多于三种时一般做不到不败，冯·诺依曼 1928 年证明他猜错了
波莱尔一百万只猴子打字（1914）：随手敲出一本书的概率是 10 的负二百万次方——小到这个程度，就是不可能
卡尔达诺《论赌博游戏》：第一次把「全部可能的情形」数出来，比帕斯卡早一百年
图基五数概括与箱线图（1971 年《探索性数据分析》预印本）：从两头往里数，中位数与两个铰链只靠数数定出，一局打坏的比赛拉不动它们
图基半平面深度（1974 温哥华）：过一个点的直线切下的点数最少的那一半有几个点；最深处就是平面上的中位数
维纳维纳测度（1923《微分空间》）：布朗运动的所有路径上定出一个概率，几乎每一条都连续，而且满足指数小于 ½ 的赫尔德条件
柯尔莫哥洛夫概率就是测度（1933《概率论基础》）：样本空间、事件的 σ-代数、一个全可加的测度——概率论从此是测度论的一章
柯尔莫哥洛夫条件概率相对于一族分解（同书第五章）：对一个概率为零的孤立假设谈条件概率是不允许的，波莱尔那个球面佯谬由此解开
柯尔莫哥洛夫无穷维空间上的分布（同书第三章 §4）：有限维分布只要彼此相容，那个测度就存在且唯一——随机过程从此有了一般的存在定理
柯尔莫哥洛夫前向与后向两条基本微分方程（1931）：他自己把后向那条编作「第一」，今天的叫法正好反着
伊藤清随机积分（1944《帝国学士院纪事》第 20 卷）：被积函数只许取每一小段左端点的值、而且不预见此后的增量，于是有等距公式；佩利与维纳 1934 年只做过被积函数不随机的那一种
伊藤清伊藤公式（1944 第 4 节，1951 年《名古屋数学杂志》第 3 卷证全）：dF(B) = F′(B)dB + (1/2)F″(B)dt，比普通链式法则多出二阶导数的一半
伊藤清随机微分方程的存在唯一性（1946）：漂移与扩散系数满足利普希茨条件，逐次逼近以概率 1 一致收敛到唯一的连续解
冯·诺依曼蒙特卡洛方法（与乌拉姆，1946–1948）：与其硬算，不如随机采样数一数
冯·诺依曼舍选法：在正方形里取点、落进四分之一圆才收下，效率恰是 π/4（1951）
切比雪夫切比雪夫不等式：不问分布形状，偏离 k 个标准差的概率不超过 1/k²
切比雪夫大数定律第一次对一般随机变量成立，不必先假定分布是哪一类
马尔可夫马尔可夫链（1906）：一串首尾相连的试验，下一次的概率只看这一次落在哪一档
马尔可夫大数定律推广到彼此相依的量——驳的是「大数定律成立就说明各项独立」
马尔可夫离散系数：相邻两次咬得越紧，平均值的涨落就按 (1+δ)/(1−δ) 放大或缩小
马尔可夫《叶甫盖尼·奥涅金》前两万个字母（1913）：把一段文字当成一串相依的符号来统计
马尔可夫马尔可夫不等式（《概率演算》1908 年第二版）：只要均值存在，尾概率就被按住
李雅普诺夫李雅普诺夫条件（1901）：d 的和的平方比上 a 的和的 2+δ 次方趋于零，归一化的和就趋于钟形
李雅普诺夫第一次用特征函数证中心极限定理（1900）——原文里没有复指数，拆成模与幅角两个实函数写
李雅普诺夫矩的对数凸性（1901 年那篇的引理）：l > m > n 时，m 阶矩被 n 阶与 l 阶矩夹住
帕斯卡分赌本问题与期望值：不问已经发生了什么，问还没发生的事各有多大可能
惠更斯《论赌博中的计算》（1657）：第一本印出来的概率论著作，「期望」由此写定
帕斯卡《论算术三角形》：组合数、二项式系数与格点路径，三件事同一张表
杨辉纵横图：三阶到十阶的幻方，而且给了造法——「九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出」
布尔概率的一般问题：一个逻辑式子的概率常常只能框出一段区间
布尔布尔不等式 P(A 或 B) ≤ P(A) + P(B)：多重比较修正的出处
雅各布·伯努利《猜度术》：把概率从赌桌搬到民事、道德与经济的事务上去
雅各布·伯努利大数定律：摸得够多，观测到的频率就贴住那个未知的比例——他为此算了 25550 次
丹尼尔·伯努利度量风险的新理论（1738）：进账的好处与已有的财产成反比，一张券按几何平均估价；圣彼得堡那张期望无穷的券，家有 1000 达克特的人只估它 6
丹尼尔·伯努利天花与种痘（1760 年卷，1766 年印）：每年染上 1/8、染上的死 1/8，哈雷生命表上新生儿平均寿命从 26 年 7 个月变成 29 年 9 个月
棣莫弗二项分布的正态逼近（1733）：已知最早写下那条钟形曲线的一次
棣莫弗拿 √(npq) 当量偏离的尺子——标准差第一次成了单位
棣莫弗《终身年金》（1725）：已知最早的精算教科书，用一条直线换掉生命表
拉普拉斯《概率的分析理论》：概率论第一次有了骨架
拉普拉斯中心极限定理：不管从哪里出发，加起来都是钟形
拉普拉斯逆概率与继承法则：从结果反推原因
贝叶斯反问题的解（1763 遗稿，普赖斯说此前没人解过）：出现 p 次、落空 q 次，那个未知概率落在两数之间的机会是 x 的 p 次方乘 (1 − x) 的 q 次方下两块面积之比；模型是一张平桌上先后扔的两只球
贝叶斯为「一无所知」立的理由（1763 附注）：扔 W 之前，n 次里 M 发生 p 次的机会恒为 1/(n + 1)——他辩护的是次数一样可能，不是概率的每个值一样可能
高斯正态分布——误差的钟形规律
勒让德最小二乘法：1805 年第一次印出来，例子是德朗布尔与梅尚量的那条子午线
高斯最小二乘法：从噪声中打捞真相
柯西柯西分布：没有期望、没有方差——大数定律与中心极限定理都管不着它
泊松泊松分布：稀有事件的定律
泊松「大数定律」这个名字是他起的
图灵序贯分析与证据权重「班」：靠它一条条排除，破译海军恩尼格玛
香农熵、互信息与相对熵：不确定性有了尺子，交叉熵损失与信息增益都从这里来
哈代哈代–魏因贝格定律（1908）：随机交配下基因型比例一代之后就不再变，成了群体遗传学的零假设
卡尔曼递推滤波（1960）：每来一个读数改一次估计，误差的协方差照一条里卡蒂方程往前推，旧读数一个不存——与高斯的最小二乘给出同一个数
卡尔曼对偶定理（1960 第 42 页）：估计与无噪声调节器是同一个递推，一个往后走、一个往前倒——「为什么观测与控制是对偶的量？」
卡尔曼增益的差分方程（1960 例 1）：从零起算，令 t 趋于无穷、解一个二次方程，就是维纳的平稳滤波器

物理与仪器

数学之手伸进实验室

斯托克斯黏性流体的运动方程（1845）：同轴圆筒间液体的速度 A/r + B·r，指出牛顿《原理》第二编命题 51 把力当成了力矩；圆管里的抛物线流速
斯托克斯小球在黏性流体里的阻力 6πμaV（1851）：阻力与半径成正比，所以云里的小水滴每秒只落一英寸半
斯托克斯有限振幅的深水波（1847）：波高了跑得快，峰尖谷平；1880 年补上最高波顶上的 120° 尖角
闵可夫斯基四维时空（1908 年科隆讲演《空间与时间》）：洛伦兹变换是双曲线上的「转动」，光锥、类时与类空、固有时；c 趋于无穷退回牛顿力学
格拉斯曼混色定律（1853）：眼睛只分得出色调、颜色强度与白三样；每种颜色都有补色，混色是线段的几何加法，等价于圆周上带重量的点取重心
丹尼尔·伯努利水力静力学（1738《流体力学》第十二章）：大桶水面高出管口 a、管口是管子截面的 1/n，管壁上的压力是 (n² − 1)/n² · a；流得越快压得越轻，细到一定程度管壁往里吸
丹尼尔·伯努利气体是一筒乱撞的小球（1738 第十章）：盖板压到原来的 s 倍，压力约为 P/s；算上小球的大小是 (1 − ³√m)/(s − ³√(m s²)) · P；热让速度的平方翻倍，压力也翻倍
塔尔塔利亚炮手的矩尺（1537）：一臂伸进炮口，四分之一圆分成十二「点」，每点 7.5°，铅垂线落在第 6 点就是 45°
一行戴日之北每度晷数：按天顶距逐度给影长，一张表管任何地方——今天读它就是一张正切表
兀鲁伯半径约四十米的子午线大弧：弧上一度约七十厘米、一角分约十一点七毫米——读得多细由仪器多大定
冯·诺依曼量子力学的公理化（1932）：矩阵力学与波动力学在希尔伯特空间里合成一套，密度矩阵出自这里
贝尔特拉米拉梅的弹性方程暗暗绑着欧氏空间那条公设——他看出这一点，把弹性理论推广到了常曲率空间
卡拉吉《地下水的开发》：暗渠的坡度、竖井与水准仪——可能是现存最早的一部地下水专著
切比雪夫直线连杆：让转动变成几乎笔直的移动，逼近论就是从这道机械题长出来的
切比雪夫切比雪夫网：哪些曲面能被一块不可伸长的织物贴合铺满（1878《论衣服的裁剪》）
兰伯特《光度学》（1760）：把「亮」变成可以量的量；余弦定律今天仍是每一帧三维画面的着色底子
惠更斯惠更斯原理：波前上每一点都是新的子波源，由此推出折射定律
惠更斯光速的第一个数字（1690）：接过罗默的二十二分钟算出来的
开普勒《天文学的光学部分》（1604）：视网膜成像、针孔成像与光照的平方反比
秦九韶天池测雨、圆罂测雨：把量器的形状折算成平地雨深
黎曼黎曼几何成为广义相对论的数学语言
海伦《反射光学》：反射走最短的路——已知最早的极值原理
海伦《气动学》：汽转球、投币出圣水的机器、生火开门的神庙
牛顿光的分解与反射望远镜
帕斯卡帕斯卡林：第一台真正会自动进位的加法机（1642）
莱布尼茨步进计算器：第一台能做四则运算的机器
欧拉光学、造船与音乐理论专著
喜帕恰斯星表与星等：一到六等的肉眼分级，1856 年被写成对数
托勒密《光学》：成套的折射角实测数据——费马 1662 年要解释的就是它们
海什木《光学》七卷：视觉是光进入眼睛；几盏灯经一孔投到暗处墙上，证光沿直线、互不混淆
海什木《论日食的形状》：孔的大小与距离之比，决定小孔的像是月牙还是圆斑
傅里叶热传导的数学理论；也第一个指出大气会留住热
泊松泊松亮斑：为驳倒波动说而推出，反而证实了它
格林把分析引进电磁理论；格林函数后来成了量子场论的传播子
雅各布·伯努利悬链线：一根挂着的链子，形状是双曲余弦——翻过来就是拱；胡克 1675 年把它藏成一句拉丁文谜语
哈密顿光线系统的特征函数，并据此预言圆锥折射
拉普拉斯声速：给牛顿的公式补上绝热修正，数值才对得上
高斯地磁测量、电磁电报与磁学单位「高斯」
庞加莱对相对论与时间哲学的先行思考
哥德尔哥德尔宇宙：场方程的一个旋转解，里面有闭合类时曲线
图灵反应扩散：均匀态自己失稳，长出斑与纹（图灵斑图）
卡尔达诺卡丹悬置与卡丹接头——今天汽车传动轴上还在转的那个名字
费马最短时间原理：折射定律的由来，也是变分原理的第一例
帕斯卡多姆山上的气压计：真空是真的，托住水银的是空气的重量
帕斯卡帕斯卡定律：压强各向同传——刹车、千斤顶与每一条液压臂
诺特诺特定理：连续对称与守恒律的等价